02 利用待定系數(shù)法因式分解和分式的拆分等

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一、方法技巧

1.待定系數(shù)法運(yùn)用于因式分解、分式的拆分等問(wèn)題中，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了

多項(xiàng)式f(x)?g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的x=a值，都有f(x)?g(x)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各關(guān)于x的同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．

2.使用待定系數(shù)法解題的一般步驟是：

（1）確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的一般解析式；

（2）根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程（組）；（3）解方程（組），從而使問(wèn)題得到解決.

例如：“已知x?5??2?a??x?bx?c，求a，b，c的值．〞

22解答此題，并不困難．只需將右式與左式的多項(xiàng)式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)加以比較后，就可得到a，b，c的值．這里的a，b，c是有待于確定的系數(shù)，這種解決問(wèn)題的方法就是待定系數(shù)法．3.格式與步驟:

(1)確定所求問(wèn)題含待定系數(shù)的解析式.

上面例題中，解析式就是：?2?a??x?bx?c

2(2)根據(jù)恒等條件，列出一組含待定系數(shù)的方程.在這一題中，恒等條件是：

?2?a?1??b?0?c??5?

(3)解方程或消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決.

?a?1?∴?b?0?c??5?

二、應(yīng)用舉例

類型一利用待定系數(shù)法解決因式分解問(wèn)題

已知多項(xiàng)式2x?3x?ax?7x?b能被x?x?2整除.（1）求a，b

（2）分解因式：2x?3x?ax?7x?b

4322（1）a??12和b?6（2）2x?3x?12x?7x?6?x?x?24322432???2x2?5x?3?

試題分析：

（1）由條件可知x?x?2是該多項(xiàng)式的一個(gè)二次因式，而該多項(xiàng)式次數(shù)為4，故可設(shè)

22x4?3x3?ax2?7x?b??x2?x?2??2x2?mx?n?，可解出m、n，最終代入即可求出a、b的

值.

（2）由（1）可得結(jié)果試題解析：

解：（1）∵多項(xiàng)式2x?3x?ax?7x?b能被x?x?2整除

43222∴設(shè)2x?3x?ax?7x?b?x?x?22x?mx?n，

4322????整理，得2x4?3x3?ax2?7x?b?2x4??m?2?x3??m?n?4?x2??n?2m?x?2n

?m?2??3?m?n?4?a?∴?

n?2m?7???b??2n?m??5?n??3?解得?

a??12???b?6∴a、b的值分別為?12和6.

4322（2）2x?3x?12x?7x?6?x?x?2???2x2?5x?3?

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法因式分解2.整式乘法3.解方程組.

點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法分解因式，就是先按已知條件把原式假設(shè)成若干個(gè)因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，由于這些因式的連乘積與原式恒等，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最終解方程組即可求出待定系數(shù)的值.一般

分解因式：2x?5xy?3y?3x?5y?2

2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x?y?1）（x?3y?2）試題分析：

方法一由于2x?5xy?3y?，因此,假使多項(xiàng)式能分解成兩個(gè)關(guān)于x、y（2x?y）（x?3y）222222（2x-y+m）（x?3y+n）的一次因式的乘積,那么設(shè)原式的分解式是,其中m、n為待定系數(shù).然后展

開(kāi)，利用多項(xiàng)式的恒等，求出m、n的值.試題解析：

解：∵2x?5xy?3y?，（2x?y）（x?3y）22∴設(shè)2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x?y?m）（x?3y?n）即2x2?5xy?3y2?3x?5y?2?（2x?y）（x?3y）??m?2n?x??3m?n?y?mn?22?m?2n??3????①?對(duì)比系數(shù)，得：?3m?n?5???????②

?mn??2??????????③?由①、②解得：?代入③式也成立.

