高速公路控制坐標的計算

高速公路控制坐標的計算在當前的高速公路的施工控制中，隨著全站儀的廣泛應用，路線放樣基本都采用“極坐標法”。即通過編程計算出路線逐樁坐標以及各類控制點坐標，再利用全站儀直接進行放樣。傳統(tǒng)的利用經(jīng)緯儀進行放樣的方法已經(jīng)比較過時，但在各類測量學及道路勘察設計書籍中出于照顧低等級公路的需要以及偏重于設計原理的介紹，對逐樁坐標的計算講解甚少，或者是夾雜于各類曲線要素計算和傳統(tǒng)經(jīng)緯儀放樣方法之間。對于初學者來講，不易快速消化吸收。因此在本文中我將就高速公路控制坐標的計算做一個簡單實用的介紹：在進行介紹之前，我先做一下說明：本文中所提到的某點的方位角在該點位于直線段上時等同于該直線沿路線前進方向的方位角，位于曲線段上則等同于曲線在該點沿路線前進方向的切線的方位角。本文中所提到方位角都采用弧度制，具體計算時要注意角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換?；揪€形的算法1※1直線上點的坐標計算如圖一，設起點為O，線上任一點為P，方位角為Φ，O點坐標為（XO，YO），則P點坐標：XP=XO＋︱OP︱×CｏｓΦYP=YO＋︱OP︱×SｉｎΦ其中︱OP︱是自變量，XP、YP是因變量。1※2圓曲線上點的坐標計算如圖二，設圓曲線起始點為O，初始方位角（O點的方位角）為ΦO，半徑為Ｒ，圓曲線上任一點為Ｐ，圓弧⌒ＯＰ對應的圓心角為θ，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得：弦長︱OP︱=2R×Sｉｎ（θ/2）弦偏角∠ＥＯＰ=θ/2切線角∠ＥＭＰ=θXP=XO＋︱OP︱×Cｏｓ（ΦO±θ/2）YP=YO＋︱OP︱×Sｉｎ（ΦO±θ/2）θ=⌒ＯＰ／ＲΦP=ΦO±θ上式中當路線右轉(zhuǎn)時取“＋”，左轉(zhuǎn)時取“－”，︱OP︱為自變量，XP、YP、θ、ΦP為因變量。1※3標準緩和曲線的計算算法一：如圖三，設緩和曲線起點為Ｏ（XO，YO），初始方位角為ΦO，曲線上任一點坐標為Ｐ（XP，YP），弧長⌒ＯＰ為S，根據(jù)緩和曲線(回旋線)幾何性質(zhì)可得：ＲＰ×S＝Ａ２（A——緩和曲線參數(shù)）切線角∠ＥＭＰ（β）＝S／２ＲＰ＝S２／２Ａ２（由微元法積分所得）再根據(jù)圖三作幾何推導可得：XP＝XO＋ＸＪ×ＣｏｓΦO(－＋)ＹＪ×ＳｉｎΦOYP＝Y(jié)O＋ＸＪ×ＳｉｎΦO±ＹＪ×ＣｏｓΦOΦP＝ΦO±∠ＥＭＰ式中ＸＪ，ＹＪ為以ＯＥ為Ｘ軸，ＯＯ１為Ｙ軸的局部坐標系中的Ｐ點坐標：ＸＪ＝S－S5／40Ａ4＋S9／3456Ａ8－S13／599040Ａ12ＹＪ＝S3／6Ａ2－S7／336Ａ6＋S11／42240Ａ10（利用微元法，冪級數(shù)展開再積分所得）路線右轉(zhuǎn)則上式中取上（前）面的正負號，左轉(zhuǎn)取下（后）面的正負號為了直觀，我們再將路線左轉(zhuǎn)的幾何示意圖畫出來如圖四：算法二：如圖三、四，由緩和曲線性質(zhì)可得：弦偏角∠ＥＯＰ≈∠ＥＭＰ／３＝S/６ＲＰ＝S2/6Ａ２（近似法）則：XP＝XO＋［ＸＪ／Ｃｏｓ（S２／６Ａ２）］×Ｃｏｓ［ΦO±（S２／６Ａ２）］YP＝Y(jié)O＋［ＸＪ／Ｃｏｓ（S２／６Ａ２）］×Ｓｉｎ［ΦO±（S２／６Ａ２）］因為弦偏角是用近似法求得，所以利用弦偏角計算精度相對較低，當S較大時結(jié)果并不準確，一般并不采用。1※4非起點開始的緩和曲線的計算上面提到的是從緩和曲線起點（R=∞）開始計算的公式，在公路設計中（尤其是在匝道的設計中），因為某些需要，路線并不是從起點開始，而是從半徑R1的點開始到半徑R2的點結(jié)束（如圖五），因此需要將起點坐標反算出來，從而再利用前面1※3中提到的公式進行計算。