數(shù)字信號處理2013課件第2章離散時間

第二章離散時間信號與系統(tǒng)2.0 引言2.1 離散時間信號：序列2.2 離散時間系統(tǒng)2.3 線性時不變系統(tǒng)2.4 線性時不變系統(tǒng)的性質2.5 線性常系數(shù)差分方程2.6 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域表示2.7 用傅立葉變換表示序列2.8 傅立葉變換的對稱性質2.9 傅立葉變換定理2.0 引言信號：信息的載體。連續(xù)時間信號：時間、幅度都連續(xù)。離散時間信號：時間離散、幅度連續(xù)。數(shù)字信號：時間、幅度都離散。信號處理系統(tǒng)同樣分為上述三類2.1 離散時間信號:序列離散時間信號——時間上不連續(xù)的一個序列。通常定義為一個序列值的集合{x(n)}，n為整數(shù)，x(n)表示序列中第n個樣值，{·}表示全部樣本值的集合。離散時間信號可以是通過采樣得到的采樣序列x(n)=xa(nT)，也可以不是采樣信號，如有些系統(tǒng)的輸入可能直接就是離散時間信號或數(shù)字信號，有些系統(tǒng)內部有時也產(chǎn)生一些數(shù)字信號，這些都是離散時間信號，但不屬于采樣信號。T為采樣周期，其倒數(shù)為采樣頻率。2.1.1幾種典型序列（1）

單位脈沖序列只有n=0處有一單位值1，其余點上為0

數(shù)字系統(tǒng)中，δ(n)序列也稱為離散時間脈沖，或簡稱脈沖，這是一種最常用也最重要的序列，它在離散時間系統(tǒng)中的作用類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中單位沖激函數(shù)δ(t)。連續(xù)時間系統(tǒng)中，δ(t)的脈寬為零，幅度為∞，是一種數(shù)學極限，并非現(xiàn)實的信號，而離散時間系統(tǒng)中的δ(n)是一個現(xiàn)實的序列，其脈沖幅度為1（有限值）。

（2）

單位階躍序列在大于等于0的離散時間點上有無窮個幅度為1的數(shù)值，類似于連續(xù)時間信號中的單位階躍脈沖。（3）

矩形序列

此序列從n=0開始，含有N個幅度為1的數(shù)值，其余為零。以上三個序列彼此間的關系：（4）

指數(shù)序列例如

當|a|>1時，序列發(fā)散，當|a|<1序列收斂a<0時序列有正有負，是擺動的。

（5）復指數(shù)序列

因此在數(shù)字信號處理中一般只考慮區(qū)間內的信號兩個重要現(xiàn)象

1：模糊2：無法區(qū)分周期2.周期現(xiàn)象：連續(xù)時間信號的周期：離散時間信號的周期：x[n]=x[n+N]對所有的n必須滿足：1.N必須為整數(shù)2.若為離散正弦序列：3.

若沒有任何整數(shù)N，使得信號x[n]對所有的滿足x[n]=x[n+N]，則信號x[n]為非周期的。2.1.3序列運算

數(shù)字信號處理中常遇到序列的相加、相乘以及延時等序列運算。如有兩個序列{x(n)}，{y(n)}，則(1)序列相加:z(n)=x(n)+y(n)表示兩個序列的值逐項相加以形成的新序列；(2)序列相乘:f(n)=x(n)y(n)表示兩序列值逐項相乘以形成的新序列；

(3)序列延時:w(n)=x(n-m)指原序列逐項依次延時m位(m>0)以形成的新序列；(4)序列數(shù)乘:z(n)=a·x(n)序列與一個數(shù)相乘；有時要用到序列的能量，序列能量定義為：

2.1.4一般序列表示方法設{x(m)}是一個序列值的集合，其中任意一個值x(n)可表示為 由于

因此它表明任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權和：2.2離散時間系統(tǒng)

一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的變換或運算（算子）。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質是將輸入序列轉變成輸出序列的一個運算。

T[·]表示這種運算關系，即

y(n)=T[x(n)]上圖所示為一個離散時間系統(tǒng)，對T[·]加以種種約束,可定義出各類離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、時不變系統(tǒng)”。2.2.1無記憶系統(tǒng)如果每個n值上的輸出y[n]只決定于同一n值的輸入x[n]，那么該系統(tǒng)為無記憶系統(tǒng)例如：

y[n]=(x[n])22.2.2線性系統(tǒng)若系統(tǒng)的輸入為x1(n)和x2(n)時，輸出分別為y1(n)和y2(n)，即y1(n)=T{[x1(n)]}，

y2(n)=T{[x2(n)]}如果系統(tǒng)輸入為ax1(n)+bx2(n)時，輸出為ay1(n)+by2(n)，其中a，b為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。所以，線性系統(tǒng)的條件為：

T{ax1(n)+bx2(n)}=aT{x1(n)}+bT{x2(n)}=ay1(n)+by2(n)

應用：線性系統(tǒng)對信號的處理可應用疊加定理。2.2.3時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)是指輸入序列的移位或延遲將引起輸出序列相應的移位或延遲如果T{x(n)}=y(n)，則T{x(n-n0)}=y(n-n0)（n0為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。2.2.4因果性因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出y(n)只取決于此時以及此時以前的輸入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……

非因果系統(tǒng)：如果系統(tǒng)的輸出y(n)取決于x(n+1)，x(n+2)，…，即系統(tǒng)的輸出取決于未來的輸入，則是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實的系統(tǒng)（不可實現(xiàn)）

