初中幾何輔助線大全2

初中幾何輔助線大全.初中幾何輔助線大全./初中幾何輔助線大全.三角形中作輔助線的常用方法舉例一、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：比方：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC解析：欲證AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但依照現(xiàn)有條件，均無法證全等，差角的相等，因此可想法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，E∵AD⊥ACBC⊥BD（已知）∴∠CAE＝∠DBE＝90°（垂直的定義）在△DBE與△CAE中ABE公共角)OE(∵DBE已證)BD已知)DCAC(圖71∴△DBE≌△CAE（AAS）ED＝ECEB＝EA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（當(dāng)條件不足時(shí)，可經(jīng)過增加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)立條件。）二、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)變?yōu)闉槿切蝸斫鉀Q。三、有和角均分線垂直的線段時(shí)，平時(shí)把這條線段延長(zhǎng)。比方：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E。求證：BD＝2CE解析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，F(xiàn)同時(shí)CE與∠ABC的均分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。AE證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。D∵BE⊥CF（已知）12BC圖91∴∠BEF＝∠BEC＝90°（垂直的定義）在△BEF與△BEC中，2(已知)BEBE(公共邊)BEFBEC(已證)1∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）2∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD與△ACF中∴△ABD≌△ACF（AAS）∴BD＝CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）∴BD＝2CE四、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。比方：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D求證：∠ABC＝∠DCB。解析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公義有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公義有△NBM≌△NCM，因此∠NBC＝∠NCB。問題得證。證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCNAN輔助線的作法)ANDDN(中∵A已知)D(AB已知)DC(∴△ABN≌△DCN（SAS）BMC圖111∴∠ABN＝∠DCNNB＝NC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）在△NBM與△NCM中NB＝NC(已證)BM＝CM(輔助線的作法)NM＝NM(公共邊)∴△NMB≌△NCM，(SSS)∴∠NBC＝∠NCB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN＝NCB＋∠DCN即∠ABC＝∠DCB。巧求三角形中線段的比值例1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。解：過點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G因此DG：FC＝BD：BC由于BD：DC＝1：3因此BD：BC＝1：4即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG由于DG：AF＝DE：AE又由于AE：ED＝2：3因此DG：AF＝3：2即因此AF：FC＝：4DG＝1：6例2.如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD解：過點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC＝AF：AC由于AF＝FC因此AF：AC＝1：2即EF：GC＝1：2，由于CG：DE＝BC：BD又由于BC＝CD因此BC：BD＝1：2CG：DE＝1：2即DE＝2GC由于FD＝ED－EF＝因此EF：FD＝小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感覺其中的巧妙！例3.如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。解：過點(diǎn)B作BG//AD，交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。因此DF：BG＝CD：CB由于BD：DC＝1：3因此CD：CB＝3：4即DF：BG＝3：4，由于AF：BG＝AE：EB又由于AE：EB＝2：3因此AF：BG＝2：3即因此AF：DF＝例4.如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。解：過點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G因此EF：DG＝AF：AD由于AF＝FD因此AF：AD＝1：2圖4即EF：DG＝1：2由于DG：CE＝BD：BC，又由于BD：CD＝1：3，因此BD：BC＝1：4即DG：CE＝1：4，CE＝4DG由于FC＝CE－EF＝因此EF：FC＝＝1：7練習(xí)：如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。答案：1、1：10；2.9：1二由角均分線想到的輔助線圖中有角均分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱今后關(guān)系現(xiàn)。角均分線平行線，等腰三角形來添。角均分線加垂線，三線合一試一試看。角均分線擁有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角均分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。關(guān)于有角均分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕蔷志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角均分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。平時(shí)情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其他情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于采用哪一種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角相關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等例1．如圖1-2，AB//CD，BE均分∠BCD，CE均分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。解析：此題中就涉及到角均分線，可以利用角均分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。例2．已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC解析：此題還是利用角均分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問題自已證明。A例3．已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD均分∠BAC，求證：AB-AC=CDCE解析：此題的條件中還有角的均分線，在證明A中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差D倍分B圖1-3問題。用到的是截取法來證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短E的線段，來證明。試一試看可否把短的延長(zhǎng)來證明呢？（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線等

CBD圖1-4構(gòu)全過角均分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角均分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。A例1．如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180?D解析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC

EF與∠B之和為平角。BC圖2-1例2．如圖2-2，在△ABC中，∠A=90?，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+ADA解析：過D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出D三角形，進(jìn)而得證。此題是證明線段的和差倍分問題，從用了相當(dāng)于截取的方法。BCE圖2-2

