找準(zhǔn)切入口激發(fā)探究欲

151553153151553153找準(zhǔn)切入，激發(fā)探究——對《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》一課的教學(xué)思考浙江省嘉興市南湖區(qū)教育研究培訓(xùn)中心

費(fèi)嶺峰

浙江省嘉興教育學(xué)院

朱國榮（發(fā)表于《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》2016年第12期）一、教解讀《分?jǐn)?shù)除以整數(shù)》是人教版課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材六年級上冊第三單元中的一節(jié)內(nèi)容，是“分?jǐn)?shù)除法”內(nèi)容的起始課（如右圖解節(jié)內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)數(shù)除以整數(shù)”的算法教學(xué)和算理理解。教材編寫者的意圖也比較明確，即“引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的探索過程，進(jìn)而理把一個(gè)數(shù)平均分成幾份求其中的份，就是求這個(gè)數(shù)的幾分之一是多少’”的算理。例題包括了兩個(gè)層次：層次一分子能被整數(shù)整除分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的除法，也就是“特殊”情況，如：

÷2。此類式題，因分子能被整數(shù)整除，學(xué)生在計(jì)算時(shí)可以借鑒“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的“分?jǐn)?shù)乘法”的經(jīng)驗(yàn)，直接用“分子÷整數(shù)”進(jìn)行計(jì)算。如上題，即可直接將÷2的結(jié)果作分子，分母不變，得到。算理也比較容易理解4個(gè)平均分成2份后，2每份是2個(gè)，也就是。當(dāng)然，這種算法受數(shù)據(jù)影響，有一定的局限性。層次二：“分?jǐn)?shù)不能被整數(shù)整除”的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的除法，即“一般”情況，如：

÷3。此類式題，因分子不能被整數(shù)整除，學(xué)生無法直接借鑒“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行計(jì)算，需要通過相應(yīng)的轉(zhuǎn)化才能實(shí)現(xiàn)。比如我們可以利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以相同的數(shù)，轉(zhuǎn)化成上例的形式，使分子能被整數(shù)整除，如上題：÷3＝

÷3＝＝也可以采用分?jǐn)?shù)除法的基本算法用分?jǐn)?shù)除以整數(shù)1的倒數(shù)即可轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算：÷3＝×＝

還可以根據(jù)商不變的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘一個(gè)分?jǐn)?shù)，使除數(shù)變?yōu)?，如：÷＝（×）

555（3×＝

4÷1＝當(dāng)然還可以轉(zhuǎn)化成小如果分?jǐn)?shù)能夠化成無限小數(shù)的話）進(jìn)行計(jì)算?？梢钥闯?，對學(xué)生而言，這才是本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)的新的增長點(diǎn)。二、學(xué)調(diào)查教材是這樣編排的，學(xué)生學(xué)習(xí)路徑是否一定要設(shè)計(jì)成這樣的層次呢？我們思考：在如層次一學(xué)習(xí)中，由于分?jǐn)?shù)的分子能被整數(shù)整除，當(dāng)學(xué)生能夠直接借鑒“分?jǐn)?shù)乘法”的經(jīng)驗(yàn)解決這個(gè)問題時(shí)，我們還是對學(xué)生思考新的辦法的積極性和必要性產(chǎn)生懷疑。而層次二，對學(xué)生來說是否就是一種全新的要求呢？我們帶著對這些問題的思考，在教學(xué)本節(jié)內(nèi)容前，抽一個(gè)班的學(xué)生進(jìn)行了一次課前的調(diào)查，試圖了解學(xué)生對“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”運(yùn)算的前概念進(jìn)行剖析。調(diào)查內(nèi)容如下：下面的“分?jǐn)?shù)除法”你會(huì)算嗎？試試看吧（盡量寫出計(jì)算過程（1）÷2（請?jiān)囍卯媹D或?qū)懳淖值姆绞秸f明可以這樣算的道理（2）÷3（請?jiān)囍卯媹D或?qū)懳淖值姆绞秸f明可以這樣算的道理調(diào)查結(jié)果（全班46第（1）題結(jié)果正確的有36人，占總?cè)藬?shù)的。錯(cuò)誤的有人，其中人是過程正確，約分錯(cuò)誤造成結(jié)果錯(cuò)誤2人把被除數(shù)進(jìn)行了倒數(shù)再算，結(jié)果算成了人被除數(shù)和除數(shù)都進(jìn)行了倒數(shù)后再乘；1人分子直接乘整數(shù)；4人沒有做。

