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本文格式為Word版,下載可任意編輯——2023高中數(shù)學(xué)其次章平面向量71點(diǎn)到直線的距離公式§7向量應(yīng)用舉例7.1點(diǎn)到直線的距離公式7.2向量的應(yīng)用舉例
,)
1.問題導(dǎo)航
(1)已知直線l的方向向量(M,N)或法向量(A,B),如何設(shè)l的方程?(2)向量可以解決哪些常見的幾何問題?(3)向量可以解決哪些物理問題?2.例題導(dǎo)讀
P102例1.通過本例學(xué)習(xí),學(xué)會利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)到直線的距離.試一試:教材P102練習(xí)T1,T2,T3你會嗎?
P102例2.通過本例學(xué)習(xí),學(xué)會利用向量方法解答平面幾何問題的方法步驟.試一試:教材P104習(xí)題2-7B組T1你會嗎?
P103例3,例4.通過此兩例學(xué)習(xí),學(xué)會利用向量方法解答物理中位移、力等問題.試一試:教材P104習(xí)題2-7A組T3,B組T2你會嗎?
1.直線l:Ax+By+C=0的法向量
(1)與直線的方向向量垂直的向量稱為該直線的法向量.
(2)若直線l的方向向量v=(B,-A),則直線l的法向量n=(A,B).
B?n?A,(3)與直線l的法向量n同向的單位向量n0==?22?.
|n|?A+BA2+B2?2.點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)M(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離|Ax0+By0+C|d=.
A2+B23.用向量解決平面幾何中的問題
(1)證明線段平行或相等,可以用向量的數(shù)乘、平行向量定理.(2)證明線段垂直,可以用向量數(shù)量積運(yùn)算.
(3)利用向量數(shù)量積運(yùn)算,可以求線段的長度、夾角及平面圖形的面積.4.用向量解決解析幾何中的問題
解析幾何是在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究圖形的性質(zhì),這類問題大多適用于向量的坐標(biāo)運(yùn)算,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,設(shè)出向量的坐標(biāo),將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算.
5.向量在物理中的應(yīng)用
向量有著豐富的物理背景,向量的物理背景是位移、力、速度等,向量數(shù)量積的物理背景是力所做的功,因此,利用向量可以解決一些物理問題.
用向量法解決物理問題時,要作出相應(yīng)的幾何圖形,以幫助我們建立數(shù)學(xué)模型.向量在
1
物理中的應(yīng)用,如求力的合成與分解,力做功等,實(shí)際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后通過向量運(yùn)算解決向量問題,最終再用獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.
1.判斷正誤.(正確的打“√〞,錯誤的打“×〞)
(1)求力F1和F2的合力可依照向量加法的三角形法則求解.()
→→
(2)若△ABC為直角三角形,則有AB·AC=0.()
→→
(3)若向量AB∥CD,則AB∥CD.()
解析:(1)正確.物理中的力既有大小又有方向,所以力可以看作向量,F(xiàn)1,F(xiàn)2的合力可依照向量加法的三角形法則求解.
(2)錯誤.由于△ABC為直角三角形,角A并不一定是直角,有可能是角B或角C為直角.
→→
(3)錯誤.向量AB∥CD時,直線AB∥CD或AB,CD重合.答案:(1)√(2)×(3)×
2.已知A,B,C,D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則此四邊形為()
A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形
3→→→→→→→→
解析:選A.AB=(3,3),CD=(-2,-2),所以AB=-CD,AB與CD共線,但|AB|≠|(zhì)CD2
|,故此四邊形為梯形.
3.兩個大小相等的共點(diǎn)力F1,F(xiàn)2,當(dāng)它們間的夾角為90°時合力大小為20N,則當(dāng)它們的夾角為120°時,合力的大小為________N.
