初中圓題型總結(jié)

縱觀近幾年全國各地中考題，圓的相關(guān)看法以及性質(zhì)等一般以填空題，選擇題的形式觀察并占有必然的分值；一般在10分－15分左右，圓的相關(guān)性質(zhì)，如垂徑定理，圓周角，切線的判斷與性質(zhì)等綜合性問題的運用一般以計算證明的形式觀察；利用圓的知識與其他知識點如代數(shù)函數(shù)，方程等相結(jié)合作為中考壓軸題將會占有特別重要的地位，別的與圓相關(guān)的實質(zhì)應用題，閱讀理解題，研究存在性問題仍是熱門考題，應引起注意.下面究近來幾年來圓的相關(guān)熱門題型，舉例解析以下。一、圓的性質(zhì)及重要定理的觀察基礎(chǔ)知識鏈接：（1）垂徑定理；（2）同圓或等圓中的圓心角、弦、弧之間的關(guān)系.(3)圓周角定理及推論（4）圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)【例1】（江蘇鎮(zhèn)江）如圖，為⊙O直徑，為弦，且，垂足為．（1）的均分線交⊙O于，連接．求證：為弧ADB的中點；（2）若是⊙O的半徑為，，①求到弦的距離；②填空：此時圓周上存在個點到直線的距離為．【解析】（1），又，．．又，．為弧ADB的中點．（2）①，為⊙O的直徑，，．又，．，．作于，則．②3.

CABOHDE【談論】本題綜合觀察了利用垂徑定理和勾股定理及銳角三角函數(shù)求解問題的能力.運用垂徑定理時，需增加輔助線構(gòu)造與定理相關(guān)的“基本圖形”.幾何上把圓心到弦的距離叫做弦心距,本題的弦心距就是指線段OD的長.在圓中解相關(guān)弦心距半徑相關(guān)問題時,常常增加的輔助線是連半徑或作出弦心距,把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來解題.如圖,⊙O的半徑為,弦心距為,弦長之間的關(guān)系為.依照此公式,在、、三個量中,知道任何兩個量就可以求出第三個量.平時在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)并運用這個基本圖形.【例2】（安徽蕪湖）如圖，已知點E是圓O上的點，B、C分別是劣弧的三均分點，，則的度數(shù)為．【解析】由B、C分別是劣弧的三均分點知，圓心角∠AOB=∠BOC=∠COD,又，因此∠AOD=138o.依照同弧所對的圓周角等于圓心角的一半。進而有＝69o.談論本題依照同圓或等圓中的圓心角、圓周角的關(guān)系?！炯訌娋毩暋?】.如圖，⊙O是ABC的外接圓，BAC60，AD，CE分別是BC，AB上的高，且AD，CE交于點H，求證：AH=AO1(1)如圖，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足為E，求證：OE=CD2(2)如圖，AC，BD是⊙O的兩條弦，且ACBD，⊙O的半徑為122，求AB＋CD的值。22】（第25題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點E，連接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）過點O作OF⊥AC于點F，延長FO交BE于點G，DE=3，EG=2，求AB的長．二、直線與圓的地址關(guān)系基礎(chǔ)知識鏈接：1、直線與圓的地址關(guān)系有三種:⑴若是一條直線與一個圓沒有公共點,那么就說這條直線與這個圓相離.⑵若是一條直線與一個圓只有一個公共點,那么就說這條直線與這個圓相切,此時這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做切點.⑶若是一條直線與一個圓有兩個公共點,那么就說這條直線與這個圓訂交,此時這條直線叫做圓的割線,這兩個公共點叫做交點.2、直線與圓的地址關(guān)系的判斷；3、弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對的圓周角；和圓相關(guān)的比率線段（1）訂交弦定理圓內(nèi)的兩條訂交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；2）推論若是弦與直徑垂直訂交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比率中項；3）切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比率中項；4）推論從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。三角形的內(nèi)切圓1）相關(guān)看法：三角形的內(nèi)切圓、三角形的內(nèi)心、圓的外切三角形、多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形；6、圓的切線的性質(zhì)與判斷。【例1】（甘肅蘭州）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，求的長．【解析】（1）證明：連接，均分，．

O，是⊙O的直徑，，垂足為，均分．AEDOBC．．．，．．是⊙O的切線．（2）是直徑，．，．均分，．．在中，．在中，．的長是1cm，的長是4cm．【談論】證明圓的切線，過切點的這條半徑為必作輔助線垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

