2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題與解答（B卷）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題與解答（B卷）2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）（一試）

一、填空題（每個(gè)小題8分，總分值64分1：已知函數(shù)f(x)???a?xx?alog2x?[0,3]x?(3,??)，其中a為常數(shù)，假使f(2)?f(4)，則a的取

值范圍是

2：已知y?f(x)?x3為偶函數(shù)，且f(10)?15，則f(?10)的值為3：某房間的室溫T（單位：攝氏度）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為：

T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b為正實(shí)數(shù)，假使該房間的最大溫差為10攝氏度，

則a?b的最大值是

4：設(shè)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是單位正方形，假使二面角A1?BD?C1的大小為

?，則AA1?35：已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差均為正數(shù)，且a2,a5,a9依次成等比數(shù)列，則使得

a1?a2?????ak?100a1的最小正整數(shù)k的值是226：設(shè)k為實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)點(diǎn)集A?(x,y)x?y?2(x?y)和

??B??(x,y)kx?y?k?3?0?，若A?B是單元集，則k的值為

y2x2??1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1),B(0,?1)，則PA?PB的最大值為7：設(shè)P為橢圓438：正2023邊形A1A2???A2023內(nèi)接于單位圓O，任取它的兩個(gè)不同頂點(diǎn)Ai,Aj，則OAi?OAj?1的概率為二、解答題

9：（此題總分值16分）數(shù)列?an?滿足a1?3,對(duì)任意正整數(shù)m,n，均有am?n?am?an?2mn（1）求?an?的通項(xiàng)公式；（2）假使存在實(shí)數(shù)c使得

1?c對(duì)所有正整數(shù)k都成立，求c的取值范圍?ai?1ik10：（此題總分值20分）設(shè)a1,a2,a3,a4為四個(gè)有理數(shù)，使得：

31??aa1?i?j?4????24,?2,?,?,1,3?，求a?a?ij?28?12?a3?a4的值

x2y211：（此題總分值20分）已知橢圓2?2?1(a?b?0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，存在經(jīng)過(guò)點(diǎn)Fab的一條直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)，使得OA?OB，求該橢圓的離心率的取值范圍

（加試）

1：（此題總分值40分）證明：對(duì)任意三個(gè)不全相等的非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c都有：

(a?bc)2?(b?ac)2?(c?ab)21?，并確定等號(hào)成立的充要條件222(a?b)?(b?c)?(c?a)22：（此題總分值40分）如圖，在等腰?ABC中，AB?AC，設(shè)I為其內(nèi)心，設(shè)D為?ABC內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，滿足I,B,C,D四點(diǎn)共圓，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，與AD的延長(zhǎng)線交于E求證：CD?BD?CE

2)滿足：3：（此題總分值50分）證明：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)組(a,b,c)(a,b,c?2023abc?1,bac?1,cab?1

4：（此題總分值50分）給定正整數(shù)m,n(2?m?n)，設(shè)a1,a2,???,am是1,2,???,n中任取m個(gè)互不一致的數(shù)構(gòu)成的一個(gè)排列，假使存在k??1,2,???,m?使得ak?k為奇數(shù)，或者存在整數(shù)

k,l(1?k?l?m)，使得ak?al，則稱a1,a2,???,am是一個(gè)“好排列〞，試確定所有好排列

的個(gè)數(shù)。2023年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（B卷）解答（一試）

三、填空題（每個(gè)小題8分，總分值64分

?a?x1．已知函數(shù)f(x)??x?alog2x?[0,3]x?(3,??)，其中a為常數(shù)，假使f(2)?f(4)，則a的取

值范圍是．答案：（-2,+∞）．解：f(2)?a?2,f(4)?2a，所以a?2?2a，解得：a??2．2．已知y?f(x)?x3為偶函數(shù)，且f(10)?15，則f(?10)的值為．

答案：2023．解：由己知得f(?10)?(?10)3?f(10)?103，即f(?=2023．10)1(0?)f2000?3．某房間的室溫T（單位：攝氏度）與時(shí)間t（單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為：

T?asint?bcost,t?(0,??)，其中a,b為正實(shí)數(shù)，假使該房間的最大溫差為10攝氏度，則a?b的最大值是．

答案：52．解：由輔助角公式：T?asint?bcost?條件sin??a2?b2sin(t??)，其中?滿足

ba2?b2,cos??aa2?b22222，則函數(shù)T的值域是[?a?b,a?b]，室

內(nèi)最大溫差為2a2?b2?10，得a2?b2?5．故a?b?2(a2?b2)?52,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a?b?52．24．設(shè)正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是單位正方形，假使二面角A1?BD?C1的

?，則AA1?．36答案：．解：取BD的中點(diǎn)O，連接OA,OA1,OC1．

2?則∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,

3又△OA1C1是等邊三角形．故A1O=A1C1=2，所以

大小為

226．AA1?AO?AO?(2)?()?1225．已知數(shù)列?an?為等差數(shù)列，首項(xiàng)與公差均為正數(shù)，且a2,a5,a9依次成等比數(shù)列，則使得a1?a2?????ak?100a1的最小正整數(shù)k的值是．

答案：34．解：設(shè)數(shù)列?an?的公差為d,則a2?a1?d,a5?a1?4d,a9?a1?8d．由于

2222，即(a1?d)(a1?8d)?(a1?4d)a2,a5,a9依次成等比數(shù)列，所以a2a9?a52．化簡(jiǎn)上式得

到：a1d?8d2．又d?0，所以a1?8d．由

a1?a2???ak?a1a1k?k(k?1)dk(k?1)2?k??100．

a116解得kmin?34．

226．設(shè)k為實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中有兩個(gè)點(diǎn)集A?(x