2023高考數學應用題

18．(本題滿分16分)如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設置三個等分點A1，A2，A3。點C為上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2，A3，B均用細繩相連接，且細繩CA1，CA2，CA3的長度相等。設細繩的總長為（1）設∠CA1O=(rad)，將y表示成θ的函數關系式；（2）請你設計，當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時BC應為多長。BBA1A2COA318.（Ⅰ）解：在△COA1中，，，………2分=（）……7分（Ⅱ），令，則………………12分當時，；時，，∵在上是增函數∴當角滿足時，y最小，最小為；此時BCm…16分19．由一個小區(qū)歷年市場行情調查得知，某一種蔬菜在一年12個月內每月銷售量（單位：噸）與上市時間（單位：月）的關系大致如圖（1）所示的折線表示，銷售價格（單位：元／千克）與上市時間（單位：月）的大致關系如圖（2）所示的拋物線段表示（為頂點）．（1）請分別寫出,關于的函數關系式，并求出在這一年內3到6月份的銷售額最大的月份？（2）圖（1）中由四條線段所在直線圍成的平面區(qū)域為，動點在內（包括邊界），求的最大值；（3）由（2），將動點所滿足的條件及所求的最大值由加法運算類比到乘法運算（如類比為），試列出所滿足的條件，并求出相應的最大值．（圖1）（圖2）19.解(Ⅰ)．（在恒成立，所以函數在上遞增當t=6時，=34.5．∴6月份銷售額最大為34500元．(Ⅱ)，z=x—5y．令x—5y=A(x+y)+B(x—y)，則，∴z=x—5y=—2(x+y)+3(x—y)．由,，∴,則(z)max=11．(Ⅲ)類比到乘法有已知,求的最大值．由=()A·()B．∴,∴，則(z)max=．18．（本題滿分15分）（圖乙）（圖甲）如圖甲，一個正方體魔方由27個單位（長度為1個單位長度）小立方體組成，把魔方中間的一層轉動，如圖乙，設的對邊長為．（圖乙）（圖甲）（1）試用表示；（2）求魔方增加的表面積的最大值．18．命題立意：本題主要考查數學建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力．解：（1）由題意得，解得，（6分）（2）魔方增加的表面積為，由（1）得，（10分）令，則（當且僅當即時等號成立），答：當時，魔方增加的表面積最大為．（15分）17．（本題滿分15分）請你為某養(yǎng)路處設計一個用于儲藏食鹽的倉庫（供融化高速公路上的積雪之用）．它的上部是底面圓半徑為5m的圓錐，下部是底面圓半徑為5m的圓柱，且該倉庫的總高度為5m．經過預算，制造該倉庫的圓錐側面、圓柱側面用料的單價分別為400元/、100元/，問當圓錐的高度為多少時，該倉庫的側面總造價（單位：元）最少？17．命題立意：本題主要考查數學建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力．解：（法一）設圓錐母線與底面所成角為，且，（2分）則該倉庫的側面總造價，（8分）由得，即，（13分）經檢驗得，當時，側面總造價最小，此時圓錐的高度為m．（15分）（法二）設圓錐的高為m，且，（2分）則該倉庫的側面總造價，（8分）由得，（13分）經檢驗得，當時，側面總造價最小，此時圓錐的高度為m．（15分）3.在一個六角形體育館的一角MAN內，用長為a的圍欄設置一個運動器材儲存區(qū)域（如圖所示），已知，B是墻角線AM上的一點，C是墻角線AN上的一點．(1)若BC=a=20,求儲存區(qū)域面積的最大值；(2)若AB=AC=10,在折線內選一點，使，求四邊形儲存區(qū)域DBAC的最大面積.解：(1)設由，得.即(2)由，知點在以，為焦點的橢圓上，∵，∴要使四邊形DBAC面積最大，只需的面積最大，此時點到的距離最大,即必為橢圓短軸頂點．由，得短半軸長面積的最大值為.因此，四邊形ACDB面積的最大值為．3.某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m．(1)過點的一條直線與走廊的外側兩邊交于兩點，且與走廊的一邊的夾角為，將線段的長度表示為的函數；(2)一根長度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊？請說明理由（鐵棒的粗細忽略不計）．解：(1)根據圖得(2)鐵棒能水平通過該直角直廊，理由如下：令得，．當時，為減函數；當時，為增函數；所以當時，有最小值，因為，所以鐵棒能水平通過該直角走廊．19．（本小題滿分16分）如圖一塊長方形區(qū)域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在邊AD的中點O處，有一個可轉動的探照燈，其照射角∠EOF始終為，設∠AOE＝α，探照燈O照射在長方形ABCD內部區(qū)域的面積為S． （1）當0≤α＜時，寫出S關于α的函數表達式；（2）當0≤α≤時，求S的最大值．GFEDCBAO（第19題）（3）若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”（OE自OA轉到OC，再回到OA，稱“一個來回”，忽略OE在OAGFEDCBAO（第19題）HGFEHGFEDCBAO圖①①當0≤α≤時，E在邊AB上，F在線段BH上（如圖①），此時，AE＝，FH＝，…2分∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF＝．…………4分②當＜α＜時，E在線段BH上，F在線段CH上（如圖②），HOABCDEHOABCDEFG圖②∴EF＝．∴S＝S△OEF＝．綜上所述，…………8分（2）當0≤α≤時，S＝，即S．………………10分∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．∴≥2．∴S≤2－．當＝－1時，S取得最大值為2－．………………12分（3）在“一個來回”中，OE共轉了2×＝．