AEDOBC.即經(jīng)過半徑的外端且【例2】（廣東茂名）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC，點D在弧BC上運動，過點D作DE∥BC，DE交AB的延長線于點E，連接AD、BD．（1）求證：∠ADB=∠E；（2）當點D運動到什么地址時，DE是⊙O的切線？請說明原由．（3）當AB=5，BC=6時，求⊙O的半徑．（4分）【解析】（1）在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∴∠E=∠C．又∵∠ADB=∠C，∴∠ADB=∠E．（2）當點D是弧BC的中點時，DE是⊙O的切線．原由是：當點D是弧BC的中點時，則有AD⊥BC，且AD過圓心O．又∵DE∥BC，∴AD⊥ED．∴DE是⊙O的切線．（3）連接BO、AO，并延長AO交BC于點F，則AF⊥BC，且BF=BC=3．又∵AB=5，∴AF=4．設(shè)⊙O的半徑為，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，＝3＋（4－）解得＝，∴⊙O的半徑是．【談論】本題綜合運用了等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線判斷，解題最重點是抓住題中所給的已知條件，構(gòu)造直角三角形，研究出不同樣的結(jié)論.【例4】已知：如圖7，點P是半圓O的直徑BA延長線上的點，PC切半圓于C點，CD⊥AB于D點，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的長。圖7證明：連接CB∵PC切半圓O于C點，∴∠PCA＝∠B∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB∴AC：BC＝PA：PC∴∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB∴∴AB＝AD＋DB＝5∵∴【例5】已知：如圖8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的均分線交BC于點D，E為AB上的一點，DE＝DC，以D為圓心，DB長為半徑作⊙D。求證：（1）AC是⊙D的切線；（2）AB＋EB＝AC解析：（1）欲證AC與⊙D相切，只要證圓心D到AC的距離等于⊙D的半徑BD。因此要作DF⊥AC于F2）只要證AC＝AF＋FC＝AB＋EB，證明的重點是證BE＝FC，這又轉(zhuǎn)變成證△EBD≌△CFD。證明：（1）如圖8，過D作DF⊥AC，F(xiàn)為垂足∵AD是∠BAC的均分線，DB⊥AB，∴DB＝DF∴點D到AC的距離等于圓D的半徑∴AC是⊙D的切線（2）∵AB⊥BD，⊙D的半徑等于BD，∴AB是⊙D的切線，∴AB＝AF∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小結(jié)：相關(guān)切線的判斷，主要有兩個種類，若要判斷的直線與已知圓有公共點，可采用“連半徑證垂直”的方法；若要判斷的直線與已知圓的公共點沒有給出，可采用“過圓心作垂線，證垂線段等于半徑”的方法。此例題屬于后一類【例6】已知：如圖9，AB為⊙O的弦，P為BA延長線上一點，PE與⊙O相切于點E，C為中點，連CE交AB于點F。求證：解析：由已知可得22＝PA·PB，只要證PE＝PF。PE＝PA·PB，因此要證PF即證∠PFE＝∠PEF。證明一：如圖9，作直徑CD，交AB于點G，連接ED，∴∠CED＝90°∵點C為的中點，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D∵PE為⊙O切線，E為切點∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF22＝PA·PB∵PE＝PA·PB，∴PF證明二：如圖9－1，連接AC、AE圖9－1∵點C是的中點，∴，∴∠CAB＝∠AEC∵PE切⊙O于點E，∴∠PEA＝∠C∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF22＝PA·PB∵PE＝PA·PB，∴PF【例7】（1）如圖10，已知直線AB過圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線l交⊙O于C、D，交BA延長線于E，且與AF垂直，垂足為G，連接AC、AD圖10圖10－1求證：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF（2）在問題（1）中，當直線l向上平行搬動，與⊙O相切時，其他條件不變。①請你在圖10－1中畫出變化后的圖形，并比較圖10標志字母；②問題（1）中的兩個結(jié)論可否成立？若是成立，請給出證明；若是不成立，請說明原由。證明：（1）①連接BD∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°∴∠AGC＝∠ADB＝90°又∵ACDB是⊙O內(nèi)接四邊形∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG②連接CF∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB∴∠DAE＝∠FAC又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC∴，∴AC·AD＝AE·AF（2）①見圖10－1②兩個結(jié)論都成立，證明以下：①連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∴∠ACB＝∠AGC＝90°∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）②連接CF∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴2∴AC＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）說明：本題經(jīng)過變化圖形的地址，觀察了學生著手畫圖的能力，并經(jīng)過研究式的提問加強了對學生證明題的觀察，這是當前熱門的考題，希望引起大家的關(guān)注?！炯訌娋毩暋俊?】（第22題）如圖，⊙的直徑為10，弦為5，、E分別是∠的均分線OABcmBCcmDACB與⊙，的交點，P為延長線上一點，且=．OABABPCPE（1）求AC、AD的長；（2）試判斷直線PC與⊙O的地址關(guān)系，并說明原由．【2】（第23題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的均分線交AC于點E，過點E作BE的垂線交AB于點F，⊙O是△BEF的外接圓．1）求證：AC是⊙O的切線．2）過點E作EH⊥AB于點H，求證：CD=HF．3】（第25題）如圖，在⊙O中，AB，CD是直徑，BE是切線，B為切點，連接AD，BC，BD．