XO＝XP－ＸＪ×Ｃｏｓ［Φ１（－＋）β１］±ＹＪ×Ｓｉｎ［Φ１（－＋）β１］YO＝Y(jié)P－ＸＪ×Ｓｉｎ［Φ１（－＋）β１］(－＋)ＹＪ×Ｃｏｓ［Φ１（－＋）β１］ΦO＝Φ１（－＋）β１＝Φ２（－＋）β２路線右轉(zhuǎn)取上（前）面的正負號，左轉(zhuǎn)取下（后）面的正負號設⌒ＯＰ＝S１，⌒ＯＮ＝S２，⌒ＰＮ＝S從緩和曲線的幾何性質(zhì)，我們又可以知道：S＝S２－S１S１×Ｒ１＝S２×Ｒ２＝Ａ２β１＝S１２／２Ａ２＝S１／２Ｒ１β２＝S２２／２Ａ２＝S２／２Ｒ２二、補充說明１、各種類型曲線均可分解成以上四種基本線形進行計算；２、弄清坐標方位角的定義并注意到所用坐標系與平面直角坐標系的區(qū)別是理解以上幾種算法推導的關(guān)鍵，尤其對于初學者來說；３、在上面的幾種算法中，我們要注意到︱OP︱或者⌒ＯＰ是唯一自變量，即高速公路平曲線的樁與樁之間的間距。這與我們的目的——獲得平曲線逐樁坐標是一致的，同時我們也因此可以使用Ｅxcel或者CASIOfx－４８００等可編程計算器進行批量計算，并可以任意加樁，得到所需要的特定點控制坐標。而對于其中的常量，則可通過查閱相關(guān)圖表和進行相關(guān)計算而得。相關(guān)圖表一般包括①路線平面設計圖②路線平面圖③互通立交線位圖④互通立交平面圖⑤支線平面布置圖⑥直線、曲線及轉(zhuǎn)角表⑦逐樁坐標表。在直線、曲線及轉(zhuǎn)角表中，計算方位角即兩交點之間連線沿路線前進方向的方位角也等同于道路中線中直線段或直曲（曲直）銜接點的方位角。對于第二緩和曲線，按１※３計算時，Ｏ點為第二緩和曲線終點，ΦO應等于在終點方位角基礎上加上π，路線轉(zhuǎn)向與第一緩和曲線相反。此外，對于公路設計而言，一般都會進行充分要素設計（打個比方，就是有ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ十個要素，給定包含這十個要素的幾個方程組，只要知道其中的六個要素就可以解出剩下的四個要素，但設計會給出八個要素甚至十個要素全部給出），以便于進行圖紙校核。因此要在計算前認真查閱相關(guān)圖表，收集盡可能多的計算要素，理順其中的關(guān)系（本文中的幾個算法給出的公式已經(jīng)基本將我們所需要的關(guān)系方程羅列出來），再根據(jù)個人習慣進行取舍后展開計算，最后利用其他要素進行校核。以圓曲線起點坐標來說，有的圖紙上直接提供，也可以利用交點坐標通過１※１進行計（驗）算；在方法四中，計算要素Ｒ１、Ｒ２、Ａ、Φ１、Φ２、S只要知道其中的三個或者四個就可以完成計算，但通常取Ｒ１、Ａ、Φ１計算相對要簡便一些。在使用以上算法算出逐（中）樁坐標后要注意隨時與逐樁坐標表進行對照，防止因手工輸入或正符號搞錯造成計算錯誤。對于像互通立交、支線上跨等缺少逐樁坐標表的線路設計也要充分利用各類相關(guān)圖紙中提供的平曲線主點坐標進行校驗。４、對于邊樁坐標計算而言，只相當于在已知對應中樁坐標的基礎上追加一次以對應中樁為起點，邊樁為終點的直線型坐標計算。該直線的方位角為中樁點的方位角±π／２（左轉(zhuǎn)為“－”，右轉(zhuǎn)為“＋”）。很顯然對于橋梁、結(jié)構(gòu)物的控制點坐標計算也可參照此法。５、在設計圖表未給出路線左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)的情況下判斷路線轉(zhuǎn)向可利用此法：方位角逐漸增大的為右轉(zhuǎn)，逐漸減小的為左轉(zhuǎn)。注意特殊情況：３５０○－３６０○－