第一章-球面幾何與球面三角學(xué)

第一章球面幾何與球面三角學(xué)球面幾何與球面三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個分支，主要研究球面上圖形的性質(zhì)、球面上由三個大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算等問題。球面幾何和球面三角學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用，與天文學(xué)、測量學(xué)及航海學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用有著密切的聯(lián)系，是天文航海的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本章介紹與天文航海相關(guān)的球面幾何與球面三角學(xué)基本知識。第一節(jié)球面幾何球面幾何研究分布在球面上的圖形的性質(zhì)，其所涉及的部分概念與原理，是學(xué)習(xí)天文航海必備的基本知識?！?、球和球面一個半圓繞其直徑旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)面，稱為球面。球面所圍成的幾何體，稱為球，或稱球體。球內(nèi)到球面上任一點的距離都相等的點，稱為球心。連接球心和球面上任一點的線段，稱為球的半徑；連接球面上兩點且通過球心的線段，稱為球的直徑。直徑的長度是半徑的兩倍，且同一球體的半徑或直徑都相等。在天文航海中，近似于旋轉(zhuǎn)橢球體的地球，常被當(dāng)做球體加以研究。此外，宇宙也以球體模型加以描述。二、球面上的圓任一平面與球面相截的截痕是一個圓。如圖1-1-1所示，設(shè)HH是過球心O的平面，平面MM不過球心但平行于平面HH，則平面MM和HH與半徑為R的球面相截，截痕ABC和QQN為圓。

圖1-1-1中，設(shè)O'是過O點向平面MM所作垂線的垂足，Q4=R為球的半徑，根據(jù)勾股定理，在直角三角形AAOO'中，有OA=<OA2—OO'2 （1-1-1）設(shè)OO'=d，O'A=r，可得r=：R2-d2 （1-1-2）分析圖1-1-1和式（1-1-2），可知：當(dāng)平面通過球心O時，d=0，r=R，平面與球面相截所得的圓最大，稱為大圓，如圓QQN。大圓的圓心即為球心，半徑等于球的半徑。大圓上的一段圓周，稱為大圓弧。當(dāng)平面不通過球心O時，d豐0，r<R，平面與球面相截所得的圓小于大圓，稱為小圓，如圓ABC。d越大，即平面離球心越遠(yuǎn)，平面與球面相截所得的小圓越小。按照大圓的定義，可導(dǎo)出大圓具有如下特性：（1） 大圓把球和球面分成相等的兩部分；（2） 兩個大圓平面相互平分，其交線既是球的直徑，也是這兩個大圓的直徑；（3） 過球面上不在同一直徑兩端的任意兩點，僅能作一個大圓；（4） 過同一直徑的兩個端點，在球面上可以作無數(shù)個大圓。三、球面距離球面上兩點間小于180。的大圓?。ǚQ為劣?。╅L，是兩點間在球面上的最短距離，稱為兩點間的球面距離。如圖1-1-2所示，A、B兩點的球面距離，即大圓弧AB的長，且與AB所對應(yīng)的球心角/AOB同度。球面距離用大圓弧所對應(yīng)的球心角（。、二〃）表示。圖『I-圖圖『I-圖球面距離圖1-1-3軸、癮極距和極線四、軸、極、極距和極線垂直于球面上的圓所在平面的球直徑，稱為該圓的軸，軸的兩個端點，稱為該圓的極。球面上從極到該圓上任一點的球面距離，稱為極距。同一個圓的極距都相等；大圓的極距等于90。；極距等于90。的大圓弧，稱為該極的極線。如圖1-1-3所示，直徑PP'同時垂直于小圓CD和大圓AB的平面，因此，PP'既是小圓CD的軸，也是大圓AB的軸，其兩個端點P和P'同是小圓CD和大圓AB的極。顯然，小圓CD的極距PC=PD，PC=PD；大圓AB的極距PA=PB=PA=P'B=90。；大圓弧AB即P或P'的極線。五、球面角及其度量球面上兩個大圓弧所構(gòu)成的角，稱為球面角。構(gòu)成球面角的兩個大圓弧，稱為該球面角的邊，邊的交點稱為該球面角的頂點。如圖1-1-4所示，ZAPB和ZAPB為兩個球面角。對球面角ZAPB，P為頂點，兩條邊分別為大圓弧PA和PB。