基于兒童立場的簡易方程研讀及思想方法剖析

基于兒童立場的簡易方程研讀及思想方法剖析摘要：簡易方程是人教版五年級上冊，數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容，它的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)直接影響著中學(xué)數(shù)學(xué)方程與函數(shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)度，但小學(xué)生不喜歡用方程解決問題仍然是目前教學(xué)的一個難點(diǎn)問題。因此基于兒童立場針對簡易方程單元，在課程標(biāo)準(zhǔn)要求、教科書中的概念與教學(xué)方法、作業(yè)分類分層設(shè)計(jì)、數(shù)學(xué)思想方法滲透等方面進(jìn)行了整體研讀，從小學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展的角度，提出一至四年級的教學(xué)中不要忽視早期代數(shù)知識的鋪墊，在算術(shù)教學(xué)中滲透一些簡單方程思想的建議。關(guān)鍵詞：兒童立場；簡易方程；數(shù)學(xué)思想方法；研讀TheSimpleEquation'sUnderstandingandAnalysisfromtheChildren'sPerspectiveAbstract:Thesimpleequationisanimportantteachingcontentinthemathematicstextbookforgrade5primarystudents.Theacquisitionofequationwoulddirectlyaffectstudents'studyoncomplexequationandfunctioninthemiddleschool.Thepaperpresentedthestandardrequirement,theconceptandteachingmethods,thelayereddesignofassignment,andthemaththinkingmethods,providingsuggestionsofearlierrelativeknowledgeintroducedduringthemathteachingfromgrade1tograde4.Keywords:children'sperspective;simpleequation;maththinkingmethods;understanding1問題的緣起在一次近期觀摩的《解簡易方程》數(shù)學(xué)示范課中，教師通過一系列等式與不等式的對比后得出“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。遺憾的是沒有學(xué)生能夠提出“那么學(xué)過的公式，例如正方形周長是否算作方程呢？”。這樣的現(xiàn)象一方面反映出教師講什么學(xué)生就學(xué)什么，缺少質(zhì)疑能力，另一方面作為教育工作者不得不思考：通過這樣學(xué)習(xí)后學(xué)生是否真正的理解了方程本質(zhì)？這樣理解方程對學(xué)生后繼學(xué)習(xí)列方程是否有影響？因此，在方程教學(xué)前教師很有必要對這部分內(nèi)容進(jìn)行整體的研讀，從兒童發(fā)展與需要的角度，讀透教材知識結(jié)構(gòu)與基本線索，深挖知識本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系。1.1簡易方程在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性簡易方程屬于早期代數(shù)的核心主題，在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中亦是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容。對簡易方程的理解程度直接影響小學(xué)后一階段分式方程的學(xué)習(xí)。而小學(xué)階段的早期代數(shù)基礎(chǔ)，又為初中的一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程以及高中階段三元方程、高次方程的理解提供了支持。