∴2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x?y?1）（x?3y?2）試題分析：

方法二前面同思路1，由于

所以對(duì)2x2?5xy?3y2?3x?5y?2??2x?y??x?3y???m?2n?x??3m?n?y?mn是恒等式，任意x,y的值，等式都成立，所以給x,y取特別值，即可求出m,n的值.試題解析：

解：∵2x?5xy?3y?，（2x?y）（x?3y）∴設(shè)2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x－y＋m）（x?3y＋n）即2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x?y）（x?3y）??m?2n?x??3m?n?y?mn?22222222?m?1

?n??2∵該式是恒等式，

∴它對(duì)所有使式子有意義的x，y都成立，那么令x?0，y?0得：mn??2①令x?0，y?1得：3m?n?mn?3?0②

2??m?1?m?解①、②組成的方程組，得?或?3

n??2???n?-3把它們分別代入恒等式檢驗(yàn)，得?22?m?1

?n??2∴2x?5xy?3y?3x?5y?2?（2x?y?1）（x?3y?2）考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法分解因式2.解方程組.

點(diǎn)評(píng)：此題解法中方程的個(gè)數(shù)多于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，必需把求得的值代入多余的方程逐一檢驗(yàn).若有的解對(duì)某個(gè)方程或所設(shè)的等式不成立，則需將此解舍去；若得方程組無(wú)解，則說(shuō)明原式不能分解成所設(shè)形成的因式.較難

類型二利用待定系數(shù)法解決分式拆分問(wèn)題

將分式

1拆分成兩個(gè)分式的和的形式.2(x?1)(x?1)

1?x?11??(x2?1)(x?1)2(x2?1)2(x?1)試題分析：設(shè)

1ax?bc，將等式右邊通分，再利用分子恒等求出a、b、c的值即可.??(x2?1)(x?1)x2?1x?1試題解析：解：設(shè)

1ax?bc??22(x?1)(x?1)x?1x?1ax?bc(a?c)x2?(a?b)x?b?c而2??2x?1x?1(x?1)(x?1)1(a?c)x2?(a?b)x?b?c即2?(x?1)(x?1)(x2?1)(x?1)比較分子，得

?a?c?0??a?b?0?b?c?1?

解得a??11，b?c?.22∴

1?x?11??(x2?1)(x?1)2(x2?1)2(x?1)考點(diǎn)：分式的恒等變形

點(diǎn)評(píng)：拆分有理真分式的時(shí)候，分母含二次項(xiàng)，則設(shè)分子為Ax?B形式，分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù)較難

計(jì)算：

1111???...?

a?a?1??a?1??a?2??a?2??a?3??a?9??a?10?

10

a?a?10?試題分析：

此題的10個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積（若a是整數(shù)），所以我們探究其中一個(gè)分式，找到相通的規(guī)律，從而解題.試題解析：解：我們?cè)O(shè)

1AB??a?a?1?aa?1而

A?a?1??Ba?A?B?a?AAB???aa?1a(a?1)a?a?1?比較分子得：??A?B?0?A?1，解得：?

?A?1?B??1所以

111??a?a?1?aa?111111111??????...?aa?1a?1a?2a?2a?3a?9a?1011?aa?10所以，原式=

??10

a?a?10?考點(diǎn)：分式計(jì)算.

點(diǎn)評(píng)：在做題的時(shí)候見(jiàn)到式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，可直接用公式

111拆分.??n?n?1?nn?1較難

類型三利用待定系數(shù)法解決多項(xiàng)式中不含某項(xiàng)問(wèn)題

2已知x?mx?3?3x?2?的積中不含x的二次項(xiàng)，則m的值是（）

??A.0B.C試題分析：

223C.?D.?3322將多項(xiàng)式x?mx?3?3x?2?展開(kāi)、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x的二次項(xiàng)等價(jià)于x項(xiàng)

??2的系數(shù)為零列方程即可求得m的值.試題解析：

2322解：∵x?mx?3?3x?2??3x?3mx?9x?2x?2mx?6???3x3??3m?2?x2??9?2m?x?6∵積中不含x的二次項(xiàng)，∴3m?2?0，解得m??

2.3應(yīng)選C.

考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.

