數(shù)學(xué)微積分0函數(shù)

說在前面的話微積分理論集合論與悖論2023/4/5gcfeng@悖論定義“悖論”這個(gè)詞的意義比較豐富，它包括一切與人們直覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論。那些結(jié)論會(huì)使我們驚訝無比。悖論主要有三種形式：1、一種論斷看起來好象肯定錯(cuò)了，實(shí)際上卻是對的（佯謬）；2、一種論斷看起來好象肯定對了，實(shí)際卻錯(cuò)了（似是而非）；3、一系列理論看起來好象無懈可擊，卻導(dǎo)致邏輯上自相矛盾。2023/4/5gcfeng@各種各樣的悖論說謊者悖論我們陷入了著名的說謊者悖論之中。下面是它的最簡單的形式。

這句話是錯(cuò)的上面這個(gè)句子對嗎?如果是對的，這句話就是錯(cuò)的！如果這句話是錯(cuò)的，那這個(gè)句子就對了！像這樣矛盾的說法比你所能想到的還要普遍得多。2023/4/5gcfeng@理發(fā)師悖論著名的理發(fā)師悖論是伯特納德·羅素提出的。一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著：告示:

城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。誰給這位理發(fā)師刮臉呢？如果他自己刮臉，那他就屬于自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說明他不給這類人刮臉，因此他不能自己來刮。2023/4/5gcfeng@理發(fā)師悖論如果另外一個(gè)人來給他刮臉，那他就是不自己刮臉的人。但是，他的招牌說他要給所有這類人刮臉。因此其他任何人也不能給他刮臉?？磥恚瑳]有任何人能給這位理發(fā)師刮臉了！伯特納德·羅素提出這個(gè)悖論，為的是把他發(fā)現(xiàn)的關(guān)于集合的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來。某些集合看起來是它自己的元素。例如，所有不是蘋果的東西的集合、它本身就不是蘋果，所以它必然是此集合自身的元素。現(xiàn)在來考慮一個(gè)由一切不是它本身的元案的集合組成的集合。這個(gè)集合是它本身的元素嗎？無論你作何回答，你都自相矛盾。2023/4/5gcfeng@帕特先生沿著一條小路向山頂進(jìn)發(fā)。他早晨七點(diǎn)動(dòng)身，當(dāng)晚七點(diǎn)到達(dá)山頂。他在山頂做了一夜的考察工作，第二天早晨七點(diǎn)沿同一條小路下山。那天晚上七點(diǎn)鐘，他到達(dá)山腳。在那里，他遇到了他的拓?fù)鋵W(xué)老師克萊因夫人。克萊因：帕特！你可曾知道你今天下山時(shí)走過這樣一個(gè)地點(diǎn)，你通過這點(diǎn)的時(shí)刻恰好與你昨天上山時(shí)通過這點(diǎn)的時(shí)刻完全相同？帕特：您一定是在開我的玩笑！這絕對不可能。我走路時(shí)快時(shí)慢，有時(shí)還停下來吃飯和休息。盡管這樣，克萊因夫人還是對的。不可逃遁的點(diǎn)2023/4/5gcfeng@π的排列無規(guī)則，可是讓我們看從第710154個(gè)數(shù)以下的數(shù)字是怎樣排列的：一連串排有7個(gè)3。π的數(shù)字從它是隨機(jī)產(chǎn)生的這一點(diǎn)來講，它不是沒有規(guī)律的，可是從它的數(shù)字排列規(guī)律是“無章可循”這一點(diǎn)來講，又是沒有規(guī)律的。數(shù)學(xué)家對π的小數(shù)位不斷增加作了很多試驗(yàn)，看是有什么“規(guī)律性”，可是毫無結(jié)果。π的小數(shù)位數(shù)字就像一個(gè)旋轉(zhuǎn)圓盤可以旋到0至9任何一個(gè)數(shù)字那樣毫無規(guī)律。圓周率π中的數(shù)字結(jié)構(gòu)2023/4/5gcfeng@時(shí)間機(jī)器布朗教授剛剛返回到了30年前，他正注視著還是嬰兒的自己。布朗：假定我把這嬰兒殺死，那他不會(huì)有長大起來而變成布朗教授！我會(huì)突然消失嗎？現(xiàn)在布朗教授又跑到未來30年后。他正在他實(shí)驗(yàn)室外的橡樹上刻他的名字。教授又回到離去的那個(gè)時(shí)間。幾年以后，他決定砍掉他那顆橡樹。他砍完以后，一下變得困窘起來。布朗：呣……三年前，我曾漫游未來的30年后，并在這顆樹上刻下了我的名字。27年以后，當(dāng)我到了我過去曾經(jīng)到過的地方時(shí)，將會(huì)出現(xiàn)什么情景呢？什么樹也沒有了。我要把名字刻在其上的樹從哪兒來呢？2023/4/5gcfeng@神秘的悖論悖論是屬于領(lǐng)域廣闊、定義嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支的一個(gè)組成部分，這一分支以“趣味數(shù)學(xué)”知名于世。這就是說它帶有強(qiáng)烈的游戲色彩。然而，切莫以為大數(shù)學(xué)家都看不起“趣味數(shù)學(xué)”問題。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。