全等中利例3．已知如圖2-3，△ABC的角均分線BM、CN訂交P。求證：∠BAC的均分線也經(jīng)過點(diǎn)P。

于點(diǎn)A解析：連接AP，證AP均分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。NDM（三）：作角均分線的垂線構(gòu)造等腰三角形FBPC圖2-3從角的一邊上的一點(diǎn)作角均分線的垂線，使之與角的兩邊訂交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角均分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（若是題目中有垂直于角均分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊訂交）。例1．已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H1點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）2解析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。

是BC中ADCE例2．已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90?，AD為∠ABC的平BH分線，C圖示3-1E⊥BE.求證：BD=2CE。解析：給出了角均分線給出了邊上的一點(diǎn)作角均分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與別的一邊訂交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角均分線，過極點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F，連接FC并延長(zhǎng)交AE于M。A求證：AM=ME。M解析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角均分線，可得EABDEC⊥AF，進(jìn)而有BF//AE，因此想到利用比率線段證相等。

FN圖3-3例4．已知：如圖3-4，在△ABC中，AD均分∠BAC，1AD=AB，CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=（AB+AC）解析：題設(shè)中給出了角均分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，爾后只需證DM=1EC，別的由求證的結(jié)2果AM=1（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可試一試作△ACM2關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，爾后只需證DF=CF即可。

AEFBDnCM圖3-4三由線段和差想到的輔助線線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，爾后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，爾后證明新線段等于長(zhǎng)線段。關(guān)于證明相關(guān)線段和差的不等式，平時(shí)會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想方法放在一個(gè)三角形中證明。注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，平時(shí)將大角放在某三角形的外角地址上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角地址上，再利用不等式性質(zhì)證明。例1．如圖，AC均分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，ADABC。A=108°，BD均分求證：BC=AB+DC。A例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的均分線，DM⊥AB于M，且AMDC1EA=MB。求證：CD=2DB。BCBM1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別均分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。CDBDC如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CEEAB四由中點(diǎn)想到的輔助線三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。（一）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。證明：連接BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連接ME、MF，∵M(jìn)E是BCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，進(jìn)而∠BGE=∠CHE。（二）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線例3．圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，進(jìn)而BE=AC=3。在ABE中，因

22222AE+BE=4+3=25=AB，故∠E=90°，∴BD=

=

=

，故

BC=2BD=2

。例4．如圖

5，已知

ABC中，AD是∠BAC的均分線，

AD又是

BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，進(jìn)而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（三）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。Rt

證明：取ABC斜邊

AB的中點(diǎn)E，連接DE、CE，則DE、CE分別AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠

為RtDCE。

ABD，∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ADE和

BCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴

AD=BC，進(jìn)而梯形

ABCD是等腰梯形，因此

AC=BD。（四）、角均分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD均分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，進(jìn)而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ABD和ACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線。（五）中線延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。題目中若是出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連接，即可獲取全等三角形。1如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。A3如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。．已知：如圖，求證：AA5BF=ACDAD為△ABC的中線，AE=EFBECEDC五全等三角形輔助線BFMEDDBDCDD（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.A2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.A3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD均分∠BAEC.BDE中考應(yīng)用F例題：以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtACE，ABD和等腰RtBADCAEBDC90,連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．研究：AM與DE的地址關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．（）如圖①當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)，AM與DE的地址關(guān)系是，1線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖①中的等腰RtABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問中獲取的兩個(gè)結(jié)論可否發(fā)生改變？并說明原由．（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，ABC中，AB=2AC，AD均分BAC，且AD=BD，求證：CD⊥AC2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別均分∠CAB,∠DBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD0AD3：如圖，已知在VABC內(nèi)，BACC40060，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是BAC，ABC的角平

AE分線。求證：BQ+AQ=AB+BPB4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BQBD均分CPABC，求證：AC1800AD5C（三）、借助角均分線造全等CB1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角均分線AD,CE訂交于點(diǎn)O，求證：OE=ODA2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說明BE=CF的原由；E（2）若是AB=a，ACO=b，求AE、BE的長(zhǎng).A如圖①，OP是∠MON的均分線，請(qǐng)你利畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。等三角形的方法，解答以下問題：（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，分別是∠BAC、∠BCA的均分線，AD、CE訂交并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

BC用該圖形DE請(qǐng)你參照這個(gè)作全GCBFD∠B=60°，AD、CE于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷（2）如圖③，在△ABC中，若是∠ACB不是直角，而(1)中的其他條件不變，請(qǐng)問，你在(1)中所得結(jié)論可否依舊成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明原由。BMBEEFDOPFDNACAC圖①圖②圖③(第23題圖)（四）、旋轉(zhuǎn)1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).AD2：D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,D于點(diǎn)E,F。（1）當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。