甚至更大程度影響著學(xué)生今后關(guān)于方程與函數(shù)間的區(qū)分、認(rèn)識與理解。由此可以看出，學(xué)好簡易方程可提升代數(shù)的綜合應(yīng)用與理解能力，為中學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。1.2小學(xué)簡易方程教學(xué)中的難點(diǎn)問題1.2.1學(xué)生學(xué)習(xí)存在的障礙以及產(chǎn)生障礙的原因（1） 受算數(shù)思維定式，很難構(gòu)建與新內(nèi)容相匹配的認(rèn)知圖式。在第一學(xué)段（1至3年級）教師會盡量避免提及方程思想，學(xué)生慣性使用的算術(shù)法多是逆向思維。到了第二學(xué)段（4至6年級）突然接觸代數(shù)，方程的引入打破學(xué)生的常規(guī)，逆向思維到順向思維轉(zhuǎn)變的適應(yīng)度不夠。因此部分學(xué)生感受到學(xué)習(xí)更抽象、更有阻力了，與前一階段的學(xué)習(xí)不一樣了！產(chǎn)生了一定的學(xué)習(xí)壓力，有時甚至降低了學(xué)習(xí)熱情。（2） 列方程局限于模仿，沒有建模意識。學(xué)生對于方程認(rèn)識基于表層，并未感受到方程的出現(xiàn)是基于解決問題。學(xué)生在課堂上仿佛聽懂了教師的列方程解題思路，但稍加變化問題條件與結(jié)論，獨(dú)立完成就變得束手無策了。（3） 解方程的程序繁瑣、容易出錯。在算數(shù)法解題時只要能夠列式，計(jì)算便是輕車熟路。而列方程解應(yīng)用題需要順向思維，求未知數(shù)需要逆向思考。學(xué)生感覺計(jì)算繞來繞去后容易出錯，甚是不便。（4） 利用方程解決問題的優(yōu)越性不明顯。面對一個問題時，小學(xué)生總喜歡用最簡單直接的方法,而不想去理解更復(fù)雜的解決方案，除非嘗到其中甜頭。然而初學(xué)方程時教師提出的問題較簡單，算術(shù)法更易獲取答案。造成學(xué)生對方程的學(xué)習(xí)動機(jī)不高,興趣也不大。1.2.2教師教學(xué)存在的問題以及問題形成原因（1） 第一學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)沒有對方程做好鋪墊,扼殺了學(xué)生早期代數(shù)的萌芽。第一學(xué)段的教學(xué)中刻意強(qiáng)調(diào)算數(shù)法，抑制學(xué)生用類似方程形式思考呈現(xiàn)問題。這樣直接導(dǎo)致學(xué)生從低年級開始就認(rèn)為順向思維不能很好地解決問題，只有算術(shù)法才是解題最簡便的方法。但符號感的建立不能夠一朝一夕就完成，到第二學(xué)段才發(fā)現(xiàn)學(xué)生的符號感尚未建立為時稍晚。例如，“字母表示數(shù)”一課應(yīng)該是依據(jù)已有學(xué)習(xí)體驗(yàn)對早期代數(shù)中字母進(jìn)行抽象概括，但大部分學(xué)生課后依然不能完全表述字母可以表示哪些量。（2） 部分教師不重視方程教學(xué)，功利地應(yīng)付考試。一些教師認(rèn)為不需要知道什么是建模與方程思想，只要能讓學(xué)生列出方程，會解方程就行。另有一些教師認(rèn)為，學(xué)生初次接觸方程，不管怎么教都需要一個過渡與適應(yīng)期。如果應(yīng)付考試只要重復(fù)多次、依據(jù)公式練習(xí)自然就會“套用”了。也正因如此，雖然很多學(xué)生表面上聽懂了題目，一旦稍加變化則表現(xiàn)得束手無策?？梢钥闯鰧W(xué)生是在機(jī)械模仿，并未能體會方程帶來的便捷。生搬硬套的方式消磨了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣也不利于其思維發(fā)展。（3） 教師概念教學(xué)設(shè)計(jì)不夠完善，導(dǎo)致學(xué)生不能完全獨(dú)立列出方程。大部分小學(xué)教師在進(jìn)行簡易方程概念教學(xué)時，僅采用“天平的平衡性”幫助學(xué)生對簡易方程的結(jié)構(gòu)進(jìn)行理解。