2023年高考數(shù)學試題及答案（山東理）

本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023年高考數(shù)學試題及答案（山東理）2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（山東卷）

理科數(shù)學第一卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個選項中，選擇一個符合題目要求的選項．

（1）若z?cos??isin?（i為虛數(shù)單位），則使z2??1的?值可能是（）A．

?6B．

?4C．

?3

??12D．

?2

（2）已知集合M???1，1?，N??x1?A．??1，?2x?1??4，x?Z?，則M?N?（）

?B．??1?

C．?0?D．??1，0?

（3）以下幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖一致的是（）

①正方形②圓錐

A．①②B．①③C．①④

??1??③三棱臺D．②④

④正四棱錐

a（4）設a???1，1，，3?，則使函數(shù)y?x的定義域為R且為奇函數(shù)的所有a值為（）

2A．1，3

（5）函數(shù)y?sin(2x?A．?，1

B．?1，1

?6C．?1，3D．?1，1，3?)?cos(2x?)的最小正周期和最大值分別為（）

3

B．?，2C．2?，1D．2?，2f(x)?f(y)1?f(x)f(y)（6）給出以下三個等式：f(xy)?f(x)?f(y)，f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?以下函數(shù)中不滿足其中任何一個等式的是（）A．f(x)?3

x，

B．f(x)?sinx

C．f(x)?log2x

D．f(x)?tanx

32（7）命題“對任意的x?R，x?x?1≤0〞的否定是（）

32A．不存在x?R，x?x?1≤0

1

B．存在x?R，x3?x2?1≤0C．存在x?R，x3?x2?1?0D．對任意的x?R，x?x?1?0

（8）某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與19秒之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組，成績大于等于13秒且小于14秒；其次組，成績大于等于14秒且小于0.1815秒；……第六組，成績大于等于18秒且小于等于19秒．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總人數(shù)的百分比為x，成績大于等于15

秒且小于17秒的學生人數(shù)為y，則從頻率分布直方圖中可分0.06析出x和y分別為（）A．0.9，35

B．0.9，45

C．0.1，35D．0.1，45

（9）以下各小題中，p是q的充要條件的是（）①p：m??2或m?6；q：y?x2?mx?m?3有兩個不同的零點．②p:f(?x)f(x)0.040.0232頻率/組距0.360.34013141516171819

秒

開始輸入n?1；q:y?f(x)是偶函數(shù)．

S?0，T?0③p:cos??cos?；q:tan??tan?．

④p:A?B?A；q:CUB?CUA．A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

n8642-10-551015．(x?2)2?(y?2)2?2：曲線化為(x?6)2?(y?6)2?18，其圓心到直線x?y?2?0的距

6?6?22離為d??52.所求的最小圓的圓心在直線y?x上，其到直線的距離為2，圓心坐標為

(2,2).標準方程為(x?2)?(y?2)?2。

142212108642-10-5510-216．8。：函數(shù)y?loga(x?3)?1(a?0,a?1)的圖象恒過定點A(?2,?1)，

(?2)?m?(?1)?n?1?0，2m?n?1，m,n?0，

1m?2n?(1m?2n)?(2m?n)?4?nm?4mn?4?2nm?4mn?8.

三．解答題：

（17）解：（Ⅰ）?a1?3a2?3a3?…?3?當n≥2時，a1?3a2?3a3?…?32n?22n?1an?nan?1?3n?13，①．②

13①-②得3n?1an?13，an?13n．在①中，令n?1，得a1?．?an?13n．

（Ⅱ）?bn?nan2n，?bn?n3．

?Sn?3?2?3?3?3?…?n3，③?3Sn?3?2?3?3?3?…?n3234n?13n．④

6

④-③得：?2Sn?n3n?1?(3?32?33?…?3n)．

n?1即2Sn?n3?3(1?3)1?3n，?Sn?(2n?1)34n?1?34．

（18）解：（Ⅰ）由題意知：設基才能件空間為?，記“方程x2?bx?c?0沒有實根〞為事件A，“方程

2“方程x2?bx?c?0有兩個相異實數(shù)〞為事件C，則x?bx?c?0有且僅有一個實根〞為事件B，

2…，6，???(b，c)b，c?1，2，…，6?，A?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2??B?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，C?(b，c)b?4c?0，b，c?1，，2…，6，

?2??2?基才能件總數(shù)為6?6?36，

若使方程有實根，則??b2?4c?0，即b?2c。

當c?1時，b?2,3,4,5,6；當c?2時，b?3,4,5,6；當c?3時，b?4,5,6；當c?4時，b?4,5,6；當c?5時，b?5,6；當c?6時，b?5,6。目標事件個數(shù)為5?4?3?3?2?2?19,因此方程x2?bx?c?0有實根的概率為

1936.