球面角的大小用過其頂點的兩個大圓弧平面所構(gòu)成的二面角來度量的，具體度量方法有以下三種（圖1-1-4）：（1） 用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長AB來度量；（2） 用頂點的極線被球面角兩條邊所截的弧長AB所對應(yīng)的球心角ZAOB來度量；（3） 用過頂點所作的兩個大圓弧的兩條切線間的夾角ZCPD來度量。第二節(jié)球面三角學(xué)球面三角學(xué)研究球面上由三個大圓弧所構(gòu)成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理論?！?球面三角形球面上由三個大圓弧相交所構(gòu)成的圖形稱為球面三角形。構(gòu)成球面三角形的大圓弧，稱為球面三角形的邊；由大圓弧構(gòu)成的球面角，稱為球面三角形的角。球面三角形的三條邊和三個角，統(tǒng)稱為球面三角形的六個元素。如圖1-2-1所示，三角形AABC即球面三角形，其六個元素分別為邊a、b、c和角A、B、C。在球面上，三個大圓弧構(gòu)成4組對稱球面三角形。航海上所使用的球面三角形，邊和角均大于0。而小于180。，稱為歐拉球面三角形。圖1-2-1球面三角形因邊和角取值的不同，球面三角形又可分為任意球面三角形（如AABC）、球面直角三角形（一個或一個以上的角為直角）、球面直邊三角形（一條或一條以上的邊等于90圖1-2-1球面三角形二、 球面三角形的相等和相似兩個球面三角形的對應(yīng)邊和角分別相等，且在同一球面上或在半徑相等的兩個球面上，邊和角的排列順序相同，則稱兩個球面三角形相等。判斷兩個球面三角形相等的條件（任成立即可）如下：兩個球面三角形的對應(yīng)邊和角分別相等，且（1） 兩邊及其夾角相等；（2） 兩角及其夾邊相等；（3） 三邊相等；（4） 三角相等。在半徑不同的球面上，邊角度數(shù)對應(yīng)相等的兩個球面三角形，稱為相似球面三角形。三、 球面三角形的基本性質(zhì)根據(jù)定義，可導(dǎo)出球面三角形的基本性質(zhì)如下：（1）球面三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（2） 球面三角形的三邊之和大于0。且小于360。，三角之和大于180。且小于540。；（3） 球面三角形的兩角之和減去第三角小于180。；（4） 若球面三角形的兩邊相等，則此兩邊的對角相等；反之，若兩角相等，則此兩角的對邊相等；（5） 球面三角形中，大角對大邊；反之，大邊對大角。四、球面三角形中邊和角的函數(shù)關(guān)系球面三角學(xué)的主要任務(wù)之一，是研究球面三角形六個元素之間的函數(shù)關(guān)系，表示這種關(guān)系的方程稱為球面三角公式。在眾多球面三角公式中，天文航海中常用的公式包括：1.邊的余弦公式球面三角形任一邊的余弦，等于其余兩邊余弦的乘積，加上該兩邊的正弦及其夾角的余弦的乘積。如圖1-2-1所示，在球面三角形AABC中，邊的余弦公式為cosa=cosbcosc+sinbsinccosA<cosb=cosacosc+sinasinccosB （1-2-1）cosc=cosacosb+sinasinbcosC邊的余弦公式表示球面三角形的三條邊和一個角之間的關(guān)系，可用于已知三邊求一角，或已知兩邊及其夾角求第三邊。正弦公式球面三角形各邊的正弦與其對角的正弦成正比。如圖1-2-1所示，在球面三角形AABC中，正弦公式為也=業(yè)=笠 （1-2-2）sinAsinBsinC正弦公式表示球面三角形的邊與其對角之間的關(guān)系，可用于已知兩邊一對角求另一對角，或已知兩角一對邊求另一對邊。余切公式（又稱相鄰四元素公式、四聯(lián)公式）將球面三角形中相聯(lián)四個元素依次排列，在中間的邊、角，叫中邊、中角，在兩端的邊、角叫端邊、端角，則用球面三角形的余切公式可以寫成cot端角sin中角=cot端邊sin中邊-cos中邊cos中角 （1-2-3）如圖1-2-所示，在球面三角形AABC中，余切公式為：cotAsinB=cotasinc—cosccosBcotAsinC=cotasinb—cosbcosCcotBsinC=cotbsina—cosacosC\ (1-2-4)cotBsinA=cotbsinc—cosccosAcotCsinA=cotcsinb—cosbcosAcotCsinB=cotcsina—cosacosB余切公式表示球面三角形相聯(lián)四元素之間的關(guān)系，可用于已知相聯(lián)三個元素，求相聯(lián)的方元系。思考題何為大圓、小圓？大圓與小圓的主要區(qū)別是什么？何為球面距離和球面角？兩者如何度量？何為球