因果系統(tǒng)的充要條件：h(n)≡0，n<0（可以由y(n)=x(n)*h(n)導出）2.2.5穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)：對于每一個有界輸入產(chǎn)生一個有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。如果存在某個固定的有限正數(shù)Bx，使|x[n]|≤Bx<∞，對全部n則輸入x[n]就是有界的。穩(wěn)定性要求對每一個有界的輸入，都存在一個固定的有限正數(shù)By，使|y[n]|≤By<∞，對全部n2.3線性時不變系統(tǒng)線性時不變(LTI)系統(tǒng)——既滿足疊加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。

這類系統(tǒng)在信號處理中特別有用，因為線性系統(tǒng)是用疊加定理定義的，如果將序列表示成一組單位樣本序列的線性組合，那么線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應來表示。

我們知道，任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權和

如令h(n)為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應，則系統(tǒng)對任一輸入序列x(n)的響應為

由于系統(tǒng)是線性的，滿足疊加定理

又由于系統(tǒng)是時不變的，對移位的單位脈沖的響應等于單位脈沖響應的移位。因此該式表明：對任何線性時不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應h(n)來表示2.3.1圖示法進行卷積運算對序列x[n]和h[n]進行卷積運算，首先將x[n]分解成脈沖和的形式，然后將每個脈沖分別作用到h[n]上得到響應，最后將響應累加起來即得到卷積結果。因為該過程需要運用疊加定理，所以卷積運算只能用于線性時不變系統(tǒng)。(1)首先將x[n]分解成脈沖和的形式(2)然后將每個脈沖分別作用到h[n]上得到響應(3)最后將響應累加起來即得到卷積結果強調：只有線性時不變系統(tǒng)才可以應用單位脈沖響應卷積輸入信號來表示結果。2.4線性時不變系統(tǒng)的性質卷積的性質可交換性分配律2.4.1穩(wěn)定性

線性和時不變兩個約束來條件定義了一類可用卷積和表示的系統(tǒng)。穩(wěn)定性和因果性也是很重要的限制。穩(wěn)定系統(tǒng)：對于每一個有界輸入產(chǎn)生一個有界輸出的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。充要條件當且僅當

時，該線性時不變系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

充分條件證明：如上式成立，且x有界，即對所有n，|x(n)|<m，則y有界，滿足充分條件。必要條件

反之，如h(k)不符合上式，S=∞，則可求得一種有界輸入，能使該系統(tǒng)產(chǎn)生一個無界輸出。如取輸入為

顯然，x(n)有界，當n=0時，輸出

2.4.2FIRIIR理想延遲滑動平均累加器前向差分后向差分2.6離散時間信號與系統(tǒng)的頻域表示特征函數(shù)的概念：現(xiàn)考慮輸入序列：即一個頻率為ω的復指數(shù)序列系統(tǒng)沖擊響應為則線性時不變系統(tǒng)的輸出為若定義因此是特征函數(shù)特征值為稱為系統(tǒng)的頻率響應有兩種表示法實部虛部：幅度相位：可看出的幅頻響應曲線是以2π為周期的設線性時不變系統(tǒng)相應的幅頻響應為：即2.7用傅里葉變換表示序列離散信號（數(shù)字序列）的傅氏變換定義

數(shù)字序列的逆傅氏變換定義

傅氏變換中的級數(shù)求和不一定總是收斂的，若x(n)絕對可和，則該級數(shù)絕對收斂，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的傅氏變換是收斂的。

兩種表示方法：幅度:相位:主值:可逆性2.8傅里葉變換的對稱性質共軛對稱序列共軛反對稱序列一般序列的表示實部虛部+實部偶對稱，虛部奇對稱實部虛部-實部對稱，虛部奇對稱實部虛部+二者相等1

虛部實部實部虛部虛部實部實部虛部相同！實部偶對稱虛部奇對稱2

同理幅頻響應相同(同1)，相頻響應不同：下面兩圖對比可發(fā)現(xiàn)相頻響應互為軸對稱實部實部虛部虛部實部虛部實部虛部相同！實部相同虛部關于X軸翻轉3.實部虛部實部虛部實部虛部實部虛部兩者一樣！實部虛部實部虛部4實部奇對稱虛部偶對稱實部虛部實部虛部兩者相同！實部虛部實部虛部5實部偶對稱虛部奇對稱實部虛部實部虛部虛部為0虛部為0為的實部！6實部奇對稱虛部偶對稱實部為0實部為0與的虛部相同！以下性質僅適用于x[n]為實序列

共軛對稱（實部為偶函數(shù)）

（虛部為奇函數(shù)）789（幅度為偶函數(shù)）

（相位為奇函數(shù)）2.9傅里葉變換定理1線性如果則證明2時移若則幅頻響應相同見下頁，下面是相頻：取nd=2，可看到時移后相頻的變化幅頻響應相同3頻移若則幅頻響應相同見下頁，下面看相頻：取0.5，可看到相頻圖像右移了0.5單位幅頻響應相同4時間倒置若則幅頻響應相同見下頁，下面看相頻：可看到相頻圖形為軸對稱圖形幅頻響應相同5頻域微分若則相頻響應相同見下頁，下面看幅頻：相頻響應相同5帕斯瓦爾能量密度譜能量有限信號若則證明

令n=0

6卷積則若證明:7調制若則證明

例2.21例2.22例2.24作業(yè)2.12.52.8參考：2.1a\