哈工大機(jī)械振動(dòng)大作業(yè)

《機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)》大作業(yè)（2015年春季學(xué)期）題目姓 名 xxxxxxx學(xué) 號(hào) xxxxxxxxxx班 級(jí)專 業(yè)機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動(dòng)化報(bào)告提交日期 2015哈爾濱工業(yè)大學(xué)

報(bào)告要求.請(qǐng)根據(jù)課堂布置的2道大作業(yè)題，任選其一，拒絕雷同和抄襲；.報(bào)告最好包含自己的心得、體會(huì)或意見、建議等；.報(bào)告統(tǒng)一用該模板撰寫，字?jǐn)?shù)不少于3000字，上限不限；.正文格式：小四號(hào)字體，行距為1.25倍行距；.用A4紙單面打??；左側(cè)裝訂，1枚釘；.課程報(bào)告需同時(shí)提交打印稿和電子文檔予以存檔，電子文檔由班長(zhǎng)收齊，統(tǒng)一發(fā)送至：7.liuyingxiang868@。7.此頁不得刪除。評(píng)語:教師簽名:成績(jī)（15分）:教師簽名:、振動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)選擇在該作業(yè)中，我選取了9個(gè)自由度系統(tǒng)，其他參數(shù)如下:、振動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)分析1，多自由度系統(tǒng)概述多自由度系統(tǒng)：是指必須通過兩個(gè)以上的獨(dú)立廣義坐標(biāo)才能夠描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的系統(tǒng)，或者說是自由度數(shù)目多于兩個(gè)，但又不屬于連續(xù)彈性體（自由度數(shù)目為無窮多個(gè)）的系統(tǒng)。UiiV—1iV—1kik2kiAAA^1-Woo_oo_2,剛度系數(shù)法建立振動(dòng)微分方程剛度系數(shù)法又稱單位位移法，是把一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)當(dāng)作一個(gè)靜力系統(tǒng)來看待，用靜力學(xué)方法確定出系統(tǒng)所有的剛度系數(shù)（剛度矩陣中元素），借助于這些系數(shù)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。如上圖所示系統(tǒng)，其剛度矩陣為k+k+k—k20—k 02k+k —k—k k+k000000k+k—kN—1 NN—kkNN代入所給定的數(shù)據(jù)，為:在i點(diǎn)處施加力的大小。這對(duì)于質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的多自由度系統(tǒng)建立振動(dòng)微分方程是非常簡(jiǎn)便的，不必進(jìn)行隔離體分析列方程，就可建立起運(yùn)動(dòng)方程。用剛度系數(shù)法來求剛度矩陣中的元素K用剛度系數(shù)法來求剛度矩陣中的元素K時(shí)，K表示在第，點(diǎn)處發(fā)生單位位移時(shí)，需若系統(tǒng)存在阻尼，則與彈簧并行的還應(yīng)畫出阻尼器。對(duì)于黏性阻尼，阻尼矩陣的每一個(gè)元素cij可以如下求得:當(dāng)?shù)趈個(gè)質(zhì)量具有單位速度而其他質(zhì)量的速度均為零時(shí)，要克服第j個(gè)質(zhì)量的阻尼器阻力而需在第i個(gè)質(zhì)量上施加的力的大小。然后把阻尼力這一項(xiàng)加到運(yùn)動(dòng)方程中去，即可得到有阻尼的多自由度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程用剛度系數(shù)法同樣也可以建立扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)微分方程，只需將作用力F變成作用力矩M，單位位移變成單位角位移，按上述方法分析即可質(zhì)量矩陣可用類似的過程得到所以可列出該系統(tǒng)的矩陣方程為：M{x}+K{x}={。} (1)??3，固有頻率與固有振型(1)固有頻率設(shè)系統(tǒng)各質(zhì)量塊按照同頻率和同相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即：x=Asin(①t+q)代入式(1)得，+(K-m①2)A+(K2—m之①？)A(K—m①2)A+(K—m①2)A+