其中點G被照到時，共轉了2×＝． ………………14分則“一個來回”中，點G被照到的時間為（分鐘）．……16分17．（本小題滿分14分）第十八屆省運會將于2023年9月在徐州市舉辦．為營造優(yōu)美的環(huán)境，舉辦方決定在某“葫蘆”形花壇中建噴泉．如圖，該花壇的邊界是兩個半徑為10米的圓弧圍成，兩圓心、之間的距離為米．（1）如圖甲，在花壇中建矩形噴泉，四個頂點，，，均在圓弧上，于點．設，求矩形的寬為多少時，可使噴泉的面積最大；（2）如圖乙，在花壇中間鋪設一條寬為2米的觀賞長廊以作休閑之用，則矩形噴泉變?yōu)閮蓚€全等的等腰三角形，其中，米．若，求噴泉的面積的取值范圍．θOθO1O2MBACD觀賞長廊N（第17題圖乙）MBACDθO1（第17題圖甲）O2、17．（1）在直角中，，，則，所以矩形的面積，………4分令，，則，令，得．設，且，列表如下：0↗極大值↘所以當，即時，矩形的面積最大．………………10分（2）由（1）易得，噴泉的面積，由知，，所以函數是單調增函數，所以．………………13分答：（1）矩形的寬（米）時，可使噴泉的面積最大；（2）噴泉的面積的取值范圍是（單位：平方米）．……14分（本小題滿分14分）如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°，AB，AC的長度均大于200米．現在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．（第17題）（1）若圍墻AP，AQ總長為200米，如何圍可使三角形地塊APQ的面積最大？（第17題）（2）已知AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高1.5米，造價均為每平方米100元．若圍圍墻用了20000元，問如何圍可使竹籬笆用料最??？17．解設米，米．（1）則，的面積．…………3分∴S．當且僅當時取“=”．…………6分（注：不寫“＝”成立條件扣1分）（2）由題意得，即．…8分要使竹籬笆用料最省，只需其長度PQ最短，所以（）………11分當時，有最小值，此時．…………13分答：（1）當米時，三角形地塊APQ的面積最大為平方米；（2）當米米時，可使竹籬笆用料最?。?4分18．(本小題滿分14分)因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據環(huán)保部門的建議,現決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學反應的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數關系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應時刻所釋放的濃度之和.根據經驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.（1）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?（2）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數據:取1.4).18．解：（1）因為,所以…………………1分則當時,由,解得,所以此時……3分當時,由,解得,所以此時………5分綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天…………6分（2）當時,……………9分==,因為,而,所以,故當且僅當時,y有最小值為………12分令,解得,所以的最小值為………………14分17．（本小題滿分14分）已知A、B兩地相距，以AB為直徑作一個半圓，在半圓上取一點C，連接AC、BC，在三角形ABC內種草坪（如圖），M、N分別為弧AC、弧BC的中點，在三角形AMC、三角形BNC上種花，其余是空地．設花壇的面積為，草坪的面積為，?。眉癛表示和；求的最小值．17．（1）因為，則，則．………3分設AB的中點為O，連MO、NO，則．易得三角形AMC的面積為，三角形BNC的面積為，∴+．（2）∵，令，則．∴．∴的最小值為．17.（本小題滿分14分）據環(huán)保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為．現已知相距18的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為，它們連線上任意一點C處的污染指數等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設（）．（1）試將表示為的函數；（2）若，且時，取得最小值，試求的值．17．解：（1）設點C受A污染源污染程度為，點C受B污染源污染程度為，其中為比例系數，且．……………………4分從而點C處受污染程度．…………6分（2）因為，所以，，……………8分，令，得，……………12分又此時，解得，經驗證符合題意．所以，污染源B的污染強度的值為8．……………14分19.一走廊拐角處的橫截面如圖所示，已知內壁和外壁都是半徑為的四分之一圓弧，，分別與圓弧相切于，兩點，∥，∥，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是．（1）若水平放置的木棒的兩個端點分別在外壁和上，且木棒與內壁圓弧相切于點．設，試用表示木棒的長度；NMNMABCDEFGHPQ1m1m19.(1)如圖，設圓弧所在的圓的圓心為，過點作垂線，垂足為點，且交或其延長線與于，并連接，再過點作的垂線，垂足為．在 中，因為，，NMABNMABCDEFGHPS1m1mTQW因為與圓弧切于點，所以，在，因為，，所以，，①若在線段上，則在 中，，因此②若在線段的延長線上，則在 中，，因此．………8分（2）設，則，因此．因為，又，所以恒成立，因此函數在是減函數，所以，即．答：一根水平放置的木棒若能通過該走廊拐角處，則其長度的最大值為．17．