高速公路控制坐標(biāo)的計(jì)算

高速公路控制坐標(biāo)的計(jì)算在當(dāng)前的高速公路的施工控制中，隨著全站儀的廣泛應(yīng)用，路線放樣基本都采用“極坐標(biāo)法”。即通過編程計(jì)算出路線逐樁坐標(biāo)以及各類控制點(diǎn)坐標(biāo)，再利用全站儀直接進(jìn)行放樣。傳統(tǒng)的利用經(jīng)緯儀進(jìn)行放樣的方法已經(jīng)比較過時(shí)，但在各類測(cè)量學(xué)及道路勘察設(shè)計(jì)書籍中出于照顧低等級(jí)公路的需要以及偏重于設(shè)計(jì)原理的介紹，對(duì)逐樁坐標(biāo)的計(jì)算講解甚少，或者是夾雜于各類曲線要素計(jì)算和傳統(tǒng)經(jīng)緯儀放樣方法之間。對(duì)于初學(xué)者來講，不易快速消化吸收。因此在本文中我將就高速公路控制坐標(biāo)的計(jì)算做一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)用的介紹：在進(jìn)行介紹之前，我先做一下說明：本文中所提到的某點(diǎn)的方位角在該點(diǎn)位于直線段上時(shí)等同于該直線沿路線前進(jìn)方向的方位角，位于曲線段上則等同于曲線在該點(diǎn)沿路線前進(jìn)方向的切線的方位角。本文中所提到方位角都采用弧度制，具體計(jì)算時(shí)要注意角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換?；揪€形的算法1※1直線上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算如圖一，設(shè)起點(diǎn)為O，線上任一點(diǎn)為P，方位角為Φ，O點(diǎn)坐標(biāo)為（XO，YO），則P點(diǎn)坐標(biāo)：XP=XO＋︱OP︱×CｏｓΦYP=YO＋︱OP︱×SｉｎΦ其中︱OP︱是自變量，XP、YP是因變量。1※2圓曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算如圖二，設(shè)圓曲線起始點(diǎn)為O，初始方位角（O點(diǎn)的方位角）為ΦO，半徑為Ｒ，圓曲線上任一點(diǎn)為Ｐ，圓弧⌒ＯＰ對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得：弦長(zhǎng)︱OP︱=2R×Sｉｎ（θ/2）弦偏角∠ＥＯＰ=θ/2切線角∠ＥＭＰ=θXP=XO＋︱OP︱×Cｏｓ（ΦO±θ/2）YP=YO＋︱OP︱×Sｉｎ（ΦO±θ/2）θ=⌒ＯＰ／ＲΦP=ΦO±θ上式中當(dāng)路線右轉(zhuǎn)時(shí)取“＋”，左轉(zhuǎn)時(shí)取“－”，︱OP︱?yàn)樽宰兞?，XP、YP、θ、ΦP為因變量。1※3標(biāo)準(zhǔn)緩和曲線的計(jì)算算法一：如圖三，設(shè)緩和曲線起點(diǎn)為Ｏ（XO，YO），初始方位角為ΦO，曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為Ｐ（XP，YP），弧長(zhǎng)⌒ＯＰ為S，根據(jù)緩和曲線(回旋線)幾何性質(zhì)可得：ＲＰ×S＝Ａ２（A——緩和曲線參數(shù)）切線角∠ＥＭＰ（β）＝S／２ＲＰ＝S２／２Ａ２（由微元法積分所得）再根據(jù)圖三作幾何推導(dǎo)可得：XP＝XO＋ＸＪ×ＣｏｓΦO(－＋)ＹＪ×ＳｉｎΦOYP＝Y(jié)O＋ＸＪ×ＳｉｎΦO±ＹＪ×ＣｏｓΦOΦP＝ΦO±∠ＥＭＰ式中ＸＪ，ＹＪ為以ＯＥ為Ｘ軸，ＯＯ１為Ｙ軸的局部坐標(biāo)系中的Ｐ點(diǎn)坐標(biāo)：ＸＪ＝S－S5／40Ａ4＋S9／3456Ａ8－S13／599040Ａ12ＹＪ＝S3／6Ａ2－S7／336Ａ6＋S11／42240Ａ10（利用微元法，冪級(jí)數(shù)展開再積分所得）路線右轉(zhuǎn)則上式中取上（前）面的正負(fù)號(hào)，左轉(zhuǎn)取下（后）面的正負(fù)號(hào)為了直觀，我們?cè)賹⒙肪€左轉(zhuǎn)的幾何示意圖畫出來如圖四：算法二：如圖三、四，由緩和曲線性質(zhì)可得：弦偏角∠ＥＯＰ≈∠ＥＭＰ／３＝S/６ＲＰ＝S2/6Ａ２（近似法）則：XP＝XO＋［ＸＪ／Ｃｏｓ（S２／６Ａ２）］×Ｃｏｓ［ΦO±（S２／６Ａ２）］YP＝Y(jié)O＋［ＸＪ／Ｃｏｓ（S２／６Ａ２）］×Ｓｉｎ［ΦO±（S２／６Ａ２）］因?yàn)橄移鞘怯媒品ㄇ蟮?，所以利用弦偏角?jì)算精度相對(duì)較低，當(dāng)S較大時(shí)結(jié)果并不準(zhǔn)確，一般并不采用。1※4非起點(diǎn)開始的緩和曲線的計(jì)算上面提到的是從緩和曲線起點(diǎn)（R=∞）開始計(jì)算的公式，在公路設(shè)計(jì)中（尤其是在匝道的設(shè)計(jì)中），因?yàn)槟承┬枰?，路線并不是從起點(diǎn)開始，而是從半徑R1的點(diǎn)開始到半徑R2的點(diǎn)結(jié)束（如圖五），因此需要將起點(diǎn)坐標(biāo)反算出來，從而再利用前面1※3中提到的公式進(jìn)行計(jì)算。