三角函數(shù)求最值的歸類研究

三角函數(shù)求最值的歸類研究何爽求函數(shù)的最大值與最小值是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考中的常見題型，本文對三角函數(shù)的求最值問題進(jìn)行歸類研究，供同學(xué)們借鑒。一、化成的形式例1.在直角三角形中，兩銳角為A和B，求的最大值。解：由，得，則當(dāng)時，有最大值。例2.求函數(shù)在上的最大值和最小值。解：由，得，得，則當(dāng)x=0時，；當(dāng)時，［點(diǎn)評］這類題目解決的思路是把問題化歸為的形式，一般而言，，但若附加了x的取值范圍，最好的方法是通過圖象加以解決。例2中，令，畫出在上的圖象（如圖1），圖1不難看出，即。應(yīng)注意此題容易把兩個邊界的函數(shù)值和誤認(rèn)為是最大值和最小值。二、形如的形式例3.求函數(shù)的最大值和最小值。解：由已知得，即，所以因，即解得，故［點(diǎn)評］上述利用正（余）弦函數(shù)的有界性，轉(zhuǎn)化為以函數(shù)y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法。雖然本題可以使用萬能公式，也可以利用圓的參數(shù)方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡單易行。有興趣的同學(xué)不妨試一試其他解法。三、形如的形式例4.求函數(shù)的最大值和最小值。解：由，得，，，即［點(diǎn)評］此題是利用了分離分母的方法求解的。若用例3的解法同樣可求，有興趣的同學(xué)不妨試一下，并作解法對比。四、形如的形式例5.求的最小值。解：設(shè)，則。從圖2中可以看到在區(qū)間上是減函數(shù)（也可以利用函數(shù)的單調(diào)性定義來證明這一結(jié)論）。當(dāng)時，［點(diǎn)評］若由，可得最小值是錯誤的。這是因為當(dāng)?shù)忍柍闪r，，即是不可能的。若把此題改為就可以用不等式法求解了，同學(xué)們不妨琢磨一下。五、利用與之間的關(guān)系例6.求函數(shù)的最大值和最小值。解：設(shè)，則，且。由于，故當(dāng)t=1時，；當(dāng)時，。［點(diǎn)評］這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯(lián)系。是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值。應(yīng)該注意的是求三角函數(shù)的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，這里不再贅述，有興趣的同學(xué)不妨自己探討一下。練一練：1.求函數(shù)的最大值和最小值。2.求函數(shù)的最大值和最小值。3.已知，求函數(shù)的最大值和最小值。答案：1.（提示：由）2.（提示：由）3.，（提示：令，則。，解得。于是，容易求解）年級高中學(xué)科數(shù)學(xué)版本期數(shù)內(nèi)容標(biāo)題三角函數(shù)求最值的歸類研究分類索引號分類索引描述