(本小題滿分14分)某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發(fā)建設，陰影部分為一公共設施不能建設開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設．（1）將（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數S(t)；（2）若，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．17．解：（Ⅰ），直線的斜率為，直線的方程為令得令,得,的面積,（Ⅱ）,因為,由,得,當時,,當時,.已知在處,,故有，故當時,17．（本小題滿分14分）在綜合實踐活動中，因制作一個工藝品的需要，某小組設計了如圖所示的一個門（該圖為軸對稱圖形），其中矩形ABCD的三邊AB、BC、CD由長為6分米的材料彎折而成，BC邊的長為分米（）；曲線AOD擬從以下兩種曲線中選擇一種：曲線是一段余弦曲線（在如圖所示的平面直角坐標系中，其解析式為），此時記門的最高點O到BC邊的距離為；曲線是一段拋物線，其焦點到準線的距離為，此時記門的最高點O到BC邊的距離為（1）試分別求函數、的表達式（2）要使得點O到BC邊的距離最大，應選用哪一種曲線？此時最大值是多少？解：（1）……………6分（2）由于恒成立，所以函數在上單調遞減，因此，………10分而，………12分所以選用………14分17．（本小題滿分15分）某農戶準備建一個水平放置的直四棱柱形儲水窖（如圖），其中直四棱柱的高，兩底面是高為，面積為的等腰梯形，且。若儲水窖頂蓋每平方米的造價為元，側面每平方米的造價為元，底部每平方米的造價為元。（1）試將儲水窖的造價表示為的函數；（2）該農戶如何設計儲水窖，才能使得儲水窖的造價最低，最低造價是多少元（?。?。17．【解析】（1）過作，垂足為，則，，令，從而，故，解得，，4分所以7分（2）因為，所以10分令，則，當時，，此時函數單調遞減；當時，，此時函數單調遞增。所以當時，。答：當時，等價最低，最低造價為51840元。15分18.如圖，矩形ABCD是一個觀光區(qū)的平面示意圖，建立平面直角坐標系，使頂點A在坐標原點O，B，D分別在x軸，y軸上，AD＝3百米，AB＝a百米（3≤a≤4）觀光區(qū)中間葉形陰影部分MN是一個人工湖，它的左下方邊緣曲線是函數≤2）的圖象的一段．為了便于游客觀光，擬在觀光區(qū)鋪設一條穿越該觀光區(qū)的直路（寬度不計），要求其與人工湖左下方邊緣曲線段相切（切點記為P），并把該觀光區(qū)分為兩部分，且直線左下部分建設為花圃．設點P到AD的距離為t，f（t）表示花圃的面積． （1）求花圃面積f（t）的表達式； （2）求f（t）的最小值．第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F18．某地擬模仿圖甲建造一座大型體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖乙所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中（，單位：米）；曲線是拋物線第18題-甲xyOABCD第18題-乙E·F（1）若要求米，米，求與的值；（2）若要求體育館側面的最大寬度不超過米，求的取值范圍；（3）若，求的最大值.（參考公式：若，則）解：（1）因為，解得.……………2分此時圓，令，得，所以，將點代入中，解得.…………4分（2）因為圓的半徑為，所以，在中令，得，則由題意知對恒成立，…………8分所以恒成立，而當，即時，取最小值10，故，解得.…………10分（3）當時，，又圓的方程為，令，得，所以，從而，…………12分又因為，令，得，…………14分當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，從而當時，取最大值為25.答：當米時，的最大值為25米.…………16分（說明：本題還可以運用三角換元，或線性規(guī)劃等方法解決，類似給分）方法二：令，則，其中是銳角，且，從而當時，取得最大值為25米.方法三：令，則題意相當于：已知，求的最大值.根據線性規(guī)劃知識，當直線與圓弧相切時，取得最大值為25米.19.某園林公司計劃在一塊為圓心,(為常數)為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形區(qū)域用于觀賞樣板地，區(qū)域用于種植花木出售，其余區(qū)域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本是每平方米2元，花木的利潤是每平方米8元，草皮的利潤是每平方米3元.(1)設,,分別用,表示弓形的面積;(2)園林公司應該怎樣規(guī)劃這塊土地,才能使總利潤最大?(參考公式:扇形面積公式)觀賞樣板地觀賞樣板地花木地花木地草皮地草皮地草皮地草皮地19.（1），,.又，,.(2)設總利潤為元，草皮利潤為元，花木地利潤為，觀賞樣板地成本為，，,..設.,…………12分上為減函數；上為增函數.當時，取到最小值,此時總利潤最大.所以當園林公司把扇形的圓心角設計成時，總利潤最大.18．（本小題滿分16分）如圖，實線部分的月牙形公園是由圓P上的一段優(yōu)弧和圓Q上的一段劣弧圍成，圓P和圓Q的半徑都是2km，點P在圓Q上，現要在公園內建一塊頂點都在圓P上的多邊形活動場地．（1）如圖甲，要建的活動場地為△RST，求場地的最大面積；（2）如圖乙，要建的活動場地為等腰梯形ABCD，求場地的最大面積．（第（第17題甲）DACBQPNMRSMNPQT（第17題乙）解：（1）如右圖，過S作SH⊥RT于H，S△RST=．由題意，△RST在月牙形公園里，RT與圓Q只能相切或相離；RT左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，則有RT≤4，SH≤2，當且僅當RT切圓Q于P時（如下左圖），上面兩個不等式中等號同時成立．此時，場地面積的最大值為S△RST==4（km2）．