(K21-m2+(K-m①2)A+(K2—m之①？)A(K-m①2)A+(K-m①2)A+

n1n1 1 n2 n2 2這是一個(gè)關(guān)于Ai的n元線性齊次方程組。寫成矩陣形式:???一K-32M]{a}={o}B=K-32M，稱為系統(tǒng)的特征矩陣。上式有非零解的條件是特征矩陣的行列式為零，即：K-m32K-m32K-m32111112121n1nBl=K-m32K-m32K-m32=02121**2222**???2n2n??K-m32K-m32???K-m32n1n1n2n2nnnn將此式展開可得⑦2的n次方程，形式如下???+a(32)1+a=0(32)n+a(32)n-1++a(32)1+a=0該方程唯一的確定了頻率3所滿足的條件，稱為頻率方程或特征方程。求解特征方程可求得n個(gè)32根，稱為特征值。這n個(gè)特征值開方后得到n個(gè)正實(shí)數(shù)值稱為系統(tǒng)的n個(gè)固有頻率，計(jì)為31、32、…、3n，按照從小到大的次序依次稱為第1階、第2階、…、第n階固有頻率。(2)主振型如果特征值32已經(jīng)求得，將對(duì)代入方程式i(K—m32)A+(K —m 32)A + +(K —m 32)A=0(K—m32)A+(K —m 32)A + +(K —m 32)A=0^21 21 1 ：2 2" 2""…(K—m32)A+(K—m32)A++(K—m32)A=0"1 "1 1 "2 "2 2 nnnnn即可求出對(duì)應(yīng)于32的n個(gè)幅值A(chǔ)(i)A(i)…A(i)間的比例關(guān)系，稱為振幅比。i 1 2 n對(duì)應(yīng)于每一個(gè)特征值32的振幅向量A(i)稱之為特征向量i由于A?)各元素比值完全確定了系統(tǒng)振動(dòng)的形態(tài)，故又稱為第i階主振型或固有振型。A(i)

1

A(i)

2將系統(tǒng)的各階固有頻率依次代入式(3)，即可得到系統(tǒng)的第1階、第2階、…、第n階主振型。A(2)A A⑵A(1)nA(2)A(1)nA(2)

n可見n個(gè)自由度系統(tǒng)就有n個(gè)固有頻率和n個(gè)相應(yīng)的主振型。將求得的3i及對(duì)應(yīng)的主振型A(i)(i，j=1，2，…，口)代入x=Asin(3/+p)就得n組特解，將這n組特解疊加，就得到系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般解，即

