2021數(shù)學(xué)蘇教版一輪考點(diǎn)測試10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021高考數(shù)學(xué)蘇教版一輪考點(diǎn)測試10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)含解析考點(diǎn)測試10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考概覽高考在本考點(diǎn)的?？碱}型為選擇題，分值5分，中、低等難度考綱研讀1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用2．理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)3．體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型4．了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a〉0，且a≠1）與對數(shù)函數(shù)y＝logax（a〉0，且a≠1）互為反函數(shù)一、基礎(chǔ)小題1．計(jì)算log29×log34＋2log510＋log50。25＝（)A．0 B．2C．4 D．6答案D解析由對數(shù)的運(yùn)算公式和換底公式可得log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×eq\f（log24,log23）＋log5（102×0.25)＝4＋2＝6。故選D。2．設(shè)函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（4x－1,x≤0，，log2x，x＞0，))則feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)））＝（)A．－1 B．1C．－eq\f（1，2) D．eq\f(\r（2)，2)答案A解析feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）＝log2eq\f(1，2)＝－1，故選A.3．函數(shù)f(x)＝lg(x＋1）＋lg（x－1）（)A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案C解析函數(shù)f（x)的定義域?yàn)閧x|x〉1｝,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故該函數(shù)是非奇非偶函數(shù),故選C。4．若lg2，lg（2x＋1)，lg(2x＋5)成等差數(shù)列,則x的值等于(）A．1 B．0或eq\f（1,8)C．eq\f（1，8） D．log23答案D解析由題意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1）,2(2x＋5)＝（2x＋1)2，(2x）2－9＝0,2x＝3，x＝log23。故選D。5．已知a，b，c分別是方程2x＝－x,log2x＝－x，log2x＝eq\r(x)的實(shí)數(shù)解，則（）A．b〈c<a B．a(chǎn)〈b〈cC．a(chǎn)<c<b D．c<b〈a答案B解析由2a＝－a〉0，得a〈0，由log2b＝－b〈0，得0〈b<1，由log2c＝eq\r(c)>0，得c>1，綜上可知，a<b<c，故選B.6．設(shè)m＝log0。30。6,n＝eq\f（1，2)log20.6,則（）A．m－n〉m＋n〉mn B．m－n〉mn>m＋nC．m＋n〉m－n>mn D．mn〉m－n>m＋n答案A解析m＝log0.30。6〉log0.31＝0,n＝eq\f（1,2）log20。6〈eq\f（1，2)log21＝0，mn<0。eq\f（1,m)＋eq\f(1,n）＝log0.60.3＋log0.64＝log0。61.2〈log0.60.6＝1，即eq\f（m＋n，mn)〈1，故m＋n>mn。又（m－n)－(m＋n)＝－2n>0,所以m－n>m＋n。故m－n>m＋n>mn，所以選A.7．已知log23＝a,log37＝b，則log4256＝（)A。eq\f（3＋ab,1＋a＋ab） B．eq\f(3a＋b,a＋a2＋b）C.eq\f(3＋b,1＋a＋b） D．eq\f（1＋a＋ab，3＋ab)答案A解析log4256＝eq\f(log256，log242)＝eq\f(3＋log27,1＋log23＋log27)＝eq\f(3＋log23·log37，1＋log23＋log23·log37）＝eq\f(3＋ab，1＋a＋ab）.故選A。8．已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（ex－1，x＜2，,log3x2－1，x≥2，))若f(a）≥1，則a的取值范圍是()A．［1，2） B．[1，＋∞）C．[2，＋∞) D．（－∞，－2］∪[1，＋∞）答案B解析函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(ex－1，x＜2，，log3x2－1，x≥2，）)若f（a)≥1，可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＜2，,ea－1≥1)）或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2,,log3a2－1≥1,)）解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜2，,ea－1≥1，)）可得1≤a＜2;解eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a≥2，,log3a2－1≥1，)）可得a≥2.