（2）同（1）的分析，要使得場地面積最大，AD左邊的部分是一個大小不超過半圓的弓形，AD必須切圓Q于P，再設∠BPA=，則有．令，則．若，，又時，，時，，函數在處取到極大值也是最大值，故時，場地面積取得最大值為（km2）．19．（本小題滿分16分）幾名大學畢業(yè)生合作開設打印店，生產并銷售某種產品．已知該店每月生產的產品當月都能銷售完，每件產品的生產成本為元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產品的生產成本，第二部分是其它固定支出元．假設該產品的月銷售量（件）與銷售價格（元/件）（）之間滿足如下關系：①當時，；②當時，．設該店月利潤為（元），月利潤=月銷售總額－月總成本．（1）求關于銷售價格的函數關系式；（2）求該打印店月利潤的最大值及此時產品的銷售價格．19．解：（1）當時，，代入，解得．………………2分∴即……………4分（注：寫到上一步，不扣分．）（2）設，，，則．令，解得（舍去），．……………7分當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．…………………10分∵，，，∴的最大值為．………12分當時，單調遞減，故此時的最大值為．…………………14分綜上所述，當時，月利潤有最大值元．……15分答：該打印店店月利潤最大為元，此時產品的銷售價格為元/件．……16分19．（本小題滿分16分）如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為的正方形，周圍是四個全等的弓形.已知O為正方形的中心，G為AD的中點，點P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分，OG的延長線交弧AD于點H。設弧AD的長為，（1）求關于的函數關系式；（2）定義比值為招貼畫的優(yōu)美系數，當優(yōu)美系數最大時，招貼畫最優(yōu)美。證明：當角滿足：時，招貼畫最優(yōu)美18.（本小題滿分16分）一位幼兒園老師給班上個小朋友分糖果.她發(fā)現糖果盒中原有糖果數為,就先從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第一個小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中，然后把盒內糖果的分給第二個小朋友;…,以后她總是在分給一個小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中，然后把盒內糖果的分給第個小朋友．如果設分給第個小朋友后（未加入2塊糖果前）盒內剩下的糖果數為.當,時,分別求;請用表示;令,求數列的通項公式;（3）是否存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,如果存在,請求出所有的和,如果不存在,請說明理由.解：（1）當,時,,,.……3分由題意知：,……6分即,,……7分累加得,……9分又,.……10分由，得,……12分若存在正整數和非負整數,使得數列成等差數列,則,……14分即,……15分當時，，對任意正整數,有成等差數列.……16分[注:如果驗證不能成等差數列,不扣分]【說明】本題主要考查數列的定義、通項求法；考查反證法；考查遞推思想；考查推理論證能力；考查閱讀理解能力、建模能力、應用數學解決問題能力．本題還可以設計：如果班上有5名小朋友，每個小朋友都分到糖果，求的最小值.17（本題滿分16分，第1小題8分，第2小題8分）θ（第17題）DABClTx如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離BC＝4eq\r(3)km．D為海灣一側海岸線CT上的一點，設CD＝x(km)，點Dθ（第17題）DABClTx（1）將tan表示為x的函數；（2）求點D的位置，使取得最大值．17、（本題滿分14分，第1小題8分，第2小題6分）解：（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F．DBCEFADBCEFA圖1圖2由題知，AB＝4.5，BC＝4eq\r(3)，∠ABFDBCEFADBCEFA圖1圖2所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝eq\f(9,4)，BF＝4.5×cos30o＝eq\f(9,4)eq\r(3)，AE＝CF＝BC＋BF＝eq\f(25,4)eq\r(3)．因為CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝eq\f(BC,CD)＝eq\f(4eq\r(3),x)．當x＞eq\f(9,4)時，ED＝x－eq\f(9,4)，tan∠ADC＝eq\f(AE,ED)＝eq\f(eq\f(25,4)eq\r(3),x－eq\f(9,4))＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如圖1）；當0＜x＜eq\f(9,4)時，ED＝eq\f(9,4)－x，tan∠ADC＝－eq\f(AE,ED)＝eq\f(25eq\r(3),4x－9)（如圖2）．…4分所以tan＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝eq\f(tan∠ADC－tan∠BDC,1＋tan∠ADC·tan∠BDC)＝eq\f(eq\f(25eq\r(3),4x－9)－eq\f(4eq\r(3),x),1＋eq\f(25eq\r(3),4x－9)·eq\f(4eq\r(3),x))＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)，其中x＞0且x≠eq\f(9,4)．當x＝eq\f(9,4)時tan＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(9eq\r(3),48)，符合上式．