相交線與垂線精講精練全

d相交線，垂線(提高)知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角點(diǎn)；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長(zhǎng)線.(1)定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．(2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等．能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：特特征①兩條直線相交②有一個(gè)公共頂③沒(méi)有公共邊.①兩條直線相交②有一個(gè)公共頂③有一條公共邊.相同點(diǎn)①都是兩條直線相②都有一個(gè)公共頂性質(zhì)對(duì)頂角相等.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).不同點(diǎn)②兩直線相交角的名稱對(duì)頂角鄰補(bǔ)角【高清課堂：相交線403101兩條直線垂直】知識(shí)點(diǎn)二、垂線條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．d(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線．直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．(1)在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．(2)性質(zhì)(2)是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：(1)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；(2)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角條直線。d【答案與解析】AOMBODBON∵∠AON+∠BON=180°(鄰補(bǔ)角定義)，∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°(等量代換)，∴OM和ON共線?！敬鸢概c解析】∠1＝x，則∠2＝4x．1又∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠COE＝75°．22一5【答案】2525d2如果a=32，那么a=80，不滿足90a180；52如果a=87，那么a=217.5，不滿足90a180；52如果a=58，那么a=145，滿足90a180，5所以此人計(jì)算的答案正確．所以a=145．【總結(jié)升華】在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題中的誤選答案問(wèn)題時(shí)，常采用驗(yàn)算法，如本題的解法2：先利用假設(shè)求出應(yīng)的α的度數(shù)，再驗(yàn)證是否正確．3.(1)如圖(1)，已知直線a、b相交于點(diǎn)O，則(1)圖中共有幾對(duì)對(duì)頂角?幾對(duì)鄰補(bǔ)角？【答案與解析】(2)將圖(2)拆分為下圖：通過(guò)觀察圖形．不難發(fā)現(xiàn)a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)，而由(1)知：每個(gè)交點(diǎn)四對(duì)鄰補(bǔ)角，移動(dòng)，將直線相交于一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交．這樣移動(dòng)，可將抽象的問(wèn)題直觀化．因?yàn)閚條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂2舉一反三：【變式】若有180條直線相交于一點(diǎn)，則可形成________對(duì)對(duì)頂角(不含平角)．類型二、垂線4．下列語(yǔ)句：②一條直線的垂線有無(wú)數(shù)條。③空間內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；d④兩條直線相交成四個(gè)角，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩條直線垂直。其中正確的是__________?！窘馕觥拷獯祟}必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，即過(guò)直線上或直線外任意一點(diǎn)，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來(lái)作判斷。①正確；②正確，過(guò)任意一點(diǎn)都可以作；對(duì)于③只有在“同一平面內(nèi)”才成立，因?yàn)榭臻g內(nèi)，當(dāng)這點(diǎn)在直線上時(shí)，過(guò)這點(diǎn)并非只有一條直線與已知直線垂直，故③錯(cuò)誤；④錯(cuò)誤，必須是兩個(gè)鄰角相等，如下①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個(gè)角中，是否有一個(gè)角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過(guò)任意一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說(shuō)明了已知直線可能在這條已知直線外。舉一反三：A．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線B兩點(diǎn)之問(wèn)的所有連線中，線段最短CD．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)與垂線性質(zhì)【答案與解析】∴∠BOF＝∠DOE＝90°(垂直定義)∴∠BOD＝∠BOF－∠DOF＝90°－65°＝25°∴∠BOE＝∠DOE－∠BOD＝90°－25°＝65°?！唷螦OC＝∠AOB－∠BOE－∠COE＝180°－65°－90°＝25°?！究偨Y(jié)升華】利用垂直的定義，及同一條直線上的三點(diǎn)組成一個(gè)平角可以幫助我們求解圖中某些角的大【高清課堂：相交線403101例4變式(1)】舉一反三：d【答案】又∵OM⊥ON∴∠3=90°－∠2由圖可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2－(90°－∠2)=90°－∠2上距離村莊N越來(lái)越近，而離村莊M越來(lái)越遠(yuǎn)?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必說(shuō)明)【答案與解析】QM．舉一反三：【答案】解：如圖所示dP到直線l的距離是()相交線，垂線(提高)鞏固練習(xí)一、選擇題A．∠AOF與∠DOE2．下列說(shuō)法正確的有()1與∠2是對(duì)頂角，所以∠1＝∠2；∠1與∠2是鄰補(bǔ)角，所以∠1＝∠2；③因?yàn)椤?和∠2不是對(duì)頂角，所以∠1≠∠2；④因?yàn)椤?和∠2不是鄰補(bǔ)角，所以∠1+∠2≠180°．d②連結(jié)直線外的點(diǎn)和直線上的點(diǎn)的線段叫做點(diǎn)到直線的距離；③以直線外一點(diǎn)所引的這條直線的垂線叫做點(diǎn)到直線的距離；④直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段叫做這點(diǎn)到直線的距離．