萊布尼茨也寫到過他在獨(dú)自玩插棍游戲（一種在小方格中插小木條的游戲）時(shí)分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。馮·諾易曼奠基了博弈論。最受大眾歡迎的計(jì)算機(jī)游戲—生命是英國著名數(shù)學(xué)家康威發(fā)明的。愛因斯坦也收藏了整整一書架關(guān)于數(shù)學(xué)游戲和數(shù)學(xué)謎的書。2023/4/5gcfeng@什么是悖論？籠統(tǒng)地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結(jié)果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現(xiàn)為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴(yán)格性被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要特點(diǎn)，因此如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論會(huì)造成對數(shù)學(xué)可靠性的懷疑。如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會(huì)更為強(qiáng)烈，由此導(dǎo)致的懷疑還會(huì)引發(fā)人們認(rèn)識(shí)上的普遍危機(jī)感。在這種情況下，悖論往往會(huì)直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機(jī)”的產(chǎn)生。按照西方習(xí)慣的說法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上迄今為止出現(xiàn)了三次這樣的數(shù)學(xué)危機(jī)。神秘的悖論2023/4/5gcfeng@希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是人類最早認(rèn)識(shí)到的平面幾何定理之一。在我國.最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識(shí)。2023/4/5gcfeng@不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時(shí)期的趙爽才用面積割補(bǔ)給出它的第一種證明。在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”。神奇的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派2023/4/5gcfeng@畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派2023/4/5gcfeng@Pythagoras畢達(dá)哥拉斯Pythagoras（約-569～？），生于Samos島，卒于意大利。畢氏學(xué)派的創(chuàng)始人。由于他「萬物皆數(shù)」的信念，為希臘數(shù)學(xué)的昌盛奠下基本的思想質(zhì)素。Pythagoras生于愛琴海東岸靠近安那托利亞半島的Samos島，母親是本島人，父親則是來自于地中海東岸Tyre的商人。Pythagoras一生的事跡由于歷史久遠(yuǎn)，近于傳奇，在事件的年代考證差別頗大，不過若不計(jì)較確定的時(shí)間，2023/4/5gcfeng@Pythagoras畢達(dá)哥拉斯2023/4/5gcfeng@Pythagoras畢達(dá)哥拉斯2023/4/5gcfeng@Pythagoras畢達(dá)哥拉斯2023/4/5gcfeng@Pythagoras畢達(dá)哥拉斯2023/4/5gcfeng@Pythagoras的一生青年時(shí)期的Pythagoras隨商人父親四處游歷，到過敘利亞游學(xué)，也到過意大利。他的教育良好，有三個(gè)影響他很大的老師：Pherekydes、Thales、Anaximander，后者尤其在數(shù)學(xué)、幾何、天文上對他多有啟發(fā)。卅歲后，Pythagoras到埃及待了約十年，他四處拜訪神廟僧侶，研究宗教儀式，許多埃及宗教的特色與戒律，后來在畢氏學(xué)派的生活里都可以看得出來。后來波斯入侵埃及，Pythagoras被俘，送往巴比倫，他在這里學(xué)習(xí)了算術(shù)、音樂與其它數(shù)學(xué)。2023/4/5gcfeng@Pythagoras的一生五十歲左右，Pythagoras回到Samos島，在短暫地到Crete島學(xué)習(xí)法律，并在Samos島建立一個(gè)短命學(xué)派后，他在兩年之后到意大利南邊的Croton建立了影響重大的畢氏學(xué)派，這是一個(gè)哲學(xué)宗教團(tuán)體，以數(shù)學(xué)的秘密知識(shí)為中心。它的核心圈稱為mathematikoi，有點(diǎn)像今日所謂的僧團(tuán)，必須放棄財(cái)產(chǎn)、持戒、素食，另外還有像是居士的外圍團(tuán)體。而教主就是Pythagoras。2023/4/5gcfeng@Pythagoras學(xué)派的信念