所以tan＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)(x＞0)………8分（2）（方法一）tan＝＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3),4(x＋4)＋\f(400,x＋4)－41)，x＞0．……………11分因為4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41≥2eq\r(4(x＋4)·eq\f(400,x＋4))－41＝39，當且僅當4(x＋4)＝eq\f(400,x＋4)，即x＝6時取等號．所以當x＝6時，4(x＋4)＋eq\f(400,x＋4)－41取最小值39．所以當x＝6時，tan取最大值eq\f(3eq\r(3),13)．…………………13分由于y＝tanx在區(qū)間(0，eq\f(π,2)）上是增函數，所以當x＝6時，取最大值．答：在海灣一側的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大．…14分（方法二）tan＝f(x)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),x(4x－9)＋300)＝eq\f(9eq\r(3)(x＋4),4x2－9x＋300)．f(x)＝eq\f(9eq\r(3)[(4x2－9x＋300)－(x＋4)(8x－9)],(4x2－9x＋300)2)＝－eq\f(36eq\r(3)(x＋14)(x－6),(4x2－9x＋300)2)，x＞0．由f(x)＝0得x＝6．……………………11分當x∈（0，6）時，f(x)＞0，函數f(x)單調遞增；當x∈（6，＋∞）時，f(x)＜0，此時函數f(x)單調遞減．所以函數f(x)在x＝6時取得極大值，也是最大值f(6)＝eq\f(3eq\r(3),13)．…13分由于y＝tanx在區(qū)間(0，eq\f(π,2)）上是增函數，所以當x＝6時，取最大值．答：在海灣一側的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大．…14分17．（本小題滿分14分）提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．（1）當0<x≤200時，求函數v(x)的表達式；（2）當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到個位，參考數據）17．解：(1)由題意：當0＜x≤50時，v(x)＝30；當50≤x≤200時，由于，再由已知可知，當x＝200時，v(0)＝0，代入解得k＝2000.故函數v(x)的表達式為．(2)依題意并由(1)可得，當0≤x≤50時，f(x)＝30x，當x＝50時取最大值1500.當50<x≤200時，取等號當且僅當，即時，f(x)取最大值．綜上，當車流密度為138輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/小時．17．（本小題滿分14分）FEbaBDCA第八屆中國花博會將于2023年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD，，．a，b為常數且滿足.組委會決定從該矩形地塊中劃出一個直角三角形地塊建游客休息區(qū)（點E，F分別在線段AB，AD上），且該直角三角形AEF的周長為（），如圖．設，△的面積為．FEbaBDCA（1）求關于的函數關系式；（2）試確定點E的位置，使得直角三角形地塊的面積最大，并求出的最大值．17．解：（1）設，則，整理，得．………3分，．…………………4分（2）當時，，在遞增，故當時，；當時，在上，，遞增，在上，，遞減，故當時，.17.（本小題滿分15分）如圖,有一塊邊長為(百米)的正方形區(qū)域。在點處有一個可轉動的探照燈,其照射角始終為(其中點，分別在邊，上),設.（1）用表示出的長度,并探求的周長是否為定值；ABPQDC第19題圖（2）問探照燈照射在正方形ABPQDC第19題圖解(1)(2)(當且僅當,即等號成立)答:探照燈照射在正方形內部區(qū)域的面積至多為平方百米.某生產旅游紀念品的工廠，擬在2023年度將進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量萬件與年促銷費用萬元之間滿足與成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2023年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為：“年平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．(利潤=收入－生產成本－促銷費用)（1）求出與所滿足的關系式；（2）請把該工廠2023年的年利潤萬元表示成促銷費萬元的函數；（3）試問：當2023年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？17.解：（1）設比例系數為．由題知，有．又時，，所以，．所以與的關系是．…………4分（2）依據題意，可知工廠生產萬件紀念品的生產成本為萬元，促銷費用為萬元，則每件紀念品的定價為：元／件．于是，，進一步化簡，得．因此，工廠2023年的年利潤萬元．…8分（3）由（2）知，，當且僅當，即時，取等號，所以，當2023年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．18．(本小題滿分16分)某廣告公司為2023年上海世博會設計了一種霓虹燈，樣式如圖中實線部分所示.其上部分是以為直徑的半圓，點為圓心，下部分是以為斜邊的等腰直角三角形，是兩根支桿，其中米，.現在弧、線段與線段上裝彩燈，在弧、弧、線段與線段上裝節(jié)能燈.