點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.一般

三、實(shí)戰(zhàn)演練

1.若多項(xiàng)式3x?5xy?2y?x?9y?n能被3x?y?4整除，則n?_______.?4試題分析：

此題可通過(guò)因式分解得到：被除式=商×除式（余式為0），其除式為3x?y?4即可試題解析：

解：設(shè)原式??3x?y?4??x?2y?m??3x?5xy?2y+?3m?4?x??8?m?y?4m

2222?3m?4?1①?比較系數(shù)，得：?8?m?9②

?n?4m③?由①，②解得m??1，代入③得n??4

考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：此題考察知識(shí)點(diǎn)是因式分解的應(yīng)用，運(yùn)用公式被除式=商×除式（余式為0）是解題關(guān)鍵.簡(jiǎn)單

432x?x?x?x?12.分解因式：

x?x?x?x?1=(x?43221?51?5x?1)(x2?x?1)22

試題分析：

這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)之間沒(méi)有公因式也不符合乘法公式，又由于不是二次三項(xiàng)式所以不適用十字相乘法；雖多于三項(xiàng)，但分組之后分解不能繼續(xù).因此，我們應(yīng)采用其他的方法—待定系數(shù)法.這是一個(gè)四次五項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)為1，尾項(xiàng)也是1，所以它可以寫(xiě)成兩個(gè)二次三項(xiàng)式的積，再利用恒等式的性質(zhì)列方

程組求解即可.試題解析：

22解：設(shè)x?x?x?x?1=(x?mx?1)(x?nx?1)

432而(x?mx?1)(x?nx?1)

22?x4?nx3?x2?mx3?mnx2?mx?x2?nx?1

?x4?(m?n)x3?(mn?2)x2?(m?n)x?1

∴??m?n?1

?mn?2?1?1?5?1?5m?m?????22解得?或??n?1?5?n?1?5???2?2∴x4?x3?x2?x?1?(x2?1?51?5x?1)(x2?x?1)22考點(diǎn)：待定系數(shù)法因式分解.

點(diǎn)評(píng)：此題考察了待定系數(shù)法因式分解解高次多項(xiàng)式，恰當(dāng)設(shè)待定系數(shù)是關(guān)鍵.簡(jiǎn)單

3.分解因式：2a2?3ab?9b2?14a?3b?20

（2x?3b?4）2a?3ab?9b?14a?3b?20??a?3b?5?

22

試題分析：

屬于二次六項(xiàng)式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定系數(shù)法.

先分解2a?3ab?9b??2a?3b??a?3b?，再設(shè)原式??2a?3b?m??a?3b?n?，展開(kāi)后，利

22用多項(xiàng)式恒等列方程組即可求解.試題解析：方法一

解：∵2a?3ab?9b??2a?3b??a?3b?

22∴可設(shè)原式??2a?3b?m??a?3b?n?

∴原式=2a?3ab?9b??m?2n?a??3m?3n?b?mn

22即2a?3ab?9b?14a?3b?20?2a?3ab?9b??m?2n?a??3m?3n?b?mn*

2222?m?2n?14?比較左右兩個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，得：?3m?3n??3

?mn?20??m?4解得?

?n?522（2x?3b?4）∴2a?3ab?9b?14a?3b?20??a?3b?5?

方法二

對(duì)于方法一中的恒等式（*）由于對(duì)a、b取任何值等式都成立，所以也可用特別值法，求m、n的值.

令a?0，b?0，得mn?20①令a?1，b?0，得m?2n?14②令a?0，b?1，得m?n??1③解②、③組成的方程組，得?當(dāng)??m?4

?n?5?m?4時(shí)，①成立n?5?22（2x?3b?4）∴2a?3ab?9b?14a?3b?20??a?3b?5?

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法因式分解2.整式乘法3.解方程組.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于繁雜的多項(xiàng)式分解因式，關(guān)鍵是列出恒等關(guān)系式，然后根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)的方程組，最終解方程組即可求出待定系數(shù)的值.較難

4.已知f(x)表示關(guān)于x的一個(gè)五次多項(xiàng)式，若

f??2??f??1??f?0??f?1??0，f?2??24，f?3??360，求f?4?的值.