解析:
根據(jù)題意,當(dāng)F1,F(xiàn)2夾角為90°時,
222
|F1|+|F2|=20,
由于|F1|=|F2|,所以|F1|=|F2|=102,
→
則當(dāng)F1,F(xiàn)2夾角為120°時,它們的合力大小為|AC|=102.答案:102
→→
4.在△ABC中,若C=90°,AC=BC=4,則BA·BC=________.解析:由于C=90°,AC=BC=4,所以△ABC為等腰直角三角形,
→→
所以BA=42,∠ABC=45°,所以BA·BC=16.答案:16
1.對直線l:Ax+By+C=0的方向向量及法向量的兩點(diǎn)說明
→
(1)設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)為直線上不重合的兩點(diǎn),則P1P2=(x2-x1,y2-y1)及其共線
→→?y2-y1?與P的向量λP1P2均為直線的方向向量.顯然當(dāng)x1≠x2時,向量?1,?1P2共線,因此向
?x2-x1?
A?1?量?1,-?=(B,-A)為直線l的方向向量,由共線向量的特征可知(B,-A)為直線l的
?B?B方向向量.
(2)結(jié)合法向量的定義可知,向量(A,B)與(B,-A)垂直,從而向量(A,B)為直線l的法向量.
2
2.向量法在幾何證明與計(jì)算中的幾個主要應(yīng)用(1)A、B、C三點(diǎn)共線的證法
→→→→
只需證AB=λBC或AB=(x1,y1),BC=(x2,y2)滿足x1y2-x2y1=0.(2)證明AB⊥AC的方法
→→
只需證AB·AC=0.
(3)求A、B兩點(diǎn)間距離的方法
→
可把AB表示成λa+μb或者求坐標(biāo)(x,y),然后利用向量的運(yùn)算求解.(4)求∠AOB的方法
→→OA·OB利用數(shù)量積定義的變形cos∠AOB=.
→→|OA||OB|
3.向量在物理中應(yīng)用時應(yīng)注意的三個問題
(1)把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,也就是將物理量之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型.(2)利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回復(fù)相關(guān)的物理現(xiàn)象.
(3)在解決具體問題時,要明確和把握用向量方法研究物理問題的相關(guān)知識:①力、速度、加速度和位移都是向量;
②力、速度、加速度和位移的合成與分解就是向量的加、減法;③動量mv是數(shù)乘向量;
④功是力F與在力F的作用下物體所產(chǎn)生的位移s的數(shù)量積.
向量在解析幾何中的應(yīng)用
(1)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),且平行于向量a=(3,2)的直線方程是________.
22
(2)已知圓C:(x-3)+(y-3)=4及點(diǎn)A(1,1),M是圓C上的任一點(diǎn),點(diǎn)N在線段
→→
MA的延長線上,且MA=2AN,求點(diǎn)N的軌跡方程.
→
[解](1)在直線上任取一點(diǎn)P(x,y),則AP=(x+1,y-2),→
由AP∥a,得(x+1)×2-(y-2)×3=0,即2x-3y+8=0.故填2x-3y+8=0.(2)設(shè)N(x,y),M(x0,y0).
→→
由于MA=2AN,所以(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
??1-x0=2x-2,??x0=3-2x,所以?即?
??1-y=2y-2,y=3-2y,00??
22
又由于點(diǎn)M(x0,y0)在圓C:(x-3)+(y-3)=4上,
222222
所以(x0-3)+(y0-3)=4,所以(2x)+(2y)=4,即x+y=1,所以點(diǎn)N的軌跡方程22
為x+y=1.
將本例(1)中的“平行于向量〞改為“法向量為〞結(jié)果如何?
解:由法向量a=(3,2),設(shè)直線的方程為3x+2y+c=0,又A(-1,2)在直線上,所以3×(-1)+2×2+c=0,得c=-1,即3x+2y-1=0.
方法歸納
3
向量在解析幾何中的應(yīng)用問題
向量與解析幾何的綜合是高考的熱點(diǎn).主要題型有:(1)向量的概念、運(yùn)算、性質(zhì)、幾何意義與解析幾何問題結(jié)合.(2)將向量作為描述問題或解決問題的工具.(3)以向量坐標(biāo)運(yùn)算為工具,考察直線與曲線相交、軌跡等問題.