（1）求證：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度數(shù)．【4】（第24題）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D=2∠CAD．1）求∠D的度數(shù)；2）若CD=2，求BD的長．【5】（第27題）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC與點D，點E為BC的中點，連接DE．（1）求證：DE是半圓⊙O的切線．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的長．三、圓與圓的地址關(guān)系的觀察基礎(chǔ)知識鏈接：若是兩個圓沒有公共點,那么就說這兩個圓相離,如圖(1)、(2)、所示．其中(1)又叫做外離,(2)、(3)又叫做內(nèi)含．(3)中兩圓的圓心同樣,這兩個圓還可以夠叫做同心圓．若是兩個圓只有一個公共點,那么就說這兩個圓相切,如圖(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做內(nèi)切．若是兩個圓只有兩個公共點,那么就說這兩個圓訂交,如圖(6)所示．【例1】（甘肅蘭州）．如圖是北京奧運會自行車比賽項目標志，則圖中兩輪所在圓的地址關(guān)系是（）A．內(nèi)含B．訂交C．相切D．外離【解析】圖中的兩圓沒有公共點，且一個圓上的所有點都在另一個圓的外面，故兩圓外離，選D.【談論】圓與圓的地址關(guān)系有五種:外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含．其關(guān)系能夠用圓與圓公共點的個數(shù)及點與圓的地址關(guān)系來判斷,也能夠用數(shù)量關(guān)系來表示圓與圓的地址關(guān)系：若是設(shè)兩圓的半徑為、,兩圓的圓心距為d,則圓與圓的地址關(guān)系與數(shù)量關(guān)系以下表【例2】（赤峰市）如圖（1），兩半徑為的等圓⊙O1和⊙O2訂交于兩點，且⊙O2過點．過點作直線垂直于，分別交⊙O1和⊙O2于兩點，連接．（1）猜想點與⊙O1有什么地址關(guān)系，并給出證明；（2）猜想的形狀，并給出證明；（3）如圖（2），若過的點所在的直線不垂直于，且點在點的兩側(cè)，那么（2）中的結(jié)論可否成立，若成立請給出證明．NNOO2O121OAMBBMA圖（1）圖（2）【解析】解：（1）在上N證明：∵⊙O2過點，．O12O又⊙O1的半徑也是，點在⊙O1上．AMB（2）是等邊三角形圖（1）證明：，．是⊙O2的直徑，是⊙O1的直徑，N即，在上，在上．O12O連接，則是的中位線．BAM．圖（2），則是等邊三角形．（3）依舊成立．證明：由（2）得在⊙O1中弧MN所對的圓周角為．在⊙O2中弧MN所對的圓周角為．當點在點的兩側(cè)時，在⊙O1中弧MN所對的圓周角，在⊙O2中弧MN所對的圓周角，是等邊三角形．注：（2），（3）是中學生猜想為等腰三角形證明正確給一半分．【談論】訂交兩圓的連心線垂直均分公共弦，又且⊙O2過點，成立對稱性知，⊙O1過O2，再證△NAB是等腰三角形；（2）1是的基礎(chǔ)上發(fā)散研究，擁有必然的開放性．四、圓與多邊形的計算觀察基礎(chǔ)知識鏈接：1、圓與正多邊形的關(guān)系的計算；2、弧長、扇形面積、圓錐側(cè)面積全面積的計算.【例1】（贛州）小芳隨機地向以下列圖的圓形簸箕內(nèi)撒了幾把豆子，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）地域的概率是【解析】設(shè)圓的半徑為1，則圓的面積為，易算得正方形的邊長為，正方形面積為2，則豆子落到圓內(nèi)接正方形（陰影部分）地域的概率是.【談論】本題觀察的是幾何概率，解題的重點是圓與圓內(nèi)接正方形的面積，依照古典概型，可轉(zhuǎn)變成面積之比.【例2】兩同心圓，大圓半徑為３，小圓半徑為１，則陰影部分面積為【解析】依照大、小圓的半徑，可求得圓環(huán)的面積為8，圖中的陰影面積為圓環(huán)面積的一半4.【談論】相關(guān)面積計算問題，不難發(fā)現(xiàn)，一些不規(guī)則的圖形可轉(zhuǎn)變成規(guī)則的圖形計算，本題就較好的表現(xiàn)了轉(zhuǎn)變方法和整體思想.五、圓的綜合性問題的觀察基礎(chǔ)知識鏈接：圓的相關(guān)知識與三角函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等綜合應用?！纠?】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經(jīng)過原點O，且與軸、軸分別訂交于兩點．（1）求出直線AB的函數(shù)解析式；2）若有一拋物線的對稱軸平行于軸且經(jīng)過點M，極點C在⊙M上，張口向下，且經(jīng)過點B，求此拋物線的函數(shù)解析式；3）設(shè)（2）中的拋物線交軸于D、E兩點，在拋物線上可否存在點P，使得？若存在，央求出點P的坐標；若不存在，請說明原由．【解析】（1）設(shè)AB的函數(shù)表達式為∵∴∴∴直線AB的函數(shù)表達式為．2）設(shè)拋物線的對稱軸與⊙M訂交于一點，依題意知這一點就是拋物線的極點C。又設(shè)對稱軸與軸訂交于點N，在直角三角形AOB中，因為⊙M經(jīng)過O、A、B三點，且⊙M的直徑，∴半徑MA=5，∴N為AO的中點AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C點的坐標為（-4，2）．設(shè)所求的拋物線為則∴所求拋物線為3）令得D、E兩點的坐標為D（-6，0）、E（-2，0），因此DE=4．又AC=直角三角形的面積假設(shè)拋物線上存在．當故滿足條件的存在．它們是．【談論】本題是一次函數(shù)、二次函數(shù)與圓的綜合性問題，解題的重點是抓住圖形中的點的坐標，運用待定系數(shù)數(shù)的方法求出解析式；【例2】（第27題）如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D，垂足為E．設(shè)P是上異于A，C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G．