綜上a≥1.故選B.9．設(shè)x,y，z均為大于1的實(shí)數(shù)，且log2x＝log3y＝log5z,則x3，y5，z2中最小的是()A．z2 B．y5C．x3 D．三個數(shù)相等答案C解析因?yàn)閤,y，z均為大于1的實(shí)數(shù),所以log2x＝log3y＝log5z〉0，不妨設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝t，則t〉0，x＝2t,y＝3t，z＝5t，所以x3＝23t＝8t，y5＝35t＝243t，z2＝52t＝25t，又y＝xt在(0，＋∞）上單調(diào)遞增，故x3最?。蔬xC.10．計(jì)算:9eq\f（1,2）－log95＝________.答案eq\f（3，5)解析9eq\f(1，2）－log95＝9eq\f(1，2)×9－log95＝3×eq\f(1，5）＝eq\f(3，5)。11．已知2x＝72y＝A，且eq\f（1，x）＋eq\f（1,y)＝2，則A的值是________．答案7eq\r（2）解析由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝eq\f（1,2)log7A,則eq\f(1,x)＋eq\f（1，y)＝eq\f(1，log2A）＋eq\f（2，log7A)＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98。又A〉0，故A＝eq\r（98)＝7eq\r(2）.12．已知函數(shù)f(x)＝｜log3x｜，實(shí)數(shù)m，n滿足0<m<n，且f(m)＝f(n）,若f（x)在［m2,n]上的最大值為2，則eq\f(n,m)＝________.答案9解析因?yàn)閒（x)＝|log3x|,正實(shí)數(shù)m，n滿足m〈n，且f(m)＝f(n）,所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因?yàn)閒(x）在區(qū)間［m2，n］上的最大值為2，函數(shù)f（x)在[m2，1)上是減函數(shù)，在（1，n］上是增函數(shù)，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2,得m＝eq\f（1,3)，則n＝3，此時log3n＝1，滿足題意．那么eq\f（n，m)＝3÷eq\f(1,3)＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，則m＝eq\f(1，9）。此時－log3m2＝4〉2，不滿足題意．綜上可得eq\f（n,m)＝9。二、高考小題13．(2019·天津高考)已知a＝log52,b＝log0.50.2，c＝0。50.2，則a，b，cA．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)〈b〈cC．b〈c〈a D．c<a〈b答案A解析因?yàn)閥＝log5x是增函數(shù)，所以a＝log52<log5eq\r(5）＝0。5.因?yàn)閥＝log0.5x是減函數(shù)，所以b＝log0.50。2〉log0.50。5＝1.因?yàn)閥＝0.5x是減函數(shù),所以0.5＝0.51〈c＝0。50.2<0.50＝1，即0.5<c〈1。所以a〈c<b.故選A.14．(2019·北京高考)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝eq\f(5，2)lgeq\f（E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26。7,天狼星的星等是－1。45,則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010。1 B．10.1C．lg10.1 D．10－10。1答案A解析由題意知，m1＝－26。7，m2＝－1.45,代入所給公式得－1.45－(－26.7)＝eq\f（5,2)lgeq\f（E1,E2)，所以lgeq\f（E1，E2）＝10。1，所以eq\f(E1,E2)＝1010。1.故選A。15．(2018·全國卷Ⅲ)下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y＝lnx的圖象關(guān)于直線x＝1對稱的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x）C．y＝ln（1＋x) D．y＝ln(2＋x）答案B解析函數(shù)y＝lnx過定點(diǎn)（1，0）,（1,0）關(guān)于直線x＝1對稱的點(diǎn)還是(1，0），只有y＝ln(2－x)過此點(diǎn)，故選B。16．(2016·全國卷Ⅰ）若a>b>1，0〈c<1,則(）A．a(chǎn)c〈bc B．a(chǎn)bc〈bacC．a(chǎn)logbc<blogac D．logac〈logbc答案C解析解法一：由a>b〉1,0<c<1，知ac>bc，A錯誤；∵0〈c〈1,∴－1<c－1〈0，∴y＝xc－1在x∈（0,＋∞）上是減函數(shù)，∴bc－1>ac－1，又ab〉0，∴ab·bc－1>ab·ac－1，即abc〉bac，B錯誤；易知y＝logcx是減函數(shù)，∴0>logcb>logca,∴l(xiāng)ogbc<logac，D錯誤；由logbc<logac〈0,得－logbc〉－logac〉0,又a>b〉1>0，∴－alogbc〉－blogac>0，∴alogbc〈blogac，故選C。