數(shù)學(xué)壓軸題 獲獎教學(xué)設(shè)計

壓軸題OADBCyxM1、如圖⊙M交x軸于點A、D，交y軸于點B、C，⊙M的弦BC=2，弦AD分⊙M成1OADBCyxM（1）求⊙M的圓心M的坐標；（2）求經(jīng)過A、M、D三點的拋物線表達式；（3）在（2）中的拋物線上是否存在點E，使△EAD與△AMC的面積比為15︰4？若存在，求出點E的坐標，若不存在，請說明理由。解：（1）過點M分別作MG⊥BC于點G，MF⊥AD于點F，連接MA、MB、MD則BG=CG，AF=FD，所以MG=7，MOADBCyMOADBCyxFG∴∠AMD=×360o=90o∴∠MAD=45o，MF=FD=AF=MA=5，∴⊙M的圓心M的坐標為（7，5）；（2）∵OF=MG=7，∴OA=2，點A坐標為（2，0）由題意知點M是經(jīng)過A、M、D三點的拋物線的頂點，設(shè)所求拋物線的表達式為y=a(x-7)2+5，當x=2時，y=0，∴a=∴所求拋物線的表達式為y=(x-7)2+5即y=x2+x；（3）設(shè)點E的坐標為（x0，y0），則S△EAD=AD，∵S△AMC=S梯形OFMC-S△OAC-S△AMF=[5+(5+1)]×7-2×(5+1)-5×5=20∴要使△EAD與△AMC的面積比為15：4，只有y0=±15，當y0=15時，15=(x-7)2+5，該方程無解，當y0=-15時，-15=(x-7)2+5，x1=17，x2=-3，∴存在符合題意的E點（17，-15）和（-3，-15）兩個.2、平面直角坐標系xoy中，點A（0，4），直線x=2與x軸交于點B，直線上有一點C的縱坐標為5。（1）請求出過O點且以點C為頂點的拋物線的表達式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一交點為D，動點P從點O出發(fā)向點D以每秒個單位的速度運動，同時動點Q從點C出發(fā)向點B以每秒個單位的速度運動（兩點中有一點到達終點，則另一點停止運動），運動時間為t。在點P、Q運動的過程中，有無某一時刻，△AQP為直角三角形？若有，請求出t的值；若無，請說明理由；（3）在點P、Q運動的過程中，在（1）中的拋物線上，是否存在一點M，使得以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若有，請求出t的值；若無，請說明理由。解：（1）由題知C（2，5），設(shè)拋物線表達式，把O（0，0）代入可得（2）存在這樣的時刻，理由如下：令，則有，，∴D（4，0）。由題知CQ=OP=：①若∠QAP=900，如圖，作QE⊥OA于E，CF⊥OA于F，則可證△EAQ∽△OPA，，，∴②若∠AQP=900，如圖，作CF⊥OA于F，AE⊥BC于E，則可證△EAQ∽△BQP，，，∴因為此時P在線段OB上，∴，∴舍去，∴（3）存在點兩個這樣的點M，理由如下：①如圖，設(shè)點，作MN⊥OB于N，∵APMQ為平