1.(1)已知兩點(diǎn)A(3,2),B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則m=________.(2)已知點(diǎn)P(-3,0),點(diǎn)A在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M在直線AQ上,滿
3→→→→
足PA·AM=0,AM=-MQ.當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動時,求動點(diǎn)M的軌跡方程.
2
n1
解:(1)由已知得直線的一個法向量為n=(m,1),其單位向量為n0==(m,2
|n|1+m→→→
1),在直線上任取一點(diǎn)P(0,-3),則AP=(-3,-5),BP=(1,-7).依題意有|AP·n0|
|-3m-5||m-7|11→
=|BP·n0|,即=,解得m=或m=-6.故填或-6.22
221+m1+m→
(2)設(shè)點(diǎn)M(x,y)為軌跡上的任一點(diǎn),設(shè)A(0,b),Q(a,0)(a>0),則AM=(x,y-b),→
MQ=(a-x,-y).
3→3→
由于AM=-MQ,所以(x,y-b)=-(a-x,-y).
22
????所以a=,b=-,即A?0,-?,Q?,0?.
2??3?32?
y?→?3y?→?
PA=?3,-?,AM=?x,?.
2?2???
32→→
由于PA·AM=0,所以3x-y=0.
42
即所求軌跡方程為y=4x(x>0).
向量在平面幾何中的應(yīng)用
如圖正三角形ABC中,D、E分別是AB、BC上的一個三等分點(diǎn),
且AE、CD交于點(diǎn)P.求證:BP⊥DC.
(鏈接教材P100例2)
→→
[證明]設(shè)PD=λCD,并設(shè)三角形ABC的邊長為a,則有:→→→→1→PA=PD+DA=λCD+BA
3
→→?2→→?1→1
=λ?BA-BC?+BA=(2λ+1)BA-λBC.
3?3?3
→→1→→→又EA=BA-BC,PA∥EA,
3
1→→→1→所以(2λ+1)BA-λBC=kBA-kBC,
33
xyyx4
1
(2λ+1)=k,31
于是有解得λ=.71
λ=k,
3
→1→所以PD=CD.
7
→→→1→4→所以BP=BC+CP=BC+BA,
77
→2→→CD=BA-BC.
3
→→?1→4→??2→→?所以BP·CD=?BC+BA?·?BA-BC?
7??3?7?
8212102
=a-a-acos60°=0.21721
所以由向量垂直的等價(jià)條件知BP⊥DC.
方法歸納
用向量解決平面幾何問題的兩種常見思路(1)向量的線性運(yùn)算法
?????
選取基底―→把所求問題用基底線性表示―→利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系―→把向量問題幾何化(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法
建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系―→把相關(guān)向量坐標(biāo)化―→向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系―→把向量問題幾何化
2.(1)如圖,在?ABCD中,E,F(xiàn)在對角線BD上,且BE=FD,則四邊形AECF的形狀是________.
(2)如下圖,在平行四邊形ABCD中,BC=2BA,∠ABC=60°,作AE⊥BD交BC于點(diǎn)E,求BE∶EC的值.
→→→→→→→→→→
解:(1)由已知可設(shè)AB=DC=a,BE=FD=b,故AE=AB+BE=a+b,F(xiàn)C=FD+DC=b+a,
→→
又a+b=b+a,則AE=FC,即AE,F(xiàn)C平行且相等,故四邊形AECF是平行四邊形.故填平行四邊形.
→→
(2)法一:設(shè)BA=a,BC=b,|a|=1,|b|=2,
→
則a·b=|a||b|cos60°=1,BD=a+b.→→→→→
設(shè)BE=λBC=λb,則AE=BE-BA=λb-a.
→→
由AE⊥BD,得AE·BD=0,即(λb-a)·(a+b)=0,
5
223
解得λ=,所以BE∶EC=∶=2∶3.