；第（2）題結(jié)果正確的有26，占總?cè)藬?shù)的56.5%。錯(cuò)誤6人，其中2被除數(shù)倒數(shù)了，也就是用這種算法算第1題的22分子直接乘整數(shù)（這2人上題都是正確的人被除數(shù)和除數(shù)都進(jìn)行了倒數(shù)后再算1完全錯(cuò)誤。有14同學(xué)沒做此題。再對兩題正確的情況進(jìn)行分類，發(fā)現(xiàn)以下幾種情況：題目（1）÷2

答題情況2算法：÷2＝（包括文字說明：將平均分成兩份，取其中一份，3人412算法：÷2＝×＝（包括文字說明：“除以2，也就是乘2的倒數(shù)人直接畫圖說明的，典型畫法如：

人數(shù)10618

占總?cè)藬?shù)的百分比

÷3＝×÷3＝×＝÷3＝÷3＝＝（1）（2）（3）沒說理由的

2

4.3%算法：

415

13

算法：123151515直接畫圖說明的，典型畫法如：

24.3%（2）

÷3（1）

10（2）沒說理由的

12.2%從調(diào)查可知，在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的式題計(jì)算中，對于“算法，80%的學(xué)生會(huì)算諸如

÷2這樣的式題。分析原因，因?yàn)榇祟愂筋}學(xué)生只需要將“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”的方法遷移過來，用“分子相除，分母不變”的方法即可算得結(jié)果。且由調(diào)查還可知，如÷3這類式題的計(jì)算，學(xué)生沒辦法直接遷移分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算中的經(jīng)驗(yàn)，需要探究新的算法加以解決的，本來預(yù)想的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也有超過一半的學(xué)生會(huì)算，達(dá)到了56%。究其原因，可能與前面“倒數(shù)”學(xué)習(xí)后練習(xí)中的習(xí)題鋪墊有關(guān)系。由此我們推想，我們是否可以不從“特殊”情況切入，而是直接切入到“分子不能

33333333被整數(shù)整除”的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”運(yùn)算的一般方法的探究，這樣是否更加有利于激發(fā)學(xué)生的探究欲，也更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)呢？三、教實(shí)踐基于以上調(diào)查與分析，我們調(diào)整了原先按照教材編排的順序進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì)思路，而是將教學(xué)切入口定在“分子不能被整數(shù)整除”的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”式題上，從一般方法的探究入手，將特殊算式滲透在練習(xí)活動(dòng)中，作為算法多樣進(jìn)行感知、理解。學(xué)實(shí)踐過程記錄如下：

教（一）導(dǎo)入師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了“分?jǐn)?shù)乘法天我們開始學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法你想一想分?jǐn)?shù)除法”會(huì)有哪幾種情況？你能寫出幾道分?jǐn)?shù)除法的算式嗎？學(xué)生先獨(dú)立寫，然后指名回答。根據(jù)學(xué)生的回答板書一些算式。小結(jié)說明：分?jǐn)?shù)除法有分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)等幾種情況。今天這節(jié)課我們首先來研究“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)板書課題：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)[計(jì)意圖：從分?jǐn)?shù)乘法引出分?jǐn)?shù)除法，將“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)置于分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算的大背景下展開，讓學(xué)生感知“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”只是分?jǐn)?shù)乘除法運(yùn)算中的一種類型。同時(shí)暗示學(xué)生，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法，可以借鑒分?jǐn)?shù)乘法中的一些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探究的，在知識形成系統(tǒng)的同時(shí)，也讓學(xué)習(xí)方法建立連貫性。（二）展開1．嘗試計(jì)算，交流算法選擇導(dǎo)入談話中學(xué)生所寫的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算式÷2，引導(dǎo)學(xué)生自主探究。學(xué)生4嘗試計(jì)算后反饋算法。方法一：÷2＝0.75÷2＝0.3754方法二：÷2＝×＝42