若每種燈的“心悅效果”均與相應的線段或弧的長度成正比，且彩燈的比例系數為，節(jié)能燈的比例系數為，假定該霓虹燈整體的“心悅效果”是所有燈“心悅效果”的和.DOABEF第18題2DOABEF第18題2x（2）試確定當取何值時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳？18．解：（1）因為,所以弧EF、AE、BF的長分別為連接OD，則由OD=OE=OF=1，，所以…………6分所以…………………9分（2）因為由…………11分解得，即………………13分又當時，，所以此時y在上單調遞增；當時，，所以此時y在上單調遞減.故當時，該霓虹燈整體的“心悅效果”最佳…16分17．（本小題滿分14分）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格(單位：元/千克)滿足關系式y＝EQ\F(a,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．（1）求a的值； （2）若該商品的成品為3元/千克,試確定銷售價格x的值,使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．17.解：（1）由題設知x＝5時y＝11，則11＝EQ\F(a,5－3)＋10(5－6)EQ\s\up4(2)，解得a＝2.（2）由（1）知該商品每日的銷售量y＝EQ\F(2,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)[EQ\F(2,x－3)＋10(x－6)EQ\s\up4(2)]＝2＋10(x－3)(x－6)EQ\s\up4(2)，3＜x＜6.………………6分對函數f(x)求導，得f′(x)＝10[(x－6)EQ\s\up4(2)＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．令f′(x)＝0及3＜x＜6，解得x＝4．………………10分當3＜x＜4時，f′(x)＞0，當4＜x＜6時，f′(x)＜0，于是有函數f(x)在(3，4)上遞增，在(4，6)上遞減，所以當x＝4時函數f(x)取得最大值f(4)＝42.………………13分答：當銷售價格x＝4時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42.15.（本小題滿分14分）如圖，摩天輪的半徑為50m，點O距地面的高度為60m，摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈，摩天輪上點P的起始位置在最低點處.（1）試確定在時刻t（min）時點P距離地面的高度；（2）在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間點P距離地面超過85m?15.（1）解：設點P離地面的距離為y，則可令y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由題設可知A＝50，b＝60.………………2分又T＝EQ\F(2π,ω)＝3，所以ω＝EQ\F(2π,3)，從而y＝50sin(EQ\F(2π,3)t＋φ)＋60.………………4分再由題設知t＝0時y＝10，代入y＝50sin(EQ\F(2π,3)t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，從而φ＝－EQ\F(π,2).因此，y＝60－50cosEQ\F(2π,3)t(t≥0).………………8分（2）要使點P距離地面超過85m，則有y＝60－50cosEQ\F(2π,3)t＞85，即cosEQ\F(2π,3)t＜－EQ\F(1,2).于是由三角函數基本性質推得EQ\F(2π,3)＜EQ\F(2π,3)t＜EQ\F(4π,3)，即1＜t＜2.………………12分所以，在摩天輪轉動的一圈內，點P距離地面超過85m的時間有1分鐘.18．（本小題滿分15分）輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動．如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內），D為這段拋物線的最高點．現在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標系，軸在地面上，助跑道一端點A(0，4)，另一端點C(3，1)，點B(2，0)，單位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的拋物線方程；（Ⅱ）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4米到6米之間（包括4米和6米），試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？（注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標差的絕對值．）18．（本小題滿分15分）解：（1）設助跑道所在的拋物線方程為，依題意：…3分解得，，，，∴助跑道所在的拋物線方程為．…7分（2）設飛行軌跡所在拋物線為（），依題意：得解得…9分∴，令得，，∵，∴，…11分當時，有最大值為，則運動員的飛行距離，………………13分飛行過程中距離平臺最大高度，依題意，，得，即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2米到3米之間．………………15分17．(本小題滿分14分)某公司有價值萬元的一條流水線，要提高該流水線的生產能力，就要對其進行技術改造，從而提高產品的附加值．改造需要投入，假設附加值（萬元）與技術改造投入（萬元）之間的關系滿足：①與和的乘積成正比；②當時，；③其中常數．（1）設，求函數的解析式與定義域；（2）求出附加值的最大值，并求此時的技術改造投入．解析：（1）＝，由＝時，＝得＝，＝8，∴＝，又0≤≤，∴0≤≤＝其定義域為[0，]．