解法二：依題意，不妨取a＝10，b＝2，c＝eq\f(1,2）.易驗(yàn)證A，B，D均是錯誤的，只有C正確．17．（2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)，若f（3)＝1，則a＝________.答案－7解析根據(jù)題意，有f(3）＝log2(9＋a）＝1,可得9＋a＝2，所以a＝－7。18．（2016·浙江高考）已知a〉b〉1.若logab＋logba＝eq\f(5，2)，ab＝ba,則a＝________，b＝________.答案42解析令logab＝t，∵a>b〉1，∴0<t〈1，由logab＋logba＝eq\f(5,2)得，t＋eq\f(1，t）＝eq\f（5,2），解得t＝eq\f(1，2)或t＝2（舍去),即logab＝eq\f（1，2），∴b＝eq\r(a),又ab＝ba，∴aeq\r(a)＝(eq\r（a）)a,即aeq\r(a)＝aeq\f(a,2),亦即eq\r(a）＝eq\f(a，2），解得a＝4，∴b＝2.三、模擬小題19．（2020·湖南湘潭高三階段測試）如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，那么eq\f(P，Q）的值為（)A.eq\f(1，4） B．4C．6 D．4或1答案B解析由題意知P〉0，Q>0，P>2Q。由2loga（P－2Q)＝logaP＋logaQ可得loga（P－2Q）2＝loga(PQ），所以(P－2Q)2＝PQ，可化為P2－5PQ＋4Q2＝0，又因?yàn)镼〉0,所以eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（P，Q）)）2－eq\f（5P，Q）＋4＝0，解得eq\f(P，Q)＝4或eq\f(P,Q）＝1（舍去）．故選B。20．（2019·廣州市高三年級調(diào)研）已知實(shí)數(shù)a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝（ln2)2,則a，b，c的大小關(guān)系是(）A．c<b<a B．c<a〈bC．b〈a<c D．a(chǎn)<c〈b答案B解析因?yàn)閘n2＝loge2，所以0<ln2<1,所以c＝(ln2）2<1,而20<2ln2〈21，即1<a〈2，b＝2＋2ln2〉2，所以c<a〈b.故選B。21．（2019·大慶模擬）設(shè)函數(shù)f(x）＝x3＋log2(x＋eq\r（x2＋1))，則對任意實(shí)數(shù)a，b,若a＋b≥0，則（）A．f(a)＋f（b）≤0 B．f（a)＋f（b)≥0C．f(a）－f（b）≤0 D．f(a)－f(b)≥0答案B解析設(shè)f(x）＝x3＋log2（x＋eq\r(x2＋1)），其定義域?yàn)镽，f（－x)＝－x3＋log2（－x＋eq\r（x2＋1))＝－x3－log2(x＋eq\r（x2＋1）)＝－f（x），所以f(x）是奇函數(shù)，且在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，故f（x）在R上單調(diào)遞增，那么a＋b≥0，即a≥－b時,f（a)≥f（－b)，得f(a)≥－f(b)，可得f（a)＋f（b)≥0。故選B。22．（2019·安慶二模）若函數(shù)f(x）＝logax(a＞0且a≠1)的定義域與值域都是［m，n]（m〈n),則a的取值范圍是（）A．(1，＋∞） B．（e，＋∞)C．(1，e） D．答案D解析函數(shù)f(x）＝logax的定義域與值域相同等價于方程logax＝x有兩個不同的實(shí)數(shù)解．因?yàn)閘ogax＝x?eq\f（lnx,lna）＝x?lna＝eq\f(lnx,x)，所以問題等價于直線y＝lna與函數(shù)y＝eq\f(lnx，x）的圖象有兩個交點(diǎn)．作函數(shù)y＝eq\f(lnx,x）的圖象，如圖所示．根據(jù)圖象可知,當(dāng)0＜lna＜eq\f（1，e）時，即1＜a＜eeq\f（1，e)時，直線y＝lna與函數(shù)y＝eq\f(lnx,x）的圖象有兩個交點(diǎn)．故選D。23．（2019·陜西咸陽高三聯(lián)考）已知函數(shù)f（x）＝x·lneq\f(1＋x,1－x)，a＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(1,π）))，b＝feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))，c＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，4)）)，則以下關(guān)系成立的是(）A．c<a<b B．c〈b<aC．a(chǎn)<b〈c D．a(chǎn)〈c<b答案A解析因?yàn)閒（x)＝x·lneq\f(1＋x，1－x)＝x[ln(1＋x）－ln(1－x）]，所以f(－x)＝(－x）［ln（1－x)－ln(1＋x)]＝x［ln(1＋x)－ln(1－x）］＝f(x)，所以f（x)為偶函數(shù)，所以a＝feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,π)）)＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，π）））.當(dāng)0〈x<1時，易知f(x)為增函數(shù)．