555
法二:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)B(0,0),C(2,0),
3??53??1
則A?,?,D?,?.
?22??22?3?→?13?→?5
設(shè)E(m,0),則BD=?,?,AE=?m-,-?,
2??22??25133→→
由AE⊥BD,得AE·BD=0,即(m-)-×=0,
2222
446
解得m=,所以BE∶EC=∶=2∶3.
555
向量在物理中的應(yīng)用
一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3的作用,沿北偏東45°的方向移動了
8m.已知|F1|=2N,方向?yàn)楸逼珫|30°,|F2|=4N,方向?yàn)楸逼珫|60°,|F3|=6N,方向?yàn)楸逼?0°,求這三個力的合力F所做的功.
(鏈接教材P103例4)
[解]以三個力的作用點(diǎn)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正半軸,正北方向?yàn)閥軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,如下圖.
由已知可得F1=(1,3),F(xiàn)2=(23,2),F(xiàn)3=(-3,33).所以F=F1+F2+F3=(23-2,43+2).又位移s=(42,42),
所以F·s=(23-2)×42+(43+2)×42=246(J).故這三個力的合力F所做的功是246J.
方法歸納
利用向量解決物理問題的思路及注意問題
(1)向量在物理中的應(yīng)用,實(shí)際上是把物理問題轉(zhuǎn)化為向量問題,然后通過向量運(yùn)算解決向量問題,最終用所獲得的結(jié)果解釋物理現(xiàn)象.
(2)在用向量法解決物理問題時,應(yīng)作出相應(yīng)圖形,以幫助建立數(shù)學(xué)模型,分析解題思路.
(3)注意問題:①如何把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,也就是將物理之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型;②如何利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回復(fù)相關(guān)的物理現(xiàn)象.
3.(1)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個力F1,F(xiàn)2,F(xiàn)3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài).已知F1,F(xiàn)2成60°角,且F1,F(xiàn)2的大小分別為2和4,則F3的大小為()
A.6B.2C.25D.27(2)點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動,速度向量v=(4,-3)(即點(diǎn)P的運(yùn)動方向與v一致,且每秒移動的距離為|v|個單位).設(shè)開始時點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(-10,10),則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為()
A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)
(3)已知兩恒力F1=(3,4)、F2=(6,-5)作用于同一質(zhì)點(diǎn),使之由點(diǎn)A(20,15)移動到
6
點(diǎn)B(7,0),試求:
①F1、F2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功;②F1,F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功.
解:(1)選D.由于力F是一個向量,由向量加法的平行四邊形法則知F3的大小等于以F1,F(xiàn)2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長,故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28,所以|F3|=27.
→
(2)選C.由題意知,P0P=5v=(20,-15),
??x+10=20,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則?
?y-10=-15,?
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(10,-5).
→
(3)設(shè)物體在力F作用下的位移為s,則所做的功為W=F·s,AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
→→
①W1=F1·AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),W2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).
→→
②W=F·AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).
易錯警示向量在幾何應(yīng)用中的誤區(qū)→?→→?→ABAC?→AB·AC1→→?+在△ABC中,已知向量AB與AC滿足·BC=0且=,則△ABC→??|→→→2
|AB|·|AC|?AB||AC|?
的形狀為________.
→→→→ABACABAC→→
[解析]由于向量,分別表示與向量AB,AC同向的單位向量,所以以,→→→→|AB||AC||AB||AC|
為鄰邊的平行四邊形是菱形.
→→ABAC→
根據(jù)平行四邊形法則作AD=+(如下圖),
→→|AB||AC|
則AD是∠BAC的平分線.由于非零向量滿足
→??→ABAC?→?+·BC=0,→??|→
?AB||AC|?
所以∠BAC的平分線AD垂直于BC,所以AB=AC,
→→AB·AC1
又cos∠BAC==,且∠BAC∈(0,π),
→→2|AB||AC|π
所以∠BAC=,所以△ABC為等邊三角形.