（2）＝＝，令＝0，則＝0或＝當∈（0，）時，＞0，當∈（，＋∞）時，＜0，在（0，）上單調增，在（，＋∞）上單調減，當≥，即0＜≤1時，在（0，）上單調增，故當＝時，取極大值＝②當＜即1＜≤2時，在（0，）上單調增，在（，）上單調減故當＝時，取極大值＝由于在給定區(qū)間上只有一個極大點，故此極大值即為所求的最大值．17.（本小題滿分14分）如圖，兩座建筑物的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是9和15，從建筑物的頂部看建筑物的視角.求的長度；在線段上取一點點與點不重合），從點看這兩座建筑物的視角分別為問點在何處時，最??？第17題圖第17題圖17．⑴作，垂足為，則，，設，則…2分，化簡得，解之得，或（舍）答：的長度為．………………6分⑵設，則，．………8分設，，令，因為，得，當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以，當時，取得最小值，即取得最小值，………12分因為恒成立，所以，所以，，因為在上是增函數，所以當時，取得最小值．答：當為時，取得最小值．……………14分17．(本小題滿分14分)圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結構情況，學校數學興趣小組將大橋的結構進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔、與橋面垂直，通過測量得知，，當為中點時，.（1）求的長；（2）試問在線段的何處時，達到最大.圖2圖2圖1圖117．(1)設，，，則，，由題意得，，解得.……6分（2）設，則，，，…………8分，，即為銳角，令，則，，，………12分當且僅當即，時，最大.…………14分17．（本小題滿分15分）某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費用為億元，其中用于風景區(qū)改造為億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時具備下列三個條件：①每年用于風景區(qū)改造費用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費用至少億元，至多億元；③每年用于風景區(qū)改造費用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的15%，但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費用的22%。（1）若，，請你分析能否采用函數模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；（2）若、取正整數，并用函數模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請你求出、的取值．17．解：（1）∵，∴函數y＝是增函數，滿足條件①。 3分設，則，令，得。當時，，在上是減函數；當時，，在上是增函數，又，，即，在上是增函數，∴當時，有最小值0.16=16%>15%，當時，有最大值0.1665=16.65%<22%,∴能采用函數模型y＝作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。 9分（2）由(1)知，依題意，當，、時，恒成立；下面求的正整數解。令， 12分由(1)知，在上是減函數，在上是增函數，又由（1）知，在時，，且=16%∈[15%，22%]，合條件，經枚舉，∈[15%，22%]，而[15%，22%]，可得或或，由單調性知或或均合題意。 15分17.如圖一塊長方形區(qū)域，，，在邊的中點處有一個可轉動的探照燈，其照射角始終為，設，探照燈照射在長方形內部區(qū)域的面積為（1）當時，求關于的函數關系式；（2）當時，求的最大值；（3）若探照燈每分鐘旋轉“一個來回”（自轉到，再回到，稱“一個來回”，忽略在及處所用的時間），且轉動的角速度大小一定。設邊上有一點，且，求點在“一個來回”中被照到的時間。17.（1）當時，在上，在上，當時，、都在上，……5分（2）當時，,當時，…………10分（3）在“一個來回”中，共轉動了，其中點被照到時，共轉動了點被照到的時間為分鐘……14分17.（本小題滿分14分）在一個半徑為1的半球材料中截取三個高度均為h的圓柱，其軸截面如圖所示，設三個圓柱體積之和為.（1）求的表達式，并寫出的取值范圍是；（2）求三個圓柱體積之和V的最大值；17．(1)自下而上三個圓柱的底面半徑分別為：．………………3分它們的高均為，所以體積和6分因為，所以的取值范圍是；………7分⑵由得，………………9分又，所以時，；時，．11分所以在上為增函數，在上為減函數，所以時，取最大值，的最大值為．………13分答：三個圓柱體積和的最大值為．…………14分17．（本小題滿分14分）根據統計資料，某工藝品廠的日產量最多不超過20件，每日產品廢品率與日產量(件)之間近似地滿足關系式(日產品廢品率eq\f(日廢品量,日產量)×100％)．已知每生產一件正品可贏利2千元，而生產一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤日正品贏利額日廢品虧損額）（1）將該車間日利潤(千元)表示為日產量(件)的函數；（2）當該車間的日產量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？17．（1）由題意可知，…………4分（2）考慮函數當時，，令，得．當時，，函數在上單調增；當時，，函數在上單調減．所以當時，取得極大值，也是最大值，又是整數，，，所以當時，有最大值．……10分當時，，所以函數在上單調減，所以當時，取得極大值，也是最大值．由于，所以當該車間的日產量為10件時，日利潤最大．答：當該車間的日產量為10件時，日利潤最大，最大日利潤是千元．……14分17．已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點的豎直線的右側．