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反比例函數(shù)經(jīng)典測(cè)試題及答案解析一、選擇題1.已知點(diǎn)在雙曲線上,則下列各點(diǎn)一定在該雙曲線上的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出k=-3,再依次判斷各點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)乘積,等于-3即是在該雙曲線上,否則不在.【詳解】∵點(diǎn)在雙曲線上,∴,∵,∴點(diǎn)(3,-1)在該雙曲線上,∵,∴點(diǎn)、、均不在該雙曲線上,故選:A.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)解析式,正確計(jì)算k值是解題的關(guān)鍵.2.已知點(diǎn)A(﹣2,y1),B(a,y2),C(3,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,且﹣2<a<0,則()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)k>0,在圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,雙曲線在第一三象限,逐一分析即可.【詳解】∵反比例函數(shù)y=中的k=4>0,∴在圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,雙曲線在第一三象限,
∵-2<a<0,
∴0>y1>y2,∵C(3,y3)在第一象限,∴y3>0,∴,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì),熟練地應(yīng)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸于點(diǎn)軸于點(diǎn),分別交函數(shù)的圖象于點(diǎn),連接.當(dāng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸增大時(shí),四邊形的面積()A.不變 B.逐漸變大 C.逐漸變小 D.先變大后變小【答案】A【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出矩形ACOB的面積為k,,則四邊形OFAE的面積為定值.【詳解】∵點(diǎn)A是函數(shù))在第一象限內(nèi)圖象上,過(guò)點(diǎn)A分別作AB⊥x軸于點(diǎn)B,AC⊥y軸于點(diǎn)C,∴矩形ACOB的面積為,∵點(diǎn)E、F在函數(shù)的圖象上,∴,∴四邊形OFAE的面積,故四邊形OFAE的面積為定值,保持不變,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可求出四邊形和三角形的面積是解題的關(guān)鍵.4.在平面直角坐標(biāo)系中,分別過(guò)點(diǎn),作軸的垂線和,探究直線和與雙曲線的關(guān)系,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A.兩直線中總有一條與雙曲線相交B.當(dāng)=1時(shí),兩條直線與雙曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等C.當(dāng)時(shí),兩條直線與雙曲線的交點(diǎn)在軸兩側(cè)D.當(dāng)兩直線與雙曲線都有交點(diǎn)時(shí),這兩交點(diǎn)的最短距離是2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意給定m特定值、非特定值分別進(jìn)行討論即可得.【詳解】當(dāng)=0時(shí),與雙曲線有交點(diǎn),當(dāng)=-2時(shí),與雙曲線有交點(diǎn),當(dāng)時(shí),和雙曲線都有交點(diǎn),所以正確,不符合題意;當(dāng)時(shí),兩交點(diǎn)分別是(1,3),(3,1),到原點(diǎn)的距離都是,所以正確,不符合題意;當(dāng)時(shí),在軸的左側(cè),在軸的右側(cè),所以正確,不符合題意;兩交點(diǎn)分別是),兩交點(diǎn)的距離是,當(dāng)無(wú)限大時(shí),兩交點(diǎn)的距離趨近于2,所以不正確,符合題意,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直于x軸的直線與反比例函數(shù)圖象之間的關(guān)系,利用特定值,分情況進(jìn)行討論是解本題的關(guān)鍵,本題有一定的難度.5.下列函數(shù)中,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小的是()A.y=x2 B.y=x C.y=x+1 D.【答案】D【解析】【分析】需根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的增減性,即可求出當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小的函數(shù).【詳解】解:A、y=x2是二次函數(shù),開(kāi)口向上,對(duì)稱軸是y軸,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,錯(cuò)誤;B、y=x是一次函數(shù)k=1>0,y隨x的增大而增大,錯(cuò)誤;C、y=x+1是一次函數(shù)k=1>0,y隨x的增大而減小,錯(cuò)誤;D、是反比例函數(shù),圖象無(wú)語(yǔ)一三象限,在每個(gè)象限y隨x的增大而減小,正確;故選D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,1),點(diǎn)B在x軸正半軸上,點(diǎn)D在第三象限的雙曲線y=上,過(guò)點(diǎn)C作CE∥x軸交雙曲線于點(diǎn)E,則CE的長(zhǎng)為()A. B. C.3.5 D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)D(m,),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交CE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A過(guò)x軸的平行線交DG于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N,根據(jù)AAS先證明△DHA≌△CGD、△ANB≌△DGC可得AN=DG=1=AH,據(jù)此可得關(guān)于m的方程,求出m的值后,進(jìn)一步即可求得答案.