123 一般項級數(shù) 數(shù)學分析課件（華師大 四版） 高教社ppt 華東

本文格式為Word版，下載可任意編輯——123一般項級數(shù)數(shù)學分析課件（華師大四版）高教社ppt華東數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)§12.3一般項級數(shù)一、交織級數(shù)二、絕對收斂級數(shù)及其性質由于非正項級數(shù)(一般項級數(shù))的收斂性問題要比正項級數(shù)繁雜得多,所以本節(jié)只對某些特別類型級數(shù)的收斂性問題進行探討.三、阿貝爾判別法和狄利克雷判別法*點擊以上標題可直接前往對應內容§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

交織級數(shù)

(un?0,n?1,2,?),阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

若級數(shù)的各項符號正負相間,即

n?1u1?u2?u3?u4???(?1)un??則稱為交織級數(shù).定理12.11（萊布尼茨判別法）若交織級數(shù)(1)滿足:

(ii)limun?0,n??后退

前進

(1)(i)數(shù)列{un}單調遞減;則級數(shù)(1)收斂.

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社目錄退出

§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

證考察交織級數(shù)(1)的部分和數(shù)列{Sn},它的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為

S2m?1?u1?(u2?u3)???(u2m?2?u2m?1),S2m?(u1?u2)?(u3?u4)???(u2m?1?u2m).由條件(i),上述兩式中各個括號內的數(shù)都是非負的,

而數(shù)列?S2m?是遞增的.?S2m?1?是遞減的，從而數(shù)列又由條件(ii)知道0?S2m?1?S2m?u2m?0(m??),從而{[S2m,S2m-1]}是一個區(qū)間套.由區(qū)間套定理,存

在惟一的實數(shù)S,使得

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

m??limS2m?1?limS2m?S.m??所以數(shù)列{Sn}收斂,即級數(shù)(1)收斂.推論若級數(shù)(1)滿足萊布尼茨判別法的條件,則收斂級數(shù)(1)的余項估計式為Rn?un?1.對于以下交織級數(shù),應用萊布尼茨判別法,簡單檢驗它們都是收斂的:

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

111n?11?????(?1)??;23n?1(2)1111n?11??????(?1)??;(3)3!5!7!(2n?1)!1234n?1n?2?3?4???(?1)??.(4)n1010101010數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社

§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

定理12.13設級數(shù)(5)絕對收斂,且其和等于S,則任意重排后所得到的級數(shù)(7)絕對收斂且和也為S.

*證只要對正項級數(shù)證明白定理的結論,對絕對收斂級數(shù)就簡單證明定理是成立的.

第一步設級數(shù)(5)是正項級數(shù),用Sn表示它的第n個部分和.用

?m?v1?v2???vm表示級數(shù)(7)的第m個部分和.由于級數(shù)(7)為級數(shù)

(5)的重排,所以每一vk(1?k?m)應等于某一uik(1?k?m).記n?max{i1,i2,?im},數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

則對于任何m,都存在n，使?m?Sn.由于limSn?S,所以對任何正整數(shù)m,都有?m?S,n??即級數(shù)(7)收斂,且其和??S.由于級數(shù)(5)也可看作級數(shù)(7)的重排,所以也有

S??,從而得到??S.這就證明白對正項級數(shù)定理成立.

其次步證明(7)絕對收斂.設級數(shù)(5)是一般項級數(shù)

且絕對收斂,則由級數(shù)(6)收斂第一步結論,可得

?vn收斂,即級數(shù)(7)是絕對收斂的.

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

第三步證明絕對收斂級數(shù)(7)的和也等于S.根據第一步的證明,收斂的正項級數(shù)重排后和不變,所以先要把一般項級數(shù)(5)分解成正項級數(shù)的和.為此令

un?unun?un.(8)pn?,qn?22當un?0時,pn?un?0,qn?0;當un?0時,pn?0,qn?un??un?0.從而0?pn?un,0?qn?un,(9)pn?qn?un,pn?qn?un.(10)數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

由級數(shù)(5)絕對收斂,及(9)式,知?pn,?qn都是收斂的正項級數(shù).因此

S??un??pn??qn.對于級數(shù)(5)重排后所得到的級數(shù)(7),也可按(8)式的方法,把它表示為兩個收斂的正項級數(shù)之差

???qn?,?vn??pn?,?qn?分別是正項級數(shù)?pn,?qn的重排,顯然?pn其和不變,從而有

?v??p???q???p??qnnnnn?S.數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

注定理12.13只對絕對收斂級數(shù)成立.條件收斂級數(shù)重排后得到的新級數(shù)不一定收斂,即使收斂,也不一定收斂于原來的和.更進一步,條件收斂級數(shù)適當重排后,既可以得到發(fā)散級數(shù),也可以收斂于