（1）求證：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的長；（3）在點P運動過程中，設(shè)=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出x的取值范圍）圓的綜合題1）證明相似，思路很老例，就是兩個角相等或邊長成比率．因為題中因圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，因為涉及圓，傾向于找湊近圓的角∠DPF，利用補角在圓內(nèi)作等量代換，等弧同等角等知識易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．2）求PD的長，且此線段在上問已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比率，再將其他邊代入是應有的思路．利用已知條件易得其他邊長，則PD可求．3）因為題目涉及∠AFD與也在第一問所得相似的△PDF中，進而考慮轉(zhuǎn)變，∠AFD=∠PCA，連接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，過G點作AB的垂線，若此線過PB與AC的交點那么結(jié)論易求，因為依照三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所對的這條高線．可是“此線可否過PB與AC的交點”？此時第一需要做的是多畫幾個動點P，觀察我們的猜想．考據(jù)得我們的猜想應是正確的，可是證明不能夠靠畫圖，如何求證此線過PB與AC的交點是我們解題的重點．老例作法不易得此結(jié)論，我們能夠換別的的輔助線作法，先做垂線，得交點H，爾后連接交點與B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因為C、D關(guān)于AB對稱，能夠延長CG考慮P點的對稱點．依照等弧同等角，可得∠HBG=∠PCA，進而得解題思路．1）證明：∵，∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所對的圓周角=180°﹣所對的圓周角=所對的圓周角=∠APC．在△PAC和△PDF中，，∴△PAC∽△PDF．（2）解：如圖1，連接PO，則由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，2222∴AB=BC+AC=5BC，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2，AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，∵△AEF為等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．3）解：如圖2，過點G作GH⊥AB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB為直徑的圓上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、D關(guān)于AB對稱，G在AB上，∴Q、P關(guān)于AB對稱，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，y==x．本題觀察了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡單，但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié)．整體來講本題偏難，學生練習時加強理解，重點理解解析過程，自己如何找到思路．【例3】（第24題）如圖①，已知：在矩形ABCD的邊AD上有一點O，OA=，以O(shè)為圓心，OA長為半徑作圓，交AD于M，恰好與BD相切于H，過H作弦HP∥AB，弦HP=3．若點E是CD邊上一動點（點E與C，D不重合），過E作直線EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿著動直線EF對折，點C的對應點為G．設(shè)CE=x，△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積為S．（1）求證：四邊形ABHP是菱形；（2）問△EFG的直角極點G能落在⊙O上嗎？若能，求出此時x的值；若不能夠，請說明原由；（3）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出FG與⊙O相切時，S的值．第3題圖考點：圓的綜合題；含30度角的直角三角形；菱形的判斷；矩形的性質(zhì)；垂徑定理；切線的性質(zhì)；切線長定理；軸對稱的性質(zhì)；特別角的三角函數(shù)值所有專題：壓軸題．解析：（1）連接OH，能夠求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，進而能夠求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可證到四邊形ABHP是平行四邊形，再依照切線長定理可得BA=BH，即可證到四邊形ABHP是菱形．（2）當點G落到AD上時，能夠證到點G與點M重合，可求出x=2．3）當0≤x≤2時，如圖①，S=S△EGF，只要求出FG，即可獲取S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當2＜x≤3時，如圖④，S=S△GEF﹣S△SGR，只要求出SG、RG，即可獲取S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．當FG與⊙O相切時，如圖⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，進而求出S．解答：解：（1）證明：連接OH，如圖①所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD與⊙O相切于點H，OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．