多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

第二章第一節(jié)一、平面點集二、二元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四一、區(qū)域1.鄰域點集，稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0

的去心鄰域記為第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四2.

區(qū)域(1)

內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集

E

及一點

P:若存在點P

的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點

P

的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E

的內(nèi)點；則稱P為E

的外點;則稱P為E

的邊界點.的外點,顯然,E

的內(nèi)點必屬于E,

E

的外點必不屬于E,E

的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四(2)

聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點,則稱P

是E

的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點)第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E

的點都是內(nèi)點，則稱E

為開集；若點集E

E

,則稱E

為閉集；

若集D

中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D

是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域

,簡稱區(qū)域;。。

E

的邊界點的全體稱為E

的邊界,記作E;第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

整個平面點集是開集，

是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,若存在正數(shù)

K,使一切點PD與某定點A的距離APK,則稱

D

為有界域

,

界域

.否則稱為無第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四3.n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n

維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的稱為該點的第k

個坐標(biāo).記作即一個點,當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為中的零元,記作O.第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四的距離記作中點

a

的

鄰域為規(guī)定為與零元O

的距離為第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四二、二元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四定義1.

設(shè)是三個變量.如果當(dāng)變量在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時,變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它們對應(yīng),則稱變量是變量的二元函數(shù),記為二元函數(shù)在點所取得的函數(shù)值記為

，或其中稱為自變量,稱為因變量.自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四推廣：

設(shè)非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.特別地,當(dāng)n=2時,有二元函數(shù)當(dāng)n=3時,有三元函數(shù)映射稱為定義在

D

上的n

元函數(shù),記作第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例如,

二元函數(shù)定義域為圓域說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形一般為空間曲面.三元函數(shù)定義域為圖形為空間中的超曲面.單位閉球第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例1.設(shè)求解：令第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例2.

求函數(shù)的定義域.解:函數(shù)定義域必須滿足所以，函數(shù)的定義域為：第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)鄰域內(nèi)有定義（點定義2.設(shè)二元函數(shù)在點可以除外）,如果當(dāng)點沿任意路徑趨于點時,函數(shù)趨于常數(shù),那么稱為函數(shù)的某一總無限AA時的極限，記為或或三、二元函數(shù)的極限第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四說明：（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù).（2）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等。xyoP0第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例3.

求極限：例4.

求極限：解:原式例5.求第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四

若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于不存在.例6.

討論函數(shù)函數(shù)定理1.點以任何方式趨向于點函數(shù)的極限都存在且相等.第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.

二重極限不同.如果它們都存在,則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例6知它在(0,0)點二重極限不存在.第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.

設(shè)二元函數(shù)

在點的某個領(lǐng)域如果函數(shù)在區(qū)域D

上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上內(nèi)有定義，如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點

.則稱二元函數(shù)連續(xù).連續(xù),在點第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例如,

函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,

函數(shù)上間斷.

故(0,0)為其間斷點.在圓周結(jié)論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例7

求．解因為函數(shù)是初等函數(shù),且點在該函數(shù)的定義域內(nèi),故第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四例8

討論函數(shù)

的連續(xù)性．時，為初等函數(shù),故函數(shù)在點處連續(xù).當(dāng)不存在,所以函數(shù)在點處不連續(xù)，即原點是函數(shù)的間解當(dāng)斷點．時,由例6知第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，在該區(qū)域上一定有最大值和最小值．性質(zhì)2（介值定理）在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)，必能取得介于函數(shù)的最大值與最小值之間的任何值．第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n

元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)第29頁，共32頁，2023