?n?11條件收斂,任何事先指定的數(shù).例如級數(shù)???1?nn?1設其和為A,即

11111111?(?1)n?1?2?3?4?5?6?7?8???A.1乘以常數(shù)后,有2n?1數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社

§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

11111An?11(?1)???????.?2n24682將上述兩個級數(shù)相加,得到的是(2)的重排:1111131????????A.325742我們也可以重排(2)使其發(fā)散(可參考數(shù)學分析學習

指導書下冊).2.級數(shù)的乘積

由定理12.2知道,若?un為收斂級數(shù),a為常數(shù),則a?un??aun,數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

由此可以立刻推廣到收斂級數(shù)?un與有限項和的乘

n?1?阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

積,即

(a1?a2???am)?un???akun,n?1n?1k?1??m那么無窮級數(shù)之間的乘積是否也有上述性質?設有收斂級數(shù)

?un?u1?u2???un???A,?v1?v2???vn???B.(11)(12)?vn將級數(shù)(11)與(12)中每一項所有可能的乘積列成下表:

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

u1v1u2v1u3v1?unv1?u1v2u2v2u3v2?unv2?u1v3?u1vn?u2v3?u2vn?u3v3?u3vn?????unv3?unvn?????(13)這些乘積uivj可以按各種方法排成不同的級數(shù),常

用的有按正方形順序或按對角線順序.依次相加后,有u1v1?u1v2?u2v2?u2v1?u1v3?u2v3?u3v3?u3v2?u3v1??(14)數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

??u1v1?u2v1?u3v1??unv1??u1v2??u2v2?u3v2??unv2??u1v3?u2v3??u3v3??unv3??????????u1vn?u2vn?u3vn?????????????unvn????數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社正方形順序§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法

u1v1?u2v1???u1v2?u2v2?u1v3u2v3??u3v2u3v3??????????對角線順序

u1v1?u1v2?u2v1?u1v3?u2v2?u3v1??.數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社?u3v1???(15)

§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法推論（阿貝爾引理）若(i)?1,?2,?,?n是單調數(shù)組,記??max{?k};k(ii)對任一正整數(shù)k(1?k?n)有?k?A,則有??vk?1nnkk?3?A.(19)證由(i)知?1??2,?2??3,?,?n?1??n都是同號的.于是由分部求和公式及條件(ii)推得

??k?1kkv?(?1??2)?1?(?2??3)?2???(?n?1??n)?n?1??n?n?A(?1??2)?(?2??3)???(?n?1??n)?A?n?A?1??n?A?n?A(?1?2?n)?3?A.數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法現(xiàn)在探討形如

?anbn?a1b1?a2b2???anbn??級數(shù)的收斂性的判別法.

定理12.15（阿貝爾判別法）(20)若{an}為單調有界數(shù)列,且級數(shù)?bn收斂,則級數(shù)(20)收斂.

證由于數(shù)列{an}單調有界,故存在M?0,使an?M.數(shù)?,存在又由于?bn收斂,依柯西準則，對任意正正數(shù)N,使當n>N時,對任一正整數(shù)p,都有

n?pk?n?b數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社k??.§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法(阿貝爾引理條件(ii)).應用(19)式得到

n?pk?n?ab這就說明級數(shù)(20)收斂.

kk?3M?.定理12.16（狄利克雷判別法）且liman?0,又級數(shù)?bn若數(shù)列{an}單調遞減,n??的部分和數(shù)列有界,則級數(shù)(20)收斂.

證由于?bn部分和數(shù)列Vn??bn有界,故存在正

k?1n數(shù)M,使|Vn|?M,因此當n,p為任何正整數(shù)時,

數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質

阿貝爾判別法和狄利

克雷判別法|bn?1?bn?2???bn?p|?|Vn?p?Vn|?2M.又由于數(shù)列{an}單調遞減,且liman?0,對???0,n??19）式得到?N,當n?N時，有an??.于是根據（|an?1bn?1???an?pbn?p|?2M(|an?1|?2|an?p|)?6M?.有了阿貝爾判別法就知道:若級數(shù)?un收斂,則

un級數(shù)?p(p?0),n數(shù)學分析第十二章數(shù)項級數(shù)高等教育出版社?un都收斂.n?1§3一般項級數(shù)交織級數(shù)絕對收斂級數(shù)及其性質