3
[答案]等邊三角形
[錯因與防范](1)解答此題常會給出錯誤的答案為“直角三角形〞,原因在于未能正確分析挖掘題設(shè)中的條件,直接根據(jù)數(shù)量積為零,就判斷△ABC為直角三角形.
(2)為杜絕上述可能發(fā)生的錯誤,應(yīng)當(dāng):①注意知識的積累
→→ABAC向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的幾何意義是解決向量問題的依據(jù),如本例中,的含義,
→→|AB||AC|
7
鄰邊相等的平行四邊形是菱形,菱形的對角線平分對角.
②樹立數(shù)形結(jié)合意識
推導(dǎo)圖形的形狀時要以題目條件為依據(jù)全面進(jìn)行推導(dǎo),回復(fù)應(yīng)力求確鑿,如本例求解時,以圖形輔助解題,較為形象直觀.
→→
4.(1)設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若A1A3=λA1A2(λ∈R),
11→→
A1A4=μA1A2(μ∈R),且+=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2.已知平面上的點(diǎn)C,D調(diào)和
λμ
分割點(diǎn)A,B,則下面說法正確的是()
A.C可能是線段AB的中點(diǎn)B.D可能是線段AB的中點(diǎn)C.C、D可能同時在線段AB上
D.C、D不可能同時在線段AB的延長線上
→→→→??ABAC→OB+OC??,+(2)設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn),動點(diǎn)P滿足OP=+λ
→?|→?2
?AB|cosB|AC|cosC?
λ∈(0,+∞),則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()
A.重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析:(1)選D.由于C,D調(diào)和分割點(diǎn)A,B,
11→→→→
所以AC=λAB,AD=μAB,且+=2(*),
λμ
不妨設(shè)A(0,0),B(1,0),則C(λ,0),D(μ,0),
11→1→
對A,若C為AB的中點(diǎn),則AC=AB,即λ=,將其代入(*)式,得=0,這是無意
22μ
義的,故A錯誤;
11
對B,若D為AB的中點(diǎn),則μ=,同理得=0,故B錯誤;
2λ
對C,要使C,D同時在線段AB上,則0<λ<1,且0<μ<1,
11
所以>1,>1,
λμ1111
所以+>2,這與+=2矛盾;故C錯誤;顯然D正確.
λμλμ
(2)選C.設(shè)線段BC的中點(diǎn)為D,→→OB+OC→則=OD.
2
→→→→??ABAC→OB+OC??+所以O(shè)P=+λ
→?|→?2
?AB|cosB|AC|cosC?→→??ABAC→??,+=OD+λ
→?|→?
?AB|cosB|AC|cosC?
→→??→ABAC→→??=DP,+所以O(shè)P-OD=λ
→?|→?
?AB|cosB|AC|cosC?
→→??→ABAC→→??·BC+所以DP·BC=λ
→?|→?
?AB|cosB|AC|cosC?
8
→→→??→AB·BCAC·BC?+=λ?
→→?|AB??|cosB|AC|cosC?
→→→?|→AB|·|BC|cos(π-B)|AC|·|BC|cosC???+=λ
→→??|AB|cosB|AC|cosC??
→→
=λ(-|BC|+|BC|)=0,
所以DP⊥BC,即點(diǎn)P一定在線段BC的垂直平分線上,即動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的外心.
1.已知直線x+3y+9=0,則直線的一個法向量為()A.a(chǎn)=(1,3)B.a(chǎn)=(3,1)C.a(chǎn)=(3,-1)D.a(chǎn)=(-3,-1)解析:選A.直線Ax+By+C=0的法向量可以為(A,B).
→→→2
2.在△ABC中,若AB·BC+|AB|=0,則△ABC的形狀是()A.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.鈍角三角形
→→→2
解析:選C.由于AB·BC+|AB|=0,
→→→2→→→
所以AB·BC+AB=0,即AB·(BC+AB)=0.
→→→→
所以AB·AC=0,所以AB⊥AC,即AB⊥AC.所以A=90°.所以△ABC是直角三角形.