然后拋出方程的定義“含有未知數(shù)的等式叫做方程”。這樣的定義只能讓學(xué)生從表層判斷出哪些式子是方程。放到實(shí)際意義中卻不能理解等號兩邊為什么能夠、怎么能夠建立平衡。這樣的教學(xué)忽略了模型思想滲透，并未深刻讓學(xué)生理解“未知量也能與已知量建立某種相等關(guān)系”使問題得到解決。（4） 教師的解方程教學(xué)時規(guī)則過多，使學(xué)生感受不到方程妙處，反而認(rèn)為求解方程既繁瑣又易錯。其實(shí)學(xué)生對簡單方程的求解有自己的認(rèn)知，若擔(dān)心學(xué)生出錯而要求必須按照書本步驟，教條且按部就班，反而使計(jì)算失去了靈活度又容易出錯。（5） 大多數(shù)例題選擇利用算數(shù)法就能輕松解決，方程方法沒有提起學(xué)習(xí)動機(jī)。依據(jù)圖式理論與最近發(fā)展區(qū)理論，學(xué)生只有因舊的知識不足以解決新問題才不自覺引發(fā)對新知學(xué)習(xí)的渴望。但教材編排遵循了由易到難原則，考慮到學(xué)生方程學(xué)習(xí)中的接受能力，初學(xué)時的應(yīng)用題都是簡單的。學(xué)生算術(shù)法就能夠輕松獲取答案，感受不到方程法的益處。2簡易方程教材研讀與思想方法剖析對簡易方程教學(xué)中存在的種種問題，教師應(yīng)基于兒童需要對課程標(biāo)準(zhǔn)與教科書仔細(xì)研讀。在研讀過程中挖掘細(xì)節(jié)、叩問本質(zhì)、創(chuàng)新延伸。只有加深教師自身對教材蘊(yùn)含的方程內(nèi)容知識的理解，才能提高學(xué)生的邏輯抽象思維、分析問題、解決問題的能力［1］o以下將以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書五年級上冊［2］為例，基于兒童立場對簡易方程的學(xué)習(xí)進(jìn)行研讀與思想方法剖析。2.1基于兒童的認(rèn)知建構(gòu)，理解與反思課程標(biāo)準(zhǔn)要求義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）中對于方程的內(nèi)容在第一學(xué)段中沒有安排。第二學(xué)段的要求是：“在具體情境中學(xué)會用字母表示；結(jié)合簡單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，能用方程表示；能用方程表示簡單情景中的等量關(guān)系，了解方程的作用；了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程”⑶。雖然課程標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段中沒有提及簡易方程相關(guān)內(nèi)容，但教師在早期教學(xué)中忽略對代數(shù)必要引導(dǎo)與鋪墊，五年級學(xué)習(xí)“式與方程”就顯得非常不適應(yīng)。算術(shù)與代數(shù)的割裂是各國教育的傳統(tǒng)與現(xiàn)實(shí)，這種割裂某種程度上會使小學(xué)生忽視現(xiàn)實(shí)的代數(shù)情境的意義。使得學(xué)生失去在小學(xué)接受代數(shù)思維訓(xùn)練的良好時機(jī)，造成了學(xué)生后期學(xué)習(xí)代數(shù)的諸多困難。2.2基于兒童的認(rèn)知基礎(chǔ)，叩問方程本質(zhì)，創(chuàng)造性使用教科書簡易方程單元的第一節(jié)內(nèi)容為字母表示數(shù)。在小學(xué)階段依據(jù)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，可以將字母代表數(shù)歸結(jié)為幾類：（1）用字母表示任意數(shù)。（2）用字母代表某一類數(shù)。如，用字母N代表自然數(shù)；R代表實(shí)數(shù)；Q代表有理數(shù)。（3）用字母表示數(shù)量關(guān)系。如，運(yùn)算定律、路程公式、變化規(guī)律等數(shù)量關(guān)系。（4）用字母表示特定未知數(shù)。如，小紅出門帶了1。元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。