又0〈eq\f(1，4）<eq\f(1,π）〈eq\f（1，e)<1,所以feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,4）））<feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,π）)）〈feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，e))），即c<a<b，故選A.24．（2019·山東省煙臺市高三（上)期末)已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（|log2x－1|,0＜x≤4，,3－\r（x），x＞4，））設(shè)a，b，c是三個不相等的實(shí)數(shù)，且滿足f(a）＝f（b)＝f（c）,則abc的取值范圍為________．答案(16,36）解析作出函數(shù)f（x）的圖象如圖所示．當(dāng)x＞4時，由f（x)＝3－eq\r（x)＝0,得eq\r(x)＝3,得x＝9，若a,b,c互不相等,不妨設(shè)a＜b＜c,因?yàn)閒(a)＝f(b)＝f（c），所以由圖象可知0＜a＜2＜b＜4,4＜c＜9，由f（a)＝f（b)，得1－log2a＝log2b－1，即log2a＋log2b＝2，即log2(ab）＝2，則ab＝4，所以abc＝4c,因?yàn)?＜c＜9，所以16＜4c＜36，即16＜abc＜36，所以abc的取值范圍是(16,36)．一、高考大題本考點(diǎn)在近三年高考中未涉及此題型．二、模擬大題1．(2020·湖北黃岡摸底)設(shè)f（x）＝loga（1＋x）＋loga(3－x)(a>0,a≠1),且f（1)＝2。(1)求a的值及f（x)的定義域；（2)求f(x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3，2)）)上的最大值．解(1）∵f(1)＝2,∴l(xiāng)oga4＝2(a〉0,a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1＋x>0，,3－x〉0，))得－1〈x<3，∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?,3）．（2）f(x)＝log2（1＋x)＋log2(3－x)＝log2[（1＋x)(3－x)］＝log2［－（x－1)2＋4］,∴當(dāng)x∈[0，1]時,f(x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1(1,\f（3，2）））時，f(x）是減函數(shù)，故函數(shù)f（x)在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2）))上的最大值是f(1）＝2.2．(2019·福建漳州模擬）已知函數(shù)f(x）＝－x＋log2eq\f(1－x，1＋x）。(1）求feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2019)))＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(1,2019）)）的值；（2)當(dāng)x∈(－a，a］,其中a∈（0,1)，a是常數(shù)時，函數(shù)f（x）是否存在最小值?若存在，求出f（x）的最小值；若不存在,請說明理由．解（1)∵f（x）＋f(－x)＝log2eq\f(1－x，1＋x）＋log2eq\f（1＋x,1－x）＝log21＝0,∴feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,2019))）＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(1，2019）))＝0.（2）函數(shù)f(x)存在最小值．f(x）的定義域?yàn)?－1,1），∵f(x）＝－x＋log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f（2，x＋1））),當(dāng)x∈(－1，1)時,f(x）為減函數(shù)，∴當(dāng)a∈(0,1),x∈(－a，a]時,f(x)單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝a時,f(x）min＝－a＋log2eq\f（1－a，1＋a)。3．(2019·渭南模擬）已知函數(shù)f（x)＝lneq\f(x＋1,x－1）.(1)求函數(shù)f(x）的定義域，并判斷函數(shù)f(x）的奇偶性；(2)對于x∈［2，6]，f（x）＝lneq\f(x＋1,x－1)〉lneq\f(m，x－17－x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解(1)由eq\f(x＋1，x－1）>0，解得x<－1或x>1,∴函數(shù)f（x)的定義域?yàn)椋ǎ?－1)∪(1，＋∞），當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)時,f(－x）＝lneq\f(－x＋1,－x－1）＝lneq\f(x－1，x＋1)＝lneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（x＋1,x－1)）)－1＝－lneq\f（x＋1,x－1)＝－f(x）．∴f(x）＝lneq\f（x＋1,x－1）是奇函數(shù)．（2）由于x∈[2,6］時，f(x）＝lneq\f（x＋1，x－1)〉lneq\f（m,x－17－x)恒成立，∴eq\f(x＋1，x－1）〉eq\f(m，x－17－x)>0恒成