3.一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行,直撲獵物,太陽光從頭上直照下來,鷹在地面上的影子的速度是40m/s,則鷹的飛行速率為()
80403A.m/sB.m/s3380340
m/sD.m/s33
解析:選C.設(shè)鷹的飛行速度為v1,鷹在地面上的影子的速度為v2,則v2=40m/s,因
|v2|803
為鷹的運(yùn)動方向是與水平方向成30°角向下,故|v1|==(m/s),應(yīng)選C.
33
C.
2
,[學(xué)生用書單獨(dú)成冊])
[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1.一個人騎自行車行駛速度為v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度的大小為()A.v1-v2B.v1+v2C.|v1|-|v2|
D.v1
v2
解析:選C.根據(jù)速度的合成可知.
→→2.若OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分別表示F1,F(xiàn)2,則|F1+F2|為()A.(0,5)B.25C.22D.5
9
解析:選D.由于F1+F2=(0,5),
22
所以|F1+F2|=0+5=5.
3.過點(diǎn)A(2,3)且垂直于向量a=(2,1)的直線方程為()A.2x+y-7=0B.2x+y+7=0C.x-2y+4=0D.x-2y-4=0
→
解析:選A.設(shè)所求直線上任一點(diǎn)P(x,y),則AP⊥a.
→
又由于AP=(x-2,y-3),所以2(x-2)+(y-3)=0,
即所求的直線方程為2x+y-7=0.
→→→→
4.若Ai(i=1,2,3,4,…,n)是△AOB所在平面內(nèi)的點(diǎn),且OAi·OB=OA·OB.給出以下說法:
→→→→①|(zhì)OA1|=|OA2|=…=|OAn|=|OA|;
→→②|OAi|的最小值一定是|OB|;③點(diǎn)A、Ai在一條直線上.其中正確的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.3
→→→→
解析:選B.由OAi·OB=OA·OB,
→→→→→
可得(OAi-OA)·OB=0,即AAi·OB=0,
→→
所以AAi⊥OB,即點(diǎn)Ai在邊OB過點(diǎn)A的垂線上.故三個命題中,只有③正確,應(yīng)選B.
→
5.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,則AD等于()A.(-1,2)B.(1,-2)C.(1,2)D.(-1,-2)
→→→
解析:選A.設(shè)D(x,y),則AD=(x-2,y+1),BD=(x-3,y-2),BC=(-6,-3).
→→→→由于AD⊥BC,BD∥BC.
???-6(x-2)-3(y+1)=0,?x=1,→?所以解得?所以AD=(-1,2).?-3(x-3)+6(y-2)=0,?y=1,??
6.已知三個力F1=(3,4),F(xiàn)2=(2,-5),F(xiàn)3=(x,y),滿足F1+F2+F3=0,若F1與F2
的合力為F,則合力F與力F1夾角的余弦值為________.
解析:由于F1+F2+F3=0,F(xiàn)1+F2=F,所以F=-F3,由于F3的坐標(biāo)為(-5,1),所以F=-F3=(5,-1),設(shè)合力F與力F1的夾角為θ,
F1·F3×5+4×(-1)1126
則cosθ==2=.222
|F1||F|1303+4·5+(-1)1126
答案:130
7.已知直線的方向向量為a=(3,1),且過點(diǎn)A(-2,1),則直線方程為____________.
1
解析:由題意知,直線的斜率為,設(shè)直線方程為x-3y+c=0,把(-2,1)代入得c3
=5,
故所求直線方程為x-3y+5=0.答案:x-3y+5=08.已知|a|=3,|b|=4,|c|=23,且a+b+c=0,則a·b+b·c+c·a=________.
10
解析:(a+b+c)=|a|+|b|+|c|+2(a·c+b·c+a·b)=0,所以a·b+b·c+
31
c·a=-.
2
31
答案:-
2
→→→→
9.在△ABC中,AB·AC=|AB-AC|=6,M為BC邊的中點(diǎn),求中線AM的長.