教科書中雖有具體案例，但是并未幫助學(xué)生進(jìn)行概括、整理與歸類。教師在課堂上可以幫助學(xué)生依據(jù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，回憶、類比、舉例所學(xué)過的字母代替數(shù)字的例子，幫助學(xué)生總結(jié)得出：有時出現(xiàn)大量的數(shù)據(jù)、某個具體未知數(shù)據(jù)、或一種復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，用字母代替表示可以更方便地描述與幫助理解。對于用字母表示特定未知數(shù)的學(xué)習(xí)，也為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)行了鋪墊。簡易方程單元的第二節(jié)內(nèi)容為解簡易方程。內(nèi)容的第一部分是利用天平平衡引出“含有未知數(shù)的等式就是方程?！痹诖瞬挥傻孟肫饘W(xué)者傅贏芳提出的兩個疑問：“天平”是否反應(yīng)方程的本質(zhì)？“用字母表示未知數(shù)”是否反應(yīng)方程本質(zhì)？[4]雖然小學(xué)階段我們不必要一定對學(xué)生介紹完備的定義，但是這樣的定義略顯得只重形式而忽略實(shí)質(zhì)意義。這個定義還有一漏洞就是前一節(jié)內(nèi)容中的運(yùn)算定律、路程公式、類似函數(shù)的等式都可以包含于此定義，但它們并不屬于簡易方程。在此，筆者比較贊同張奠宙老先生對簡易方程做出的定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系?！盵5]要確定這樣的定義，教學(xué)引入中依然可以沿用第一節(jié)的內(nèi)容。例如：小紅出門帶了10元錢，買了一些水果花了B元，回家后剩下5元。還可以怎樣表達(dá)反映這句話的意思？相信不同的學(xué)生都有不同的表達(dá)方式，最后將學(xué)生引入到用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示：B+5=10或10-5=B或10-B=5等等。再讓學(xué)生討論哪種表達(dá)方式最簡潔、完備、容易理解且能快速獲得結(jié)果。最后在學(xué)生深入理解“把未知數(shù)與已知數(shù)建立關(guān)系”基礎(chǔ)上引出定義。簡易方程單元的第三節(jié)內(nèi)容為等式的性質(zhì)，學(xué)生能夠依據(jù)具體的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行理解與感悟，教師可以通過合作學(xué)習(xí)的方式讓學(xué)生操作、表達(dá)與交流。重點(diǎn)在于，學(xué)生能夠用不同的方法解釋出等式左右兩邊同時乘或除以一個不為0的數(shù)，等式的值不變。在理解基礎(chǔ)上的表達(dá)可以為后續(xù)的應(yīng)用做足準(zhǔn)備。簡易方程單元的第四節(jié)是解方程。在舊版本的教科書中是讓學(xué)生應(yīng)用四則運(yùn)算法則進(jìn)行求解，而新版本中是利用等式的性質(zhì)。筆者認(rèn)為可以大膽放手讓學(xué)生去猜想驗(yàn)證并說明算理。所謂算理就是說清楚為什么能這樣計(jì)算。只要學(xué)生說理正確清晰,沒有必要糾正學(xué)生必須使用新版本教科書的算理進(jìn)行計(jì)算。對于復(fù)雜的方程則可以采用劃“整體”的方法分析結(jié)構(gòu)，再歸結(jié)為已能夠解決的簡單的方程進(jìn)行計(jì)算。另外，可以對B+5=10或1。-5=5這兩種等式找找差異、找找相同點(diǎn)、做對比與小結(jié)，增進(jìn)學(xué)生算數(shù)與代數(shù)之間的鏈接認(rèn)識。2.3基于兒童的思維特點(diǎn)，對習(xí)題進(jìn)行分類分層次設(shè)計(jì)2.3.1對字母表示數(shù)的練習(xí)標(biāo)注所屬分類學(xué)生在練習(xí)的過程中應(yīng)該進(jìn)一步提升思維的系統(tǒng)性與完備性?？