其中正確命題的個(gè)數(shù)()二、填空題9．如圖，請(qǐng)你在表盤(pán)上畫(huà)出時(shí)針與分針，使時(shí)針與分針恰好互相垂直．(1)時(shí)針和分針互相垂直的整點(diǎn)時(shí)刻分別為；d關(guān)系是否改變?請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案與解析】一、選擇題【解析】只有①正確?！窘馕觥颗c∠EOF相等的角還有：∠BOC，∠AOD．7．【答案】∠1＞∠3＞∠2d分針每超過(guò)時(shí)針一圈，前后各有一次垂直，所以一天24小時(shí)中分針與時(shí)針垂直的次數(shù)是：(24-2)×2=22×2=44(次)．10．【答案】在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直(1001)【解析】100條直線兩兩相交，最多有=4950個(gè)交點(diǎn)．每個(gè)交點(diǎn)處有兩組對(duì)頂角，42對(duì)鄰補(bǔ)角，故100條直線相交于一點(diǎn)共有4950×2＝9900(對(duì))對(duì)頂角，三、解答題∠GOC＝∠GOF＝=45°4x，2∠DOH＝(180°－∠COG)×＝=．222∵∠AOC:∠DOH＝8:29，所以∠DOH＝29x，即=1∴∠COD＝∠AOC，∠COE＝∠COB．2211DOEAOCCOB0°，2的斜線段，根據(jù)垂線段最短可知，PO＜PM，但它仍不是最佳方案，最經(jīng)濟(jì)的方案應(yīng)為沿如圖所示的線相交線，垂線(基礎(chǔ))知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】鄰補(bǔ)角鄰補(bǔ)角互補(bǔ).鄰補(bǔ)角鄰補(bǔ)角互補(bǔ).d1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角．(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：①有公共頂點(diǎn)；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.(1)定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．(2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等．能產(chǎn)生對(duì)頂角．(2)對(duì)頂角滿足的條件：①相等的兩個(gè)角；②有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比：角的名稱對(duì)頂角特征①兩條直線相交角的名稱對(duì)頂角特征①兩條直線相交②有一個(gè)公共頂③沒(méi)有公共邊.性質(zhì)對(duì)頂角相等.相同點(diǎn)①都是兩條直線相②都有一個(gè)公共頂②兩直線相交①兩條直線相交②有一個(gè)公共頂③有一條公共邊.【高清課堂：相交線403101兩條直線垂直】要點(diǎn)二、垂線條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足．d(2)垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．(1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線．(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段．(1)在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．(2)連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．(2)性質(zhì)(2)是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．”實(shí)際上，連接直線外一即垂線段最短．在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題．4．點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離．(2)點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；(2)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度．【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角【答案與解析】d(1)如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒(méi)有公共邊，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.()(2)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.()(3)有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.()(4)如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ).()(5)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.()【答案與解析】∠2與∠4是對(duì)頂角出l:2，求∠1與∠2的度數(shù)．【答案】3.任意畫(huà)兩條相交的直線，在形成的四個(gè)角中，兩兩相配共能組成幾對(duì)角?各對(duì)角存在怎樣的位置【答案與解析】d任意兩條相交直線，兩兩相配共組成6對(duì)角，在這6對(duì)角中，它們的位置關(guān)系有兩種：①有公共頂一邊重合，另一邊互為反向延長(zhǎng)線；②有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線．角類型二、垂線4．下列語(yǔ)句中，正確的有()②在同一平面內(nèi)，過(guò)直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直；④互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角一定都是直角．【總結(jié)升華】圖形的定義既可以作為判定圖形的依據(jù)，也可以作為該圖形具備的性質(zhì).【高清課堂：相交線403101經(jīng)典例題3】d則∠EOF=_______.【答案與解析】所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短．【變式】(1)用三角尺或量角器畫(huà)已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條?(2)經(jīng)過(guò)直線l上一點(diǎn)A畫(huà)l的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條?(3)經(jīng)過(guò)直線l外一點(diǎn)B畫(huà)l的垂線，這樣的垂線能畫(huà)出幾條?【答案】相交線，垂線(基礎(chǔ))鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】1．如圖所示，∠1和∠2是對(duì)頂角的圖形共有()d5．在平面上，過(guò)直線上一點(diǎn)可以畫(huà)這條直線的垂線的條數(shù)為()ABCDOEFO＝26°，則∠2的度數(shù)是()二、