1800試題分析：

由于f??2??f??1??f?0??f?1??0，所以這個(gè)多項(xiàng)式中必有因式?x?2?、?x?1?、x、?x?1?，而四個(gè)因式的乘積為四次多項(xiàng)式，故原多項(xiàng)式可以分解為以上四項(xiàng)因式的乘積以及還有一項(xiàng)一次因式的乘積，故

式的乘積，故這個(gè)多項(xiàng)式可以設(shè)為，利用待定系數(shù)法求出a、b的值

?x?2??x?1?x?x?1??ax?b?最終代入原多項(xiàng)式，即可求出的值.

f?4?試題解析：

解：∵f??2??f??1??f?0??f?1??0，

∴設(shè)f(x)??x?2??x?1?x?x?1??ax?b?由f?2??24，f?3??360，可得方程組

?4?3?2(2a?b)?24????????5?4?3?2(3a?b)?360?2a?b?1整理得：???3a?b?3

解得：??a?2b?-3?∴f(x)??x?2??x?1?x?x?1??2x?3?

∴f?4??6?5?4?3?(8?3)?1800

考點(diǎn)：1.解二元一次方程組2.多項(xiàng)式變形

點(diǎn)評(píng)：此題考察了解二元一次方程組以及多項(xiàng)式的變形，弄清題意是解此題的關(guān)鍵.較難

5.m、n為何值時(shí)，多項(xiàng)式x?5x?11x?mx?n能被x?2x?1整除？m??11，n?4

試題分析：由于多項(xiàng)式x?5x?11x?mx?n能被x?2x?1整除，可設(shè)商為x?ax?b，再利用逆運(yùn)算，除式×商式=被除式，利用等式的對(duì)應(yīng)相等，可求出a,b.試題解析：

22解：設(shè)原式=x?2x?1x?ax?b

422242222????=x?ax?bx?2x?2ax?2bx?x?ax?b=x??a?2?x??b?2a?1?x??a?2b?x?b

432432322?a?2??5?b?2a?1?11?對(duì)比系數(shù)，得：?

?m?a?2b??n?b?a??3?b?4?解得：?

m??11???n?4故m??11，n?4.

考點(diǎn)：整式的除法

點(diǎn)評(píng)：此題考察的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式往往可轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.一般

6.若多項(xiàng)式x3?ax2?bx能被?x?5?和?x?6?整除，那么a?____b?____.該多項(xiàng)式因式分解為：_______.試題分析：

由于多項(xiàng)式x3?ax2?bx能被?x?5?和?x?6?整除，則說(shuō)明?x?5?和?x?6?都是多項(xiàng)式

32x3?ax2?bx的一個(gè)因式，故設(shè)x?ax?bx??x?5??x?6??x?m?，展開(kāi)即可求解.

試題解析：

解：設(shè)x3?ax2?bx??x?5??x?6??x?m?

2?x?11x?30???x?m??x3?mx2??30?11m?x?30m

?a?m?11?對(duì)比系數(shù)，得：?b?30?11m

?30m?0??m?0?解得:?a??11

?b?30?故,a??11,b?30，

多項(xiàng)式因式分解為：x?11x?30x?x?x?5??x?6?

32考點(diǎn)：整式除法與因式分解

點(diǎn)評(píng)：此題考察的是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，注意理解整除的含義，譬如A被B整除，另外一層意思就是B是A的因式

7.分解因式：x?x?4x?3x?5

43222x?x?4x?3x?5?x?x?1x?2x?5

432????試題分析：

此題是關(guān)于x的四次多項(xiàng)式可考慮用待定系數(shù)法將其分解為兩個(gè)二次式之積.試題解析：

22解：設(shè)x?x?4x?3x?5?x?ax?1x?bx?5

432?????x4??a?b?x3??ab?6?x2??5a?b?x?5

?a?b??1?由恒等性質(zhì)有：?ab?6?4

?5a?b?3?解得：??a?1，代入ab?6?4中，成立.

b??2?43222∴x?x?4x?3x?5?x?x?1x?2x?5

????22說(shuō)明：若設(shè)x?x?4x?3x?5?x?ax?1x?bx?5

432????

?x4?x2?3由于要將分式拆分成一個(gè)整式和一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式，可設(shè)2?x?1?x4?x2?3???x2?1??x2?a??b

試題解析：

4222解：由于分母為?x?1，可設(shè)?x?x?3??x?1x?a?b

2????∴?x?x?3??x?ax?x?a?b42422?x?x?3??x??a?1?x??a?b?

