均值方差分析

均值方差分析第1頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第8章均值－方差分析

8.1偏好與分布

—一般來說，僅僅用證券組合的預(yù)期回報(bào)率和預(yù)期回報(bào)率的方差并不能包含經(jīng)濟(jì)行為主體投資行為所需的全部信息。

—但是馬可維茨通過效用函數(shù)和投資收益的分布作了相應(yīng)假設(shè)之后證明，經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效用能夠僅僅表示為證券組合的預(yù)期回報(bào)率和預(yù)期回報(bào)率的方差的函數(shù)。

—對(duì)于任意的分布和效用函數(shù)，期望效用并不能僅僅由預(yù)期收益（率）和方差這兩個(gè)元素來描述。所以均值－方差分析的運(yùn)用是存在限制條件的。第2頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（一）用泰勒展開式對(duì)均值－方差運(yùn)用的局限性進(jìn)行說明

—隨機(jī)變量是經(jīng)濟(jì)行為主體在時(shí)期1的全部收入或財(cái)富，其效用函數(shù)在的預(yù)期值周圍展開可得

—其中則表示經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效用并不能僅僅由對(duì)時(shí)期1財(cái)富的期望均值和方差這兩個(gè)元素完全刻畫，而是應(yīng)該包括泰勒展開式的高階矩第3頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四部分。（二）均值－方差分析方法的使用條件和范圍

—考察未來收益分布為任意分布的情況

a）此時(shí)為了使經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好能夠?yàn)榫岛头讲钔耆坍?，我們必須假定?jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)是一個(gè)二次型效用函數(shù)，即經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)或以表達(dá)為。此時(shí)

b）于是經(jīng)濟(jì)行為主體的預(yù)期效用可以由時(shí)期1的財(cái)富變量的兩個(gè)中心矩來定義第4頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

—二次型效用函數(shù)對(duì)于經(jīng)濟(jì)行為主體的偏好關(guān)系的刻畫存在著以下兩個(gè)主要的缺點(diǎn)：

a）第一，二次型效用函數(shù)顯示經(jīng)濟(jì)行為主體對(duì)于收益或財(cái)富具有饜足性，即個(gè)體收益的總效用存在著極大值，超過這點(diǎn)之后，收益增加的邊際效用為負(fù)。

b）第二，遞增的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡與現(xiàn)實(shí)中經(jīng)濟(jì)行為主體行為存在矛盾。（三）討論經(jīng)濟(jì)行為主體的效用偏好為任意偏好的情況

—在任意偏好的情況下，如果三階及三階以上高階矩可以表示為均值和方差的函數(shù)，則我們就可以第5頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四使用均值－方差分析來考察經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)。

—在正態(tài)分布的條件下，前面泰勒展開式的三階及三階以上高階矩可以表示為一階矩和二階矩（均值和方差）的函數(shù)。因此，就可以完全地由均值和方差表示。

—這樣，如果經(jīng)濟(jì)行為主體的任意偏好是在正態(tài)分布的時(shí)期1的財(cái)富上定義的，并且所有證券未來收益滿足多元正態(tài)分布，經(jīng)濟(jì)行為主體的效用函數(shù)就都可以由時(shí)期1的收益的期望和方差來刻畫。

—這種情況下，均值和方差對(duì)個(gè)體行為描述有相當(dāng)大的局限性，主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第6頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

a）第一，資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布的假定與現(xiàn)實(shí)中資產(chǎn)未來收益往往偏向正值相矛盾。

b）第二，對(duì)于密度函數(shù)的分布來說，均值－方差分析并沒有考慮其偏斜度。

c）最后，僅僅用均值和方差也不能刻畫函數(shù)分布中的峭度。8.2證券組合前沿

—假定：在一個(gè)無摩擦的經(jīng)濟(jì)中有支風(fēng)險(xiǎn)證券，這些證券可以自由地賣空，并且，所有證券的未來收益率都具有有限的方差和彼此差異的預(yù)期均值。第7頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四任何一支證券的隨機(jī)收益率都不能由其他證券收益率的線性組合來表示，即這些證券的隨機(jī)收益率是彼此線性獨(dú)立的。

—在這種假設(shè)的經(jīng)濟(jì)中，向量表示J種風(fēng)險(xiǎn)證券的隨機(jī)收益率。矩陣V表示J種風(fēng)險(xiǎn)證券收益率的方差和協(xié)方差矩陣。

V是非奇異的、對(duì)稱的。矩陣V是正定的。（一）前沿證券組合

—前沿證券組合：如果在所有具有相同預(yù)期收益率的證券組合中，有一支證券組合具有最小的方差值，則這支證券組合就定義為前沿證券組合。第8頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

—證券組合p是一支前沿證券組合的充分必要條件是它的證券組合權(quán)重hp是下面二次規(guī)劃問題的解約束條件為。其中：e表示J支風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期均值組成的向量，表示證券組合的預(yù)期回報(bào)率，1表示分量為1的J維向量。

—構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，是以下函數(shù)式的解：第9頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（其中，和是兩個(gè)正值的常數(shù)。）