+A（））sin（3t+p）+A（n）sin?t+p）+A⑺sin（+A（））sin（3t+p）+A（n）sin?t+p）+A⑺sin（3t+p）x=A（1）sin（31+p）+A⑵sin（3t+p）+<2 2 1 1 2 2 2x=A（i）sin（31+p）+A⑵sin（3t+p）+nn 11n 2 2即{x}=A⑴sin（①t+W）+A（2）sin（①t+3）+ +A（n）sin（①t+3）如果系統(tǒng)在某一特殊的初始條件下，使得待定常數(shù)中只有A(D*0而其他A：)=A3)=二A(n)=0其中j=1,2,…，柒則自由振動(dòng)的一般解為… x=A⑴sin(31+p)x=A⑴sin(31+p)TOC\o"1-5"\h\z< 2 ,」x=A⑴sin?t+p)nn 1 1這時(shí)各質(zhì)量塊均以第一階固有頻率31和同一相位角①1作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在同一瞬時(shí)同時(shí)經(jīng)過各自的平衡位置，同時(shí)達(dá)到各自的極限位置，這種特殊的振動(dòng)稱為主振動(dòng)各坐標(biāo)值在任何瞬間都保持固定不變的比值，即恒有\(zhòng)o"CurrentDocument"x x xA（1）A（1） A（1）1 2 n列陣.⑴｝各振幅元素比值完全確定了系統(tǒng)振動(dòng)的形態(tài)，稱為第一階主振型x=Aisin(①t+6描述的系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，稱為第一階主振動(dòng)第一階主振型列陣表示為A（1）n三、MATLAB作圖程序m1=m2=;m3=3;m4=6;m5=5;m6=4;m7=m8=;m9=k1=k2=k3=k4=k5=k6=;m=[m1,0,0,0,0,0,0,0,0;0,m2,0,0,0,0,0,0,0;0,0,m3,0,0,0,0,0,0;0,0,0,m4,0,0,0,0,0;0,0,0,0,m5,0,0,0,0;0,0,0,0,0,m6,0,0,0;0,0,0,0,0,0,m7,0,0;0,0,0,0,0,0,0,m8,0;0,0,0,0,0,0,0,0,m9];k=[k1+k2,-k2,0,0,0,0,0,0,0;-k2,k2+k3,-k3,0,0,0,0,0,0;0,-k3,k3+k4,-k4,0,0,0,0,0;0,0,-k4,k4+k5,-k5,0,0,0,0;0,0,0,-k5,k5+k6,-k6,0,0,0;0,0,0,0,-k6,k6+k7,-k7,0,0;0,0,0,0,0,-k7,k7+k8,-k8,0;0,0,0,0,0,0,-k8,k8+k9,-k9;0,0,0,0,0,0,0,-k9,k9];[V,D]=eig(k,m);%特征頻率D和振型Vforj=1:1:9w(j)=sqrt(D(j,j));%Dfori=1:1:9absV(i,j)=abs(V(i,j));endendforj=1:1:9fori=1:1:9V(i,j)=V(i,j)/max(j);endendfigurex=1:9;fora=1:9subplot(3,3,a),plot(x,V(x,a),'r‘);endwV四、振動(dòng)系統(tǒng)過程分析查閱工具書可以查得函數(shù)[V,D]=eig(A,B):由eig(A,B)返回方陣A和B的N個(gè)廣義特征值，構(gòu)成NXN階對(duì)角陣D,其對(duì)角線上的N個(gè)元素即為相應(yīng)的廣義特征值，同時(shí)將返回相應(yīng)的特征向量構(gòu)成NXN階滿秩矩陣，且滿足AV二BVD。通過該函數(shù)，我們可以知道，我們所需要的32，正是矩陣D的對(duì)角線上的元素，而V矩陣的每一列，都是一組A的值，程序輸出的D矩陣與V矩陣如下：0.09610000000001.11100000000004.03390000000006.80930000000009.796200000000016.872700000000020.985300000000033.283400000000034.46240.0615-0.06470.0831-0.05770.0565-0.06070.0453-0.0144-0.02150.0917-0.08980.0912-0.04730.02940.0114-0.02710.02640.04190.1111-0.09830.0659-0.0135-0.01270.0434-0.0280-0.0196-0.03610.1294-0.09580.01400.0295-0.04230.00220.0299-0.00040.01040.1429-0.0755-0.04010.03190.0033-0.0395-0.02800.0182-0.01100.1531-0.0472-0.06730.00690.03920.0073-0.0052-0.04130.01780.1614-0.0152-0.0673-0.02140.03680.04020.02690.0329-0.01310.17600.0548-0.0198-0.0553-0.0314-0.0094-0.0045-0.00300.00110.18230.09140.04370.03810.01240.00190.00070.0003-0.0001由于D矩陣所的對(duì)角線上的元素表示的是32的值，故我在后續(xù)的程序中加入了開平方運(yùn)算，所求得的3的值為W二0.311：10 1.0540 0085 6095 3.1299 4.1076 4.5810 5.7692 5.8705這9個(gè)值就是該系統(tǒng)所具有的9個(gè)固有頻率。由于我們所求得振型，是振動(dòng)幅度的比值，故我用V的每一個(gè)元素與其所在列的最后一個(gè)元素相比，求得比值，這樣，我們就獲得了A之間的比例關(guān)系。由于A的比值與W的值均已確定，故我們可以按照比例畫出該系統(tǒng)各階振動(dòng)的時(shí)間一位移圖像，在這里，由于對(duì)于編寫復(fù)雜的循環(huán)程序我還沒有