XO＝XP－ＸＪ×Ｃｏｓ［Φ１（－＋）β１］±ＹＪ×Ｓｉｎ［Φ１（－＋）β１］YO＝Y(jié)P－ＸＪ×Ｓｉｎ［Φ１（－＋）β１］(－＋)ＹＪ×Ｃｏｓ［Φ１（－＋）β１］ΦO＝Φ１（－＋）β１＝Φ２（－＋）β２路線右轉(zhuǎn)取上（前）面的正負(fù)號(hào)，左轉(zhuǎn)取下（后）面的正負(fù)號(hào)設(shè)⌒ＯＰ＝S１，⌒ＯＮ＝S２，⌒ＰＮ＝S從緩和曲線的幾何性質(zhì)，我們又可以知道：S＝S２－S１S１×Ｒ１＝S２×Ｒ２＝Ａ２β１＝S１２／２Ａ２＝S１／２Ｒ１β２＝S２２／２Ａ２＝S２／２Ｒ２二、補(bǔ)充說明１、各種類型曲線均可分解成以上四種基本線形進(jìn)行計(jì)算；２、弄清坐標(biāo)方位角的定義并注意到所用坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別是理解以上幾種算法推導(dǎo)的關(guān)鍵，尤其對(duì)于初學(xué)者來說；３、在上面的幾種算法中，我們要注意到︱OP︱或者⌒ＯＰ是唯一自變量，即高速公路平曲線的樁與樁之間的間距。這與我們的目的——獲得平曲線逐樁坐標(biāo)是一致的，同時(shí)我們也因此可以使用Ｅxcel或者CASIOfx－４８００等可編程計(jì)算器進(jìn)行批量計(jì)算，并可以任意加樁，得到所需要的特定點(diǎn)控制坐標(biāo)。而對(duì)于其中的常量，則可通過查閱相關(guān)圖表和進(jìn)行相關(guān)計(jì)算而得。相關(guān)圖表一般包括①路線平面設(shè)計(jì)圖②路線平面圖③互通立交線位圖④互通立交平面圖⑤支線平面布置圖⑥直線、曲線及轉(zhuǎn)角表⑦逐樁坐標(biāo)表。在直線、曲線及轉(zhuǎn)角表中，計(jì)算方位角即兩交點(diǎn)之間連線沿路線前進(jìn)方向的方位角也等同于道路中線中直線段或直曲（曲直）銜接點(diǎn)的方位角。對(duì)于第二緩和曲線，按１※３計(jì)算時(shí)，Ｏ點(diǎn)為第二緩和曲線終點(diǎn)，ΦO應(yīng)等于在終點(diǎn)方位角基礎(chǔ)上加上π，路線轉(zhuǎn)向與第一緩和曲線相反。此外，對(duì)于公路設(shè)計(jì)而言，一般都會(huì)進(jìn)行充分要素設(shè)計(jì)（打個(gè)比方，就是有ＡＢＣＤＥＦＧＨＩＪ十個(gè)要素，給定包含這十個(gè)要素的幾個(gè)方程組，只要知道其中的六個(gè)要素就可以解出剩下的四個(gè)要素，但設(shè)計(jì)會(huì)給出八個(gè)要素甚至十個(gè)要素全部給出），以便于進(jìn)行圖紙校核。因此要在計(jì)算前認(rèn)真查閱相關(guān)圖表，收集盡可能多的計(jì)算要素，理順其中的關(guān)系（本文中的幾個(gè)算法給出的公式已經(jīng)基本將我們所需要的關(guān)系方程羅列出來），再根據(jù)個(gè)人習(xí)慣進(jìn)行取舍后展開計(jì)算，最后利用其他要素進(jìn)行校核。以圓曲線起點(diǎn)坐標(biāo)來說，有的圖紙上直接提供，也可以利用交點(diǎn)坐標(biāo)通過１※１進(jìn)行計(jì)（驗(yàn)）算；在方法四中，計(jì)算要素Ｒ１、Ｒ２、Ａ、Φ１、Φ２、S只要知道其中的三個(gè)或者四個(gè)就可以完成計(jì)算，但通常取Ｒ１、Ａ、Φ１計(jì)算相對(duì)要簡(jiǎn)便一些。在使用以上算法算出逐（中）樁坐標(biāo)后要注意隨時(shí)與逐樁坐標(biāo)表進(jìn)行對(duì)照，防止因手工輸入或正符號(hào)搞錯(cuò)造成計(jì)算錯(cuò)誤。對(duì)于像互通立交、支線上跨等缺少逐樁坐標(biāo)表的線路設(shè)計(jì)也要充分利用各類相關(guān)圖紙中提供的平曲線主點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行校驗(yàn)。４、對(duì)于邊樁坐標(biāo)計(jì)算而言，只相當(dāng)于在已知對(duì)應(yīng)中樁坐標(biāo)的基礎(chǔ)上追加一次以對(duì)應(yīng)中樁為起點(diǎn)，邊樁為終點(diǎn)的直線型坐標(biāo)計(jì)算。該直線的方位角為中樁點(diǎn)的方位角±π／２（左轉(zhuǎn)為“－”，右轉(zhuǎn)為“＋”）。很顯然對(duì)于橋梁、結(jié)構(gòu)物的控制點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算也可參照此法。５、在設(shè)計(jì)圖表未給出路線左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)的情況下判斷路線轉(zhuǎn)向可利用此法：方位角逐漸增大的為右轉(zhuǎn)，逐漸減小的為左轉(zhuǎn)。注意特殊情況：３５０○－３６０○－