tan∠BDA===．AB=3．∵HP=3，AB=HP．∵AB∥HP，∴四邊形ABHP是平行四邊形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直徑，BA與⊙O相切于點A．∵BD與⊙O相切于點H，BA=BH．∴平行四邊形ABHP是菱形．（2）△EFG的直角極點G能落在⊙O上．如圖②所示，點G落到AD上．∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折疊可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．cos∠GED===．x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴點G與點M重合．此時△EFG的直角極點G落在⊙O上，對應的x的值為2．∴當△EFG的直角極點G落在⊙O上時，對應的x的值為2．3）①如圖①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．S=GE?FG=x?x=x2．②如圖③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．tan∠SRG===，∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）．=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF﹣S△SGR22=x﹣（x﹣2）．綜上所述：當0≤x≤2時，S=x2；當2＜x≤3時，S=﹣x2+6x﹣6．當FG與⊙O相切于點T時，延長FG交AD于點Q，過點F作FK⊥AD，垂足為K，如圖④所示．∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四邊形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，22∴S=x=×（3﹣）∴FG與⊙O相切時，S的值為﹣6．談論：本題觀察了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長定理、垂徑定理、軸對稱性質(zhì)、特別角的三角函數(shù)值、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性特別強．【例4】（第23題）如圖1，在⊙O中，E是弧AB的中點，C為⊙O上的一動點（C與E在AB異側(cè)），連接EC交AB于點F，EB=（r是⊙O的半徑）．1）D為AB延長線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切；2）求EF?EC的值；3）如圖2，當F是AB的四均分點時，求EC的值．圓的綜合題．.1）連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點，依照垂徑定理的推論獲取OE⊥AB，則∠HEF+∠HFE=90°，由對頂相等得∠HFE=∠CFD，則∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，因此∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是依照切線的判判定理得直線DC與⊙O相切；（2）由弧AE=弧BE，依照圓周角定理獲取∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判斷△EBF∽△ECB，利用相似比獲取222；EF?EC=BE=（r）=r3）如圖2，連接OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，依照勾股定理，在2222Rt△OAH中有AH+x=r；在Rt△EAH中由AH+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性質(zhì)得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，則HE=rr=r，在Rt△OAH中，依照勾股定理計算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四均分點，因此HF=AH=，于是在Rt△EFH中可計算出EF=r，爾后利用（2）中的結(jié)論可計算出EC．（1）證明：連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，∵E是弧AB的中點，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直線DC與⊙O相切；2）解：連接BC，∵E是弧AB的中點，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，222；∴EF?EC=BE=（r）=r3）解：如圖2，連接OA，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE=r，設(shè)OH=x，則HE=r﹣x，222222，在Rt△OAH中，AH+OH=OA，即AH+x=r222222，在Rt△EAH中，AH+EH=EA，即AH+（r﹣x）=（r）2222，即得x=r，∴x﹣（r﹣x）=r﹣（r）∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四均分點，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，2∵EF?EC=r，2∴r?EC=r，∴EC=r．本題觀察了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判判定理和圓周角定理；會利用勾股定理進行幾何計算，利用相似三角形的知識解決相關(guān)線段等積的問題．【例5】（第26題12分）如圖，⊙O1與⊙O2外切與點D，直線l與兩圓分別相切于點A、B，與直線O1O2訂交于點M，且tan∠AM01=，MD=4．1）求⊙O2的半徑；2）求△ADB內(nèi)切圓的面積；3）在直線l上可否存在點P，使△MO2P相似于△MDB？若