4242

∵對(duì)于任意x，上述等式均成立，

?a?1?1?a?2∴?∴?

b?1a?b?3??22221?x4?x2?3??x?1??x?2??1??x?1??x?2?12?x?2?∴???22222?x?1?x?1?x?1?x?1?x?11?x4?x2?32x?2這樣分式被拆分成了一個(gè)整式與一個(gè)分式的和.22?x?1?x?1考點(diǎn)：分式的加減法

點(diǎn)評(píng)：此題考察了分式的加減法，熟練把握運(yùn)算法則是解此題關(guān)鍵.一般

2315.已知5?3x?mx?6x?1?2x?的計(jì)算結(jié)果中不含x3的項(xiàng)，則m的值為（）

??A.3B.-3C.－B試題分析：

1D.0223將多項(xiàng)式5?3x?mx?6x?1?2x?展開(kāi)、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x3項(xiàng)等價(jià)于x3

??項(xiàng)的系數(shù)為零列方程即可求得m的值.試題解析：方法一

23（m?6）x2?（?2m?6）x3?12x4解：5?3x?mx?6x?1?2x??5?13x???∵結(jié)果中不含x3的項(xiàng)，

∴?2m?6?0，解得m??3.應(yīng)選B.方法二

由于x3項(xiàng)可由x項(xiàng)與x2項(xiàng)相乘或x3與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，故展開(kāi)式中只需計(jì)算x項(xiàng)乘以x2項(xiàng)及x3乘以常數(shù)項(xiàng)即可.

2333（?2m?6）x3解：∵mx???2x???6x?1??2mx?6x???又∵結(jié)果中不含x的項(xiàng)，

∴?2m?6?0，解得m??3.

應(yīng)選B.

考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法.

點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.一般

216.假使?x?1?x?5ax?a的乘積中不含x項(xiàng)，則a為()

3??2A.5B.B試題分析：

11C.?D.－5552將多項(xiàng)式?x?1?x?5ax?a展開(kāi)、合并，按x的降冪排列，根據(jù)積中不含x2項(xiàng)等價(jià)于x2項(xiàng)的系

??數(shù)為零列方程即可求得a的值.試題解析：

解：原式?x?5ax?ax?x?5ax?a?x??1?5a?x?4ax?a.

32232∵不含x項(xiàng)，∴1?5a?0.解得a?21.5應(yīng)選B.

考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．

點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.一般

17.若的乘積中不含y的一次項(xiàng)，則a的值為（）（y?a）與（y?7）A.7B.-7C.0D.14A試題分析：

先用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開(kāi)，并且把a(bǔ)看作常數(shù)，合并關(guān)于y的同類項(xiàng)，令y的系數(shù)為0，得出關(guān)于a的方程，求出a的值．試題解析：

解：∵?y?a??y?7??y?7y?ay?7a?y???7?a?y?7a.

22又∵乘積中不含y的一次項(xiàng)，

∴?7?a?0.解得a=7．應(yīng)選A.

考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法

點(diǎn)評(píng)：多項(xiàng)式不含某項(xiàng)則某項(xiàng)的系數(shù)為零，根據(jù)這一條件列方程或方程組，從而求出待定系數(shù)的值.一般

18.要使2x?3x?1與關(guān)于x的二項(xiàng)式ax?b的積中不含x的二次項(xiàng)，則a:b?_____

2:3試題分析：

根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，可得整式，根據(jù)整式不含二次項(xiàng)，可得關(guān)于a,b的二元一次方程，根據(jù)等式性質(zhì)，可得答案.試題解析：

232解：2x?3x?1?ax?b??2ax??2b?3a?x???3b?a?x?b

2??∵積中不含x的二次項(xiàng)，∴2b?3a?0.兩邊都除以2b得：

a2?b3故答案為：2:3.考點(diǎn)：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.

點(diǎn)評(píng)：此題考察了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，利用了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，整式不含二次項(xiàng)，得出關(guān)于a、b的二元一次方程是解題關(guān)鍵.一般

219.若x?px?q???x2?3x?2?的乘積中不含x2和x項(xiàng)，則p，q的值分別是多少？

p?試題分析：