→→→→2
解:由于|AB-AC|=6,所以(AB-AC)=36.→2→2→→
即AB+AC-2AB·AC=36.
→→→2→2
又由于AB·AC=6,所以AB+AC=48.
→1→→
又由于AM=(AB+AC),
2
1→21→2→2→→
所以AM=(AB+AC+2AB·AC)=×(48+12)=15,
44→
所以|AM|=15,即中線AM的長為15.
10.已知點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),點(diǎn)P(x,y)為直線y=x-1上的一個動點(diǎn).(1)求證:∠APB恒為銳角;
→→
(2)若四邊形ABPQ為菱形,求BQ·AQ的值.
解:(1)證明:由于點(diǎn)P(x,y)在直線y=x-1上,所以點(diǎn)P(x,x-1),
→→
所以PA=(-1-x,1-x),PB=(-x,2-x),
→→22
所以PA·PB=2x-2x+2=2(x-x+1)??1?23?
=2??x-?+?>0,??2?4?
→→PA·PB所以cos∠APB=>0,
→→|PA||PB|
→→
若A,P,B三點(diǎn)在一條直線上,則PA∥PB,得到(x+1)(x-2)-(x-1)x=0,方程無解,所以∠APB≠0,所以∠APB恒為銳角.
→→
(2)由于四邊形ABPQ為菱形,所以|AB|=|BP|,
22
即2=x+(x-2),
2
化簡得到x-2x+1=0,所以x=1,所以P(1,0),
→→
設(shè)Q(a,b),由于PQ=BA,
?a=0,?
所以(a-1,b)=(-1,-1),所以?
??b=-1,
→→
所以BQ·AQ=(0,-2)·(1,-1)=2.
[B.能力提升]
1.水平面上的物體受到力F1,F(xiàn)2的作用,F(xiàn)1水平向右,F(xiàn)2與水平向右方向的夾角為θ,物體在運(yùn)動過程中,力F1與F2的合力所做的功為W,若物體一直沿水平地面運(yùn)動,則力F2對物體做功的大小為()
|F2||F2|cosθA.WB.W|F1|+|F2||F1|+|F2|
2222
11
|F2||F2|cosθ
WD.W
|F1|cosθ+|F2||F1|+|F2|cosθ
解析:選D.設(shè)物體的位移是s,根據(jù)題意有(|F1|+|F2|·cosθ)|s|=W,即|s|=W|F2|cosθ
,所以力F2對物體做功的大小為W.
|F1|+|F2|cosθ|F1|+|F2|cosθ
?x,x≥y,?y,x≥y,??
2.記max{x,y}=?min{x,y}=?設(shè)a,b為平面向量,則()
??y,x<y,x,x<y,??
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
2222C.max{|a+b|,|a-b|}≤|a|+|b|
2222D.max{|a+b|,|a-b|}≥|a|+|b|
解析:選D.對于min{|a+b|,|a-b|}與min{|a|,|b|},相當(dāng)于平行四邊形的對角線長度的較小者與兩鄰邊長的較小者比較,它們的大小關(guān)系不確定,因此A,B均錯,而|a+b|,|a-b|中的較大者與|a|,|b|可構(gòu)成非銳角三角形的三邊,因此有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.
→→→→
3.已知△ABC的面積為10,P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足PA+PB+2PC=3AB,則△ABP的面積為________.
→→→→→→→→→→→→
解析:由PA+PB+2PC=3AB,得PA+PB+2PC=3(PB-PA),所以4PA+2(PC-PB)=0,→→
所以2PA=CB,由此可得PA與CB平行且|CB|=2|PA|,故△ABP的面積為△ABC的面積的一半,故△ABP的面積為5.
答案:5
→
4.在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),A(-1,0),B(0,3),C(3,0),動點(diǎn)D滿足|CD→→→
|=1,則|OA+OB+OD|的最大值是________.
→→→→22
解析:設(shè)D(x,y),由|CD|=
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