現要在這塊材料上截出一個直角三角形，有兩種設計方案：如圖甲，以為斜邊；如圖乙，直角頂點在線段上，且另一個頂點在上．要使截出的直角三角形的面積最大，應該選擇哪一種方案？請說明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值．17．如圖甲，設，則，，………………2分所以，當且僅當時取等號，………………6分此時點到的距離為，可以保證點在半圓形材料內部，因此按照圖甲方案得到直角三角形的最大面積為．…………………7分AABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E如圖乙，設，則，，所以，．…………………10分設，則，當時，，所以時，即點與點重合時，的面積最大值為．………13分因為，所以選擇圖乙的方案，截得的直角三角形面積最大，最大值為．…………14分17．如圖，在海岸線一側C處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設立了A、B兩個報名點，滿足A、B、C中任意兩點間的距離為10千米。公司擬按以下思路運作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉點D處（點D異于A、B兩點），然后乘同一艘游輪前往C島。據統計，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費2元，游輪每千米耗費12元。設∠，每批游客從各自報名點到C島所需運輸成本S元。（1）寫出S關于的函數表達式，并指出的取值范圍；（2）問中轉點D距離A處多遠時，S最??？17．解:(1)由題在中，．由正弦定理知，得…(2)，令，得當時，；當時，，當時取得最小值此時，中轉站距處千米時，運輸成本最小17．（本小題滿分14分）第17題圖如圖，在城周邊已有兩條公路在點處交匯．已知，,．現規(guī)劃在公路上第17題圖分別選擇兩處為交匯點（異于點）直接修建一條公路通過城，設，．(1)求關于的函數關系式并指出它的定義域；(2)試確定點的位置，使的面積最?。?7．⑴因為的面積與的面積之和等于的面積，所以，……………4分即，所以．………………………6分⑵的面積=………8分=．……………12分當且僅當時取等號，此時．故當，時，的面積最?。?4分18.（本小題滿分16分）如圖，有一個長方形地塊ABCD，邊AB為2km，AD為4km.，地塊的一角是濕地(圖中陰影部分)，其邊緣線AC是以直線AD為對稱軸，以A為頂點的拋物線的一部分.現要鋪設一條過邊緣線AC上一點P的直線型隔離帶EF，E，F分別在邊AB，BC上(隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計).設點P到邊AD的距離為t(單位:km)，△BEF的面積為S(單位:).（1）求S關于t的函數解析式，并指出該函數的定義域;（2）是否存在點P，使隔離出的△BEF面積S超過3?并說明理由.18．(1)如圖，以為坐標原點，所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則點坐標為．設邊緣線所在拋物線的方程為，把代入，解得，所以拋物線的方程為．…………3分因為，……………4分所以過的切線方程為．………5分令，得；令，得，…………………7分所以，…………8分所以，定義域為．………9分(2)，……………12分由，得，所以在上是增函數，在上是減函數，…………14分所以在上有最大值．又因為，EF（第18題）PO(A)BCDxEF（第18題）PO(A)BCDxy18．(本小題滿分16分)在長為20m，寬為16m米的長方形展廳正中央有一圓盤形展臺（圓心為點C），展廳入口位于長方形的長邊的中間．在展廳一角B點處安裝監(jiān)控攝像頭，使點B與圓C在同一水平面上，且展臺與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(如圖陰影所示)．（1）若圓盤半徑為m，求監(jiān)控攝像頭最小水平攝像視角的正切值；（2）若監(jiān)控攝像頭最大水平攝像視角為60°，求圓盤半徑的最大值．16m（第18題）16m（第18題）CB20m入口AE【解】（1）解法一：如圖，過B作圓C的切線BE，切點為E，設圓C所在平面上入口中點為A，連結CA，CE，CB，則，，則攝像水平視角為∠ABE時，水平攝像視角最小．在△中，，，，…………2分在△中，，，，…4分所以，所以最小攝像視角的正切值為．……8分解法二：過B作圓C的切線BE，切點為E，設圓C所在平面上入口中點為A，連結CA，CE，CB，則，，16m（第18題）C16m（第18題）CB20m入口E在平面ABC內，以B為原點，BA為x軸建立直角坐標系，則，設直線BE的方程為，由圓C與直線BE相切得，，………4分解得，（其中不合題意，舍去）．答：所以最小攝像視角的正切值為．………………8分（2）解法一：當=時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．.在平面ABC內，以B為坐標原點，BA為x軸建立平面直角坐標系，所以直線BE方程為：，……………12分所以，則圓C的最大半徑為m．………16分解法二：設圓盤的最大半徑為r，當=時，若直線BE與圓C相切，則圓C的半徑最大．在△中，，，，在△中，，，，………10分由得，，……………12分即，所以，即所以，．……………15分答：圓C的最大半徑為m．…………16分17．（本小題滿分14分）某飛機失聯，經衛(wèi)星偵查，其最后出現在小島附近．現派出四艘搜救船,，為方便聯絡，船始終在以小島O為圓心，100海里為半徑的圓周上，船,構成正方形編隊展開搜索，小島在正方形編隊外（如圖）．設小島O到的距離為，，D船到小島O的距離為.（1）請分別求關于的函數關系式，并寫出定義域；（2）當兩艘船之間的距離是多少時？搜救范圍最大（即最大）．（第17題圖）（第17題圖）18．（本小題滿分15分）如圖，某商業(yè)中心O有通往正東方向和北偏東30°方向的兩條街道．某公園P位于商業(yè)中心北偏東角（，），且與