宗派弟兄必須絕對的忠實(shí)與守密。實(shí)在最深刻的本性是數(shù)學(xué)。哲學(xué)可以使精神純凈。靈魂可以與上天契合。符號(hào)有神秘的力量。2023/4/5gcfeng@畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)sqrt(2)的誕生。小小sqrt(2)的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派2023/4/5gcfeng@這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的sqrt(2)的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就直接導(dǎo)致人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)2023/4/5gcfeng@第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機(jī)。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的。或者說無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號(hào)，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。2023/4/5gcfeng@直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立：一方面使人類對數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決2023/4/5gcfeng@第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運(yùn)用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)2023/4/5gcfeng@從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。貝克萊指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說x2的導(dǎo)數(shù)，先將x取一個(gè)不為0的增量Δx，由(x+Δx)2-x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx;最后突然令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)為2x。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說是零，一會(huì)兒又說不是零。數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。貝克萊悖論2023/4/5gcfeng@第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個(gè)矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。柯西開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)。這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”。后來，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”方法。2023/4/5gcfeng@1892年，一些數(shù)學(xué)家又利用“閉區(qū)間套原理”來建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決2023/4/5gcfeng@羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。好景不長，1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的爆發(fā)了。2023/4/5gcfeng@Cantor、康托（1845～1918）康托生于圣彼得堡，卒于德國Halle。是數(shù)學(xué)史上最被誤解，而又最具革命性的思想家之一?？低?862年就讀于蘇黎士，先后受教于Weierstrass、Kummer及Kronecker。1867年以一篇數(shù)論問題的論文，從柏林大學(xué)獲得博士學(xué)位。他因?yàn)閷σ话銛?shù)學(xué)的正確性產(chǎn)生質(zhì)疑，因而受到數(shù)學(xué)界的排擠。特別是有Kronecker作敵人，所以只能到第二流的小學(xué)校當(dāng)教授，直到退休。2023/4/5gcfeng@Cantor、康托（1845～1918）由于受到Weierstrass在分析方面的影響，使得康托注意到實(shí)數(shù)在線點(diǎn)集的本質(zhì)。1874年他在《Crelle雜志》上發(fā)表了集合論的第一篇文章。后來由于比較無窮集合的大小而產(chǎn)生了超限數(shù)的概念，使集合論變成數(shù)學(xué)的一支。在他之前，所有的無窮都被視為一樣，但康托證明它們是不同的。1632年伽利略在他的對話錄中說：”數(shù)與平方數(shù)一樣多，因?yàn)槊總€(gè)數(shù)都有平方根?！八麊?，自然數(shù)及平方數(shù)那一比較多。2023/4/5gcfeng@Cantor、康托（1845～1918）康托給”一樣多“一個(gè)精確的意義，他說：

兩集合等價(jià)，如果它們的元素間存在一一對應(yīng)。現(xiàn)在我們可以定義有限集合與無限集合如下：

一個(gè)集合如果它是空集，或者存在一個(gè)自然數(shù)，使得此集合等價(jià)于，則此集合為有限集，否則它是無限集?？低械臒o限的概念，激起了許多人的反對，包括Kronecker及Gauss等人。Kronecker說：”上帝創(chuàng)造自然數(shù)，其余的都是人造的“。Kronecker對數(shù)學(xué)存在性的嚴(yán)厲要求大大地傷害了康托。2023/4/5gcfeng@羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對于一個(gè)給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生2023/4/5gcfeng@危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。

——“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這