38師：還有不同算法嗎？當(dāng)學(xué)生不再有其它算法后討論算理中對于用小數(shù)算的方法以口答方式反饋，討論的重點(diǎn)聚焦在方法二上。2．借助圖示，理解算理師你用畫圖或?qū)懳淖值姆椒▉碚f明什么除以2就可以用乘2的倒數(shù)就42呢？學(xué)生自主活動(dòng)后，展示交流。

33331123333112生1：

生2：師從圖中我們可以看出，除以2也就是把平均分成2也就是算的是442多少，所以÷2＝×，結(jié)果是。4283．再次嘗試，深刻理解師：我們在算÷2時(shí)，轉(zhuǎn)化成了分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行計(jì)算。那么下面這幾題，你又會(huì)怎4樣計(jì)算呢？出示式題：÷4

÷2

÷3，請學(xué)生再次嘗試計(jì)算，并指名板演。學(xué)生完成后，先反饋算法和結(jié)果，然后請學(xué)生思考：為什么這里的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的式題，都可以轉(zhuǎn)化成乘它的倒數(shù)來算呢？你腦海中有一個(gè)怎樣的圖示過程呢？師：請你選擇其中一題用畫圖的方法說明這樣算的道理。老師過會(huì)請其他同學(xué)猜猜看，你畫的是哪一道題目的計(jì)算過程？學(xué)生獨(dú)立畫圖后交流。4．啟發(fā)思考，拓展算法呈現(xiàn)計(jì)算÷2時(shí)，學(xué)生中出現(xiàn)的不同算法：師：剛才有同學(xué)在算這題時(shí)，是這樣算的。你覺得可以嗎？你知道他又是怎樣想的呢？生：我知道，直接用4除以2，得到。生：因?yàn)槲抑朗?個(gè)，除以，就是2個(gè)，所以是。555師：你能從同學(xué)畫的圖中看得到4除以2的過程嗎？結(jié)合剛才討論的圖示（右圖）進(jìn)行理解。追問：另外兩題能不能用這樣的方法來計(jì)算？組織學(xué)生討論后，反饋說明方法（利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將被除數(shù)的分子分母擴(kuò)大小結(jié)：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，一般我們可以用分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的倒數(shù)來算。[計(jì)意圖：新課程理念下，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)已經(jīng)從僅僅關(guān)注算法，拓展到不僅需要會(huì)算更要理解這樣算的道理——即明白算理數(shù)除以整數(shù)同樣需要學(xué)生不僅知，除以一個(gè)整數(shù)可以乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)還得需要理解為什么只要乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)就

113311113113311113以了。教學(xué)中，讓學(xué)生結(jié)合示意圖，理解算理，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。]（三）鞏固練習(xí)，熟練技能1．看圖示變化過程，寫出除法算式。（1）媒體動(dòng)態(tài)演示把平均分成3份的過程（下左圖每份是多少？（也就是求2的是多少）23（2）媒體動(dòng)態(tài)演示把平均分成的過程（下右圖每份是多少？（也就是5求的是多少）54第（1）題學(xué)生寫出了÷3和×兩個(gè)算式，表示的意思是相同的。22第（2）題學(xué)生同樣寫出兩個(gè)算式：÷4和×52.看誰算得既對又快：6道習(xí)題（其中最后一道是÷3完成后以某道習(xí)題為例說說方法。以2÷3例，說說算法，溝通除法計(jì)算方法。[設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的練習(xí)作業(yè)，一是以看圖形變化過程，可以列出兩種算式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理一步體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想是以口算練習(xí)，進(jìn)行基本訓(xùn)練，強(qiáng)化技能，并以2÷3為例，溝通除法運(yùn)算方法間的聯(lián)系，建構(gòu)知識系統(tǒng)。]（四）課堂總結(jié)（略）四、課反思從教學(xué)實(shí)踐來看，本節(jié)課的教學(xué)顯性特色有三個(gè)：一是以分?jǐn)?shù)除法的三種情況引入“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，只是分?jǐn)?shù)除法整背景下的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一發(fā)展數(shù)學(xué)整體意識是以數(shù)形結(jié)合的方法導(dǎo)學(xué)生探分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，可以看作乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”的算理，從而深刻理解算理；三是重視動(dòng)態(tài)生成資源的應(yīng)用，