梢宰寣W(xué)生對習(xí)題分類并描述，加深對字母不僅可以表示一類數(shù)、特殊值還可以表示各種數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識。例如：教科書52至55頁，主要表現(xiàn)的是用字母表示數(shù)量關(guān)系。練習(xí)54頁第3題，使用字母表示運(yùn)算律；練習(xí)54頁第5題，使用字母表示公式。2.3.2對實(shí)際問題與方程進(jìn)行模塊化學(xué)習(xí)與練習(xí)實(shí)際問題與方程這一節(jié)是對字母表示特定未知數(shù)、方程、列方程、解方程的綜合應(yīng)用能力的培養(yǎng)。教科書的應(yīng)用題可以分類為：“和差問題”“和倍問題”“單價與總價問題，，“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”等。教師可以嘗試將應(yīng)用題分類后以模塊形式呈現(xiàn)和練習(xí)，讓學(xué)生從模塊學(xué)習(xí)中體會利用解決同一類問題時模型的優(yōu)勢。2.3.3拔高層次讓學(xué)生體會方程解決復(fù)雜問題的優(yōu)勢高年級小學(xué)生都不太喜歡利用方程解題，多數(shù)時候遇到難題就主動放棄。主要原因在于學(xué)習(xí)過程中沒有感受到方程的便利。教師可以制造一些特殊問題激發(fā)學(xué)生對方程的興趣。讓學(xué)生自發(fā)地感覺利用算術(shù)法的局限性，自覺主動地去探究方程的方法。建議教師對幾個模塊講解后拔高層次。首先,專設(shè)例如“雞兔同籠問題”“年齡問題”等模塊進(jìn)行訓(xùn)練。讓學(xué)生分別利用選擇算術(shù)法與方程法進(jìn)行計(jì)算，并討論算理與算法。在小組合作、探究、對比中，總結(jié)方程與算數(shù)法的優(yōu)缺點(diǎn)以及如何選擇使用。其次，平時注意積累、收集特殊現(xiàn)實(shí)問題（使用方程是唯一或者最簡便方法）。對其進(jìn)行情景設(shè)計(jì)并應(yīng)用于教學(xué)。例如，一快遞員上午送走了車內(nèi)一半的貨物，又增加了18件貨物，最后車內(nèi)貨物件數(shù)是原來貨物件數(shù)的兩倍，原來有幾件貨物？通過拋出這些類似的問題，讓學(xué)生在做與討論中感受到方程帶給人們的便捷。最后，設(shè)計(jì)開放性問題。對同一個問題不斷進(jìn)行條件與結(jié)論互相交換、增加條件，修改結(jié)論等等的變式訓(xùn)練，培養(yǎng)發(fā)散思維。讓學(xué)生養(yǎng)成不盲目照搬模型，遇到問題靈活應(yīng)變的習(xí)慣。2.4基于兒童的未來發(fā)展，剖析承載的思想方法字母表示數(shù)中體現(xiàn)“符號思想”。教師教學(xué)中要幫助學(xué)生認(rèn)識到：符號的參與使某些復(fù)雜的文字語言變成了簡單易讀的數(shù)學(xué)關(guān)系；人們可以從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律并用符號表示；利用符號表示數(shù)量關(guān)系，能夠比閱讀文字語言更快速提取其中的關(guān)系；在一定的算法下，符號關(guān)系還可以解決特定的問題。列方程體現(xiàn)“模型思想”。所謂模型，廣義理解就是現(xiàn)實(shí)生活中抽象出來的能夠解決某一類問題的數(shù)學(xué)關(guān)系。在模塊化學(xué)習(xí)中所提及的“和差問題”“和倍問題”“單價與總價問題”“行程問題（包括追及和相遇問題）”“盈虧問題”“工程問題”“銷售問題”“雞兔同籠問題”等，不正是學(xué)生之前學(xué)習(xí)過程中腦海里已建立起來的一個個模型嗎？小學(xué)生在五年級以前已經(jīng)接觸太多了！而五年級下學(xué)期，需要教師幫助學(xué)生系統(tǒng)地整理、歸類并總結(jié)：在解決實(shí)際問題時，可以先把它歸結(jié)為是否是已經(jīng)建立起來的模型的問題。如果是，可以利用已經(jīng)建立好的模型與問題條件進(jìn)行對應(yīng)并獲得等量關(guān)系。列方程與解方程中的“化歸思想”。列方程的過程是化歸為已知模型的過程。如果不是已知模型的問題，一樣可以在條件中分析對比出相似的模型