—求解可得

其中

且B＞0，C＞0，并且可以斷定D＞0。

—我們可以得出一個(gè)預(yù)期收益率為的前沿證券組合的唯一權(quán)重集合：第10頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四其中

—從以上（8.8）式人們可以看出，是預(yù)期收益率為0的前沿證券組合的權(quán)重向量；是預(yù)期收益率為1的前沿證券組合的權(quán)重向量。（二）證券組合前沿

—證券組合前沿：經(jīng)濟(jì)中所有的前沿證券組合的集合，我們稱之為證券組合前沿。

—命題：全部證券組合前沿上的證券組合都可以由兩個(gè)前沿證券組合和的線性組合得出。第11頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

—更強(qiáng)的命題：整個(gè)證券組合前沿可以由任意兩支收益率不同的前沿證券組合得出。

—任意兩支前沿證券組合和之間的協(xié)方差為：第12頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（三）均值－方差平面中的前沿組合

—關(guān)系式（8.11a）也可以等價(jià)地寫成第13頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

—最小方差證券組合的收益率和其他任意證券組合（不單是前沿證券組合）的收益率的協(xié)方差，總是同最小方差證券組合收益率的方差相等。

—有效證券組合：在整個(gè)證券組合前沿曲線中，所有那些預(yù)期收益率嚴(yán)格大于最小方差證券組合收益率的證券組合稱之為有效證券組合；

—無效證券組合：那些既不是有效證券組合，又不是最小方差組合的證券組合稱之為無效證券組合。前沿證券的線性組合也落在證券前沿上。

—任意一支有效證券組合的凸組合仍然是一支有效證券組合。因此有效證券組合的集合是一個(gè)凸組合。第14頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.3證券組合前沿的數(shù)學(xué)構(gòu)造

—證券組合前沿的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)就是：除了最小方差證券組合之外，對(duì)于證券組合前沿上的任意一支證券組合，都必然存在著唯一的一支前沿證券組合（即零協(xié)方差證券組合），它的收益率同證券組合的協(xié)方差為0。

—最小方差證券組合與其它任意前沿證券組合之間的協(xié)方差等于，這也是嚴(yán)格正定的。從而得到，最小方差證券組合與任意的前沿證券組合的協(xié)方差都不為0。

—假定是有效證券組合，就是一只無第15頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四效證券組合。將同的位置互換，則相反的結(jié)果成立。

—從幾何學(xué)的角度看，的位置的確定：在標(biāo)準(zhǔn)差－預(yù)期收益率的坐標(biāo)系平上是過證券前沿組合的切線在預(yù)期收益率坐標(biāo)軸上的截距。

—任意證券組合（不要求是前沿組合）的預(yù)期收益率同一支前沿證券組合的預(yù)期收益率之間的關(guān)系特征：其中：是之外的任意一支前沿證券組合，第16頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（8.20）式也可以寫成關(guān)系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等價(jià)的關(guān)系式。我們總可以將證券組合的收益率寫成其中第17頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（二）在引入無風(fēng)險(xiǎn)證券情況下進(jìn)行討論

—現(xiàn)假定是一支由所有J＋1種證券組合而成的前沿證券組合，表示這支前沿證券組合中的風(fēng)險(xiǎn)證券權(quán)重的J維向量。這樣，是以下規(guī)劃問題的一個(gè)解其中仍然表示風(fēng)險(xiǎn)證券的預(yù)期收益率的J維向量，表示無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率。

—構(gòu)造一個(gè)拉格朗日函數(shù)，可求得第18頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四也即是，在坐標(biāo)平面上，包括無風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿是以為頂點(diǎn)，斜率分別為和的兩條射線。情形1：

—這是圖8－4表示的圖形。（見page21）

a）在圖中點(diǎn)是射線與風(fēng)險(xiǎn)證券的組合前沿相切的切點(diǎn)。第19頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

b）線段上任意一支證券組合都是風(fēng)險(xiǎn)證券組合和無風(fēng)險(xiǎn)證券的凸組合。

c）在線段之外的射線上證券組合都涉及賣空無風(fēng)險(xiǎn)證券并運(yùn)用收益買入風(fēng)險(xiǎn)證券組合的投資行為。

d）在射線上的證券組合涉及賣空風(fēng)險(xiǎn)證券組合，同時(shí)以其收益買入無風(fēng)險(xiǎn)證券的投資行為。

e）如果經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，證券投資組合的有效集位于射線。第20頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第21頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四情形2：

—這是圖8－5表示的圖形。（圖見下頁(yè)）

a）射線上證券組合是通過賣空風(fēng)險(xiǎn)證券并運(yùn)用收益買入無風(fēng)險(xiǎn)證券組合而得。

b）在射線上的證券組合涉及正值地購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)證券組合。

c）如果經(jīng)濟(jì)行為主體是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，證券投資組合的有效集位于射線。第22頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第23頁(yè)，共26頁(yè)，2023年，2月20日，星期四情形3：

—這是圖8－6表示的圖形。（圖見下頁(yè)）

a）包括無風(fēng)險(xiǎn)證券在內(nèi)的所有證券的證券組合前沿的預(yù)期收益率方程為

b）前沿證券組合的有效集應(yīng)當(dāng)是位于射線上的前沿組合。