高中數(shù)學(xué)典型例題大全第二章數(shù)列-等比數(shù)列的前n項(xiàng)和doc

【例1】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a(a＞0)，公比為q(q＞0)，前n項(xiàng)和為80，其中最大的一項(xiàng)為54，又它的前2n項(xiàng)和為6560，求a和q．解由Sn=80，S2n=6560，故q≠1∵a＞0，q＞1，等比數(shù)列為遞增數(shù)列，故前n項(xiàng)中最大項(xiàng)為an．∴an=aqn-1=54 ④將③代入①化簡得a=q－1 ⑤由⑤，⑥聯(lián)立方程組解得a=2，q=3證∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1S2n=Sn＋(a1qn＋a1qn+1＋…＋a1q2n-1)=Sn＋qn(a1＋a1q＋…＋a1qn-1)=Sn＋qnSn=Sn(1＋qn)類似地，可得S3n=Sn(1＋qn＋q2n)說明本題直接運(yùn)用前n項(xiàng)和公式去解，也很容易．上邊的解法，靈活地處理了S2n、S3n與Sn的關(guān)系．介紹它的用意在于讓讀者體會(huì)利用結(jié)合律、提取公因式等方法將某些解析式變形經(jīng)常是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵，并且變得好，則解法巧．【例3】一個(gè)有窮的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)．分析設(shè)等比數(shù)列為{an}，公比為q，取其奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)所成的數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為q2，首項(xiàng)分別為a1，a1q．解設(shè)項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*)，因?yàn)閍1=1，由已知可得q≠1．即公比為2，項(xiàng)數(shù)為8．說明運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行運(yùn)算、推理時(shí)，對(duì)公比q要分情況討論．有關(guān)等比數(shù)列的問題所列出的方程(組)往往有高次與指數(shù)方程，可采用兩式相除的方法達(dá)到降次的目的．【例4】選擇題：在等比數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，有Sn=2n[]解D．∵a1=S1=1，an=Sn－Sn-1=2n-1∴an=2n-1解法一利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式若q=1，則Sn=na1，即na1=48，2na1=96≠60，所以q≠1=Sn(1＋qn＋q2n)解法二利用等比數(shù)列的性質(zhì)：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列∴(60－48)2=48·(S3n－60)∴S3n=63．解法三取特殊值法取n=1，則S1=a1=48，S2n=S2=a1＋a2=60∴a2=12∵{an}為等比數(shù)列S3n=S3=a1＋a2＋a3=63【例7】已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an＋2(n∈N*)，a1=1(1)設(shè)bn=an+1－2an(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；解(1)∵Sn+1=4an＋2Sn+2=4an+1＋2兩式相減，得Sn+2－Sn+1=4an+1=4an(n∈N*)即：an+2=4an+1－4an變形，得an+2－2an+1=2(an+1－2an)∵bn=an+1－2an(n∈N*)∴bn+1=2bn由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列．由S2=a1＋a2=4a1＋2，a1=1可得a2=5，b1=a2－2a1=3∴bn=3