【詳解】解:設(shè)點(diǎn)D(m,),過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線交CE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)A過(guò)x軸的平行線交DG于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N,如圖所示:∵∠GDC+∠DCG=90°,∠GDC+∠HDA=90°,∴∠HDA=∠GCD,又AD=CD,∠DHA=∠CGD=90°,∴△DHA≌△CGD(AAS),∴HA=DG,DH=CG,同理△ANB≌△DGC(AAS),∴AN=DG=1=AH,則點(diǎn)G(m,﹣1),CG=DH,AH=﹣1﹣m=1,解得:m=﹣2,故點(diǎn)G(﹣2,﹣5),D(﹣2,﹣4),H(﹣2,1),則點(diǎn)E(﹣,﹣5),GE=,CE=CG﹣GE=DH﹣GE=5﹣=,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)和全等三角形的判定與性質(zhì),構(gòu)造全等、充分運(yùn)用正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.如圖直線y=mx與雙曲線y=交于點(diǎn)A、B,過(guò)A作AM⊥x軸于M點(diǎn),連接BM,若S△AMB=2,則k的值是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再由S△ABM=2S△AOM并結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k的值.【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得:OA=OB,則S△ABM=2S△AOM=2,S△AOM=|k|=1,則k=±2.又由于反比例函數(shù)圖象位于一三象限,k>0,所以k=2.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)y=中k的幾何意義,即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線,所得矩形面積為|k|,是經(jīng)??疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn).8.在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象與直線:交于點(diǎn),與直線:交于點(diǎn),直線與交于點(diǎn),記函數(shù)的圖象在點(diǎn)、之間的部分與線段,線段圍城的區(qū)域(不含邊界)為,當(dāng)時(shí),區(qū)域的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.沒(méi)有【答案】D【解析】【分析】根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖形W得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行選擇.【詳解】∵,過(guò)整點(diǎn)(-1,-2),(-2,-1),當(dāng)b=時(shí),如圖:區(qū)域W內(nèi)沒(méi)有整點(diǎn),當(dāng)b=時(shí),區(qū)域W內(nèi)沒(méi)有整點(diǎn),∴時(shí)圖形W增大過(guò)程中,圖形內(nèi)沒(méi)有整點(diǎn),故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)解析式正確畫出圖象是解題的關(guān)鍵.9.如圖,的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,頂點(diǎn)在雙曲線上,邊交軸于點(diǎn),且四邊形的面積是面積的倍,則的值為:()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過(guò)D作DF//軸,過(guò)C作軸,交點(diǎn)為,利用平行四邊形的性質(zhì)證明利用平移寫好的坐標(biāo),由四邊形的面積是面積的倍,得到利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求橫坐標(biāo),再利用反比例函數(shù)寫的坐標(biāo),列方程求解.【詳解】解:過(guò)D作DF//軸,過(guò)C作軸,交點(diǎn)為,則,的兩邊互相平行,,設(shè)由結(jié)合平移可得:,四邊形的面積是面積的倍,,,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知:,,,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),平移性質(zhì),中點(diǎn)坐標(biāo)公式,掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.10.函數(shù)與()在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分k>0和k<0兩種情況確定正確的選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)k:>0時(shí),反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限,一次函數(shù)的圖象交
y軸于負(fù)半軸,y
隨著x的增大而增大,A選項(xiàng)錯(cuò)誤,C選項(xiàng)符合;當(dāng)k<0時(shí),反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限,一次函數(shù)的圖象交y軸于正半軸,y
隨著x的增大而增減小,B.
D均錯(cuò)誤,
故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象,一次函數(shù)的圖象,熟記函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.11.若點(diǎn)A(﹣4,y1)、B(﹣2,y2)、C(2,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,則y1、y2、y3的大小關(guān)系是()A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出y1、y2、y3的值,比較后即可得出結(jié)論.【詳解】∵點(diǎn)A(﹣4,y1)、B(﹣2,y2)、C(2,y3)都在反比例函數(shù)的圖象上,∴,,,又∵﹣<<,∴y3<y1<y2,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,反比例函數(shù)值的大小比較,熟知反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.12.如圖,在x軸的上方,直角∠BOA繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).若∠BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點(diǎn),則∠OAB大小的變化趨勢(shì)為()A.逐漸變小 B.逐漸變大 C.時(shí)大時(shí)小 D.保持不變【答案】D【解析】【分析】如圖,作輔助線;首先證明△BEO∽△OFA,,得到;設(shè)B為(a,),A為(b,),得到OE=-a,EB=,OF=b,AF=,進(jìn)而得到,此為解決問(wèn)題的關(guān)鍵性結(jié)論;運(yùn)用三角函數(shù)的定義證明知tan∠OAB=為定值,即可解決問(wèn)題.