《最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)二》習(xí)題

《最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)二》習(xí)題

這一講主要講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣。

在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法可知，(18，12)=23=6，[18，12]=2332=36。假如把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么

(18，12)[18，12]

=(23)(2332)

=(233)(232)

=1812。

也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18，12換成其它自然數(shù)時，依舊有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：

兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，

(a，b)[a，b]=ab。

例1兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。已知其中一個自然數(shù)是18，求另一個自然數(shù)。

解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是(672)18=24。

例2兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。

分析與解：假如將兩個自然數(shù)都除以7，則原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)?！?/p>

轉(zhuǎn)變以后的兩個數(shù)的乘積是130=30，和是11。

30=130=215=310=56，

由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有56，且5與6互質(zhì)。因此轉(zhuǎn)變后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是

75=35和76=42。

例3已知a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。

分析與解：由于12，15都是a的約數(shù)，所以a應(yīng)當(dāng)是12與15的公倍數(shù)，即是[12，15]=60的倍數(shù)。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質(zhì)因數(shù)2，又由于[a，b，c]=120=2335，所以c=15。

由于a是c的倍數(shù)，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，(a，b)=12，[a，b]=120，求a，b?！?/p>

當(dāng)a=60時，

b=(a，b)[a，b]a

=1212060=24;

當(dāng)a=120時，

b=(a，b)[a，b]a

=12120230=12。

所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。

要將它們?nèi)植縿e裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量一樣。問：每瓶最多裝多少千克?

分析與解：假如三種溶液的重量都是整數(shù)，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數(shù)?，F(xiàn)在的問題是三種溶液的重量不是整數(shù)。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數(shù)，將分?jǐn)?shù)化為整數(shù)，求出數(shù)值后，再除以這個數(shù)。為此，先求幾個分母的最小公倍數(shù)，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變?yōu)?50，135和80，

(150，135，80)=5。

上式說明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪嶋H重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝

5*1/36=5/36(千克)

在例4中，消失了與整數(shù)的最大公約數(shù)類似的分?jǐn)?shù)問題。為此，我們將最大公約數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。

假如若干個分?jǐn)?shù)(含整數(shù))都是某個分?jǐn)?shù)的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公約數(shù)。在全部公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。

由例4的解答，得到求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)的方法：

(1)先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù);

(2)求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)a;

(3)求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)b;

(4)b/a即為所求。

類似地，我們也可以將最小公倍數(shù)的概念推廣到分?jǐn)?shù)中。

假如某個分?jǐn)?shù)(或整數(shù))同時是若干個分?jǐn)?shù)(含整數(shù))的整數(shù)倍，那么稱這個分?jǐn)?shù)是這若干個分?jǐn)?shù)的公倍數(shù)。在全部公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這若干個分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)。

求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)的方法：

(1)先將各個分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù);

(2)求出各個分?jǐn)?shù)的分子的最小公倍數(shù)a;

(3)求出各個分?jǐn)?shù)的分母的最大公約數(shù)b;

(4)b/a即為所求。

練習(xí)

1.將72和120的乘積寫成它們的最大公約數(shù)和最最小公倍數(shù)的乘積的形式。

2.兩個自然數(shù)