C中的基才能件總數(shù)為17個．又由于B，CB中的基才能件總數(shù)為2個，?A中的基才能件總數(shù)為17個，

21719??是互斥事件，故所求概率P?P(B)?P(C)?．363636171171，2，則P???0??（Ⅱ）由題意，?的可能取值為0，，P???1??，P???2??，

361836故?的分布列為：

?P01736?1?118?2?12?1．

1181736所以?的數(shù)學期望E??0?17361736（Ⅲ）記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)有中5〞為事件D，“方程x?bx?c?0有實數(shù)〞為事件E，由上面分析得

P(D)?11362，P(D?E)?736，?P(ED)?P(D?E)P(D)?711．

（19）解：:（Ⅰ）連結BE，則四邊形DABE為正方形，?BE?AD?A1D1且BE∥AD∥A1D1，

?四邊形A1D1EB為平行四邊形．?D1E∥A1B．

7

又D1E?平面A1BD，A1B?平面A1BD，?D1E∥平面A1BD．

D1C1A1B1DECAB

(II)以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設DA?1，?????????則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2).?DA1?(1,0,2),DB?(1,1,0).DC?(0,2,2)。????????????設n?(x,y,z)為平面A1BD的一個法向量，由n?DA1,n?DB得

?x?2z?0?x?-2z,即,?n?(?2z,2z,z).令z?1,則n?(?2,2,1)。，??x?y?0y?-x????????????????設m?(x1,y1,z1)為平面C1BD的一個法向量，由m?DC,m?DB得

?2y?2z?0?y?-z,即,?n?(z,?z,z).令z?1,則n?(1,?1,1)。???x?y?0?x?z??????m?n?33cos?m,n????????.由圖知該二面角A1?BD?C1為銳角，

39?3mn所以所求二面角A1?BD?C1的余弦值為33.

2060（20）解：如圖，連結A1B2，A2B2?102，A1A2??302?102，

?A1A2B2是等邊三角形，?B1A1B2?105??60??45?，

北120B2?在?A1B2B1中，由余弦定理得

B1B2?A1B1?A1B2?2A1B1?A1B2cos45??20?(102)?2?20?102?22222A2

105?22，

?200A1

B1乙10220?60?302.

甲

B1B2?102.因此乙船的速度的大小為

8

答：乙船每小時航行302海里。

xa22（21）解：(I)由題意設橢圓的標準方程為

?yb222?1(a?b?0)，則

a?c?3,a?c?1，a?2,c?1,b?3，?2x4?y23?1.

?y?kx?m?(II)設A(x1,y1),B(x2,y2)，由?x2y2得(3?4k2)x2?8mkx?4(m2?3)?0，

??1?3?4??64mk?16(3?4k)(m?3)?0，3?4k?m?0.

222222x1?x2??8mk3?4k2,x1?x2?4(m?3)3?4k222.

y1?y2?(kx1?m)?(kx2?m)?kx1x2?mk(x1?x2)?m?23(m?4k)3?4k222.

?以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),kAD?kBD??1，?y1?y2??1，y1y2?x1x2?2(x1?x2)?4?0，

x1?2x2?2223(m?4k)3?4k2?4(m?3)3?4k22?16mk3?4k2?4?0，7m?16mk?4k?0，

2222解得m1??2k,m2??2k7，且滿足3?4k?m?0.

當m??2k時，l:y?k(x?2)，直線過定點(2,0),與已知矛盾；當m??2k7時，l:y?k(x?27)，直線過定點(227,0).

綜上可知，直線l過定點，定點坐標為(,0).

7（22）解：（Ⅰ）由題意知，f(x)的定義域為(?1，??)，f?(x)?2x?bx?1?2x?2x?bx?12

2設g(x)?2x?2x?b，其圖象的對稱軸為x??11?1??(?1，??)，?g(x)max?g??????b．22?2?當b?12時，g(x)max??12?b?0，即g(x)?2x?3x?b?0在(?1，??)上恒成立，

122??)時，f?(x)?0，?當b??當x?(?1，時，函數(shù)f(x)在定義域(?1，??)上單調遞增．

9

（Ⅱ）(1)由（Ⅰ）得，當b?12時，函數(shù)f(x)無極值點．

2(2)b?122x?2x?12?2(x?1時，f?(x)?x?12x?1)2?0有兩個一致的解x??12，

1??1?????時，f?(x)?0，?x???1，??時，f?(x)?0，x???，2??2???b?12時，函數(shù)f(x)在(?1，??)上無極值點．

12(3)當b?時，f?(x)?0有兩個不同解，x1?12?1?1?2b2，x2??1?1?2b2，

顯然x1???x2。由于x?(?1，??)，令x1??1?1?2b2=-1解得b=0.

①當b?0時，x1??1?1?2b2??1，x2??1?1?2b2?0，即x1????,?1?，x2???1,???．

?b?0時，f?(x)，f(x)隨x的變化狀況如下表：

xf?(x)f(x)??1,x2??x20(x2，??)?微小值?1?1?2b2由此表可知：b?0時，f(x)有惟一微小值點x2?12.

②當0?b?時，x1??1?1?2b2??1，?x1，x2?(?1??)，

此時，f?(x)，f(x)隨x的變化狀況如下表：

xf?(x)f(x)(?1，x1)x10(x1，x2)?x10(x1，??)??極大值微小值1?2b2由此表可知：0?b?12時，f(x)有一個極大值x1??1?和一個微小值點x2??1?1?2b2；

10

綜上所述：b?0時，f(x)有惟一最小值點x??1?1?2b2；

0?b?12時，f(x)有一個極大值點x??1?1?2b2和一個微小值點x??1?1?2bx；

b≥12時，f(x)無極值點．

（Ⅲ）當b??1時，函數(shù)f(x)?x2?ln(x?1)，令函數(shù)h(x)?x3?f(x)?x3?x2?ln(x?1)，

1x?13x?(x?1)x?132則h?(x)?3x?2x?2?．