【詳解】解:分別過(guò)B和A作BE⊥x軸于點(diǎn)E,AF⊥x軸于點(diǎn)F,則△BEO∽△OFA,∴,設(shè)點(diǎn)B為(a,),A為(b,),則OE=-a,EB=,OF=b,AF=,可代入比例式求得,即,根據(jù)勾股定理可得:OB=,OA=,∴tan∠OAB===∴∠OAB大小是一個(gè)定值,因此∠OAB的大小保持不變.故選D【點(diǎn)睛】該題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問(wèn)題;解題的方法是作輔助線,將分散的條件集中;解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析、判斷、推理或解答.13.使關(guān)于x的分式方程=2的解為非負(fù)數(shù),且使反比例函數(shù)y=圖象過(guò)第一、三象限時(shí)滿足條件的所有整數(shù)k的和為().A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】試題分析:分別根據(jù)題意確定k的值,然后相加即可.∵關(guān)于x的分式方程=2的解為非負(fù)數(shù),∴x=≥0,解得:k≥-1,∵反比例函數(shù)y=圖象過(guò)第一、三象限,∴3﹣k>0,解得:k<3,∴-1≤k<3,整數(shù)為-1,0,1,2,∵x≠0或1,∴和為-1+2=1,故選,B.考點(diǎn):反比例函數(shù)的性質(zhì).14.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)B在第一象限,BA⊥x軸于點(diǎn)A,反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與線段AB相交于點(diǎn)C,且C是線段AB的中點(diǎn),若△OAB的面積為3,則k的值為()A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】連接OC,如圖,利用三角形面積公式得到S△AOC=S△OAB=,再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到|k|=,然后利用反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的值.【詳解】連接OC,如圖,∵BA⊥x軸于點(diǎn)A,C是線段AB的中點(diǎn),
∴S△AOC=S△OAB=,而S△AOC=|k|,∴|k|=,而k>0,
∴k=3.
故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,解題關(guān)鍵在于掌握在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點(diǎn),過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.15.如圖,已知點(diǎn),分別在反比例函數(shù)和的圖象上,若點(diǎn)是線段的中點(diǎn),則的值為().A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)A(a,b),則B(2a,2b),將點(diǎn)A、B分別代入所在的雙曲線解析式進(jìn)行解答即可.【詳解】解:設(shè)A(a,b),則B(2a,2b),∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上,∴ab=?2;∵B點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上,∴k=2a?2b=4ab=?8.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k.16.如圖,若點(diǎn)M是軸正半軸上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作PQ∥軸,分別交函數(shù)和的圖象于點(diǎn)P和Q,連接OP和OQ.則下列結(jié)論正確的是()A.∠POQ不可能等于90° B.C.這兩個(gè)函數(shù)的圖象一定關(guān)于軸對(duì)稱 D.△POQ的面積是【答案】D【解析】【分析】【詳解】解:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐一作出判斷:A.∵當(dāng)PM=MO=MQ時(shí),∠POQ=90°,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),由圖形可得:>0,<0,而PM,QM為線段一定為正值,故,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.根據(jù),的值不確定,得出這兩個(gè)函數(shù)的圖象不一定關(guān)于軸對(duì)稱,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.∵||=PM?MO,||=MQ?MO,∴△POQ的面積=MO?PQ=MO(PM+MQ)=MO?PM+MO?MQ=.故此選項(xiàng)正確.故選D.17.如圖,若直線與軸交于點(diǎn),與雙曲線交于點(diǎn),則的面積為()A.6 B.5 C.3 D.1.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求出A點(diǎn)坐標(biāo),再求出一次函數(shù)解析式,從而求出B點(diǎn)坐標(biāo),則問(wèn)題可解.【詳解】解:由已知直線與軸交于點(diǎn),與雙曲線交于點(diǎn)∴則m=-2把A(-2,1)代入到,得∴n=-3∴則點(diǎn)B(0,-3)∴的面積為故應(yīng)選:C【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題,解題關(guān)鍵是根據(jù)題意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想.18.如圖,點(diǎn),是雙曲線圖象上的兩點(diǎn),連接,線段經(jīng)過(guò)點(diǎn),點(diǎn)為雙曲線在第二象限的分支上一點(diǎn),當(dāng)滿足且時(shí),的值為().A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖作AE⊥x軸于E,CF⊥x軸于F.連接OC.首先證明△CFO∽△OEA,推出,因?yàn)镃A:AB=13:24,AO=OB,推出CA:OA=13:12,推出CO:OA=5:12,可得出=,因?yàn)镾△AOE=9,可得S△COF=,再根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可解決問(wèn)題.【詳解】解:如圖作AE⊥x軸于E,CF⊥x軸于F.連接OC.∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴OA=OB,∵AC=BC,OA=OB,∴OC⊥AB,∴∠CFO=∠COA=∠AEO=90°,∴∠COF+∠AOE=90°,∠AOE+∠EAO=90°,∴∠COF=∠OAE,∴△CFO∽△OEA,∴
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