M,DN分別交BC,CAFBBEC（2）若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，BDC是A等腰三角形，且EBDC12000MCA邊分別交A60角，使其兩FB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則AMN的周長(zhǎng)為；N4．已知四邊形ABCD中，ABAD，BCCD，ABBC∠ABC120o∠MBN60o，，，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)（如圖1），易證AECFEF．當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論可否成立？若成立，請(qǐng)恩賜證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．5.已知:PA=2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);當(dāng)∠APB變化,且其他條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為VABC外一點(diǎn)，且（圖1）（圖2）（圖3）MDN60,BDC120,BD=DC.研究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上搬動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AMN的周長(zhǎng)Q與等邊ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1圖2圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)Q；LII）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；III）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=x，則Q=（用x、L表示）．梯形中的輔助線1、平移一腰：例1.以下列圖，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝1求CD的長(zhǎng).解：過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，因此四邊形BCDE是平行四邊形.因此DE＝BC＝17，CD＝BE.

DCABDC在Rt△DAE中，由勾股定理，得222222＝64.AE＝DE－AD，即AE＝17－15因此AE＝8.

ABE因此BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。解：過點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，因此BC的取值范圍是：5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。2、平移兩腰：例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。解：過點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°則△EGH是直角三角形由于E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，簡(jiǎn)單證得F是GH的中點(diǎn)因此EF1GH1(BCBGCH)223、平移對(duì)角線：例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．∵AD∥BC∴四邊形ACED是平行四邊形AD∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5∴∠BDE=90°．BDED12作DH⊥BC于H，則DHBE5

BHCE(ADBC)DH512．5S梯形ABCD262例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=52，求證：AC⊥BD。解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，52，則DE=BC，CE=BD=因此AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。52，在等腰梯形ABCD中，AC=BD=因此在△ACE中，AC2CE2(52)2(52)2100AE2，進(jìn)而AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，即SABDSACDSDCE。因此S梯形ABCDSDBE由勾股定理得EHDE2DH2AC2DH21521229（cm）BHBD2DH220212216（cm）SDBE1BEDH1(916)12150(cm2)因此222，即梯形ABCD的面積是150cm。（二）、延長(zhǎng)即延長(zhǎng)兩腰訂交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?。?如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。因此∠E=50°，進(jìn)而BC=EC=5同理可得AD=ED=2因此CD=EC－ED=5－2=3例8.以下列圖，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.DC解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC訂交于點(diǎn)E，以下列圖.AB∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.E∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.DC而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.AB又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對(duì)角線即經(jīng)過作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切?。?如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。解：連接BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。因此∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，因此Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。證：過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，因此DC=BG。由于AB=2DC，因此AG=GB。進(jìn)而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。又EF//AB，因此四邊形ABFE是等腰梯形。ADD2、作兩條高例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD的面積．BEDFDC解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm∵AB=DC∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm∴AB=2BE=2cm，AE3BE3cmS梯形ABCD(ADBC)AE43cm2∴2（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。1證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，進(jìn)而OE=（AB＋CD）2①在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE因此OE1AD②2由①、②得AB＋CD=AD。2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一極點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿切沃形痪€。例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF//AD；（2）EF1(BCAD)。2證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG則AD=CG，DF=GF由于DE=BE，因此EF是△BDG的中位線進(jìn)而EF//BG，且EF1BG2由于AD//BG，BGBCCGBCAD因此EF//AD，EF1(BCAD)23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。0例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分別延長(zhǎng)AE與BC，并交于F點(diǎn)0∵∠BAD=90且AD∥BC00∴∠FBA=180－∠BAD=90又∵AD∥BC∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)∠AED=∠FEC（對(duì)頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）∴△ADE≌△FCE（AAS）AE=FE0在△ABF中∠FBA=90且AE=FEBE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）在△FEB中∠EBF=∠FEB∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點(diǎn)，試問：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？解：AE=BE，原由以下：延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F∴△ADE≌△FCE∴AE=EF∵AB⊥BC，∴BE=AE．例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．解：如圖，過E點(diǎn)作MN∥AB，分別交AD的點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)．∵DE=EC，AD∥BC

ADEBCFADMFEC中點(diǎn)，EF⊥ABNC延長(zhǎng)線于M∴△DEM≌△CNE四邊形ABNM是平行四邊形∵EF⊥AB，2∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm．【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）以下列圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）A.19

B.20

C.2