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本文格式為Word版,下載可任意編輯——高中物理競賽輔導(dǎo)《運(yùn)動(dòng)學(xué)》導(dǎo)學(xué)
高中物理競賽導(dǎo)學(xué)材料運(yùn)動(dòng)學(xué)
1.質(zhì)點(diǎn)的位移
2.直線運(yùn)動(dòng)/曲線運(yùn)動(dòng)的的速度和加速度3.運(yùn)動(dòng)的合成
4.拋體運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng):
運(yùn)動(dòng)的分解:固定坐標(biāo),瞬時(shí)坐標(biāo)速度和加速度的關(guān)聯(lián)性相對運(yùn)動(dòng)
兩線交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)矢量投影法
1.質(zhì)點(diǎn)的位置、位置矢量、位移:
(1)在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí),假使物體的大小和形狀在所研究的問題中可以忽略,把物體看作一個(gè)有質(zhì)量的幾何點(diǎn),這樣的物體就成為質(zhì)點(diǎn)。
(2)在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí),需要研究物體的空間位置。而物體的位置只能相對的確定,因此首先找出另一個(gè)物體作為參考,這個(gè)作為參考的物體叫做參考系。被選作參考系的物體,可認(rèn)為他是“靜止〞的。(3)參考系確定后,我們就可以在它上面適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系,來確定物體在空間的相對位置。
如圖A確立直角坐標(biāo)系o-xyz。質(zhì)點(diǎn)P的位置可由矢量r表示,r稱為P點(diǎn)相對于原點(diǎn)O的位矢(位置矢量)。r的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離,r的方向由方向余弦cosα、cosβ、cosγ決定,且cos2α+cosβ+cosγ=1.
2
2
質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),其位矢是時(shí)間的函數(shù),可記為r=r(t),稱作質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在直角坐標(biāo)系中,設(shè)i、j、k分別為沿x、y、z方向的單位矢量,則r可表示為r=x(t)i+y(t)j+z(t)k
1
由位矢r的矢端畫出的曲線稱為矢量的矢端曲線,亦即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。
4)經(jīng)過一段時(shí)間,物體P由p1(x1,y1,z1)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P2(x2,y2,z2)點(diǎn),其對應(yīng)位矢分別為r1,r2,則物體這段時(shí)間的位移為:Δr=r2-r1=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k。2.速度和加速度
1)平均速度:物體從t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到t+Δt時(shí)刻,其位移為Δr=r(t+Δt)-r(t),則物體在Δt時(shí)間內(nèi)的平
均速度為:?v??r?t平均速度僅提供了一段時(shí)間內(nèi)物體位置總變動(dòng)的方向和平均快慢。平均速度是矢量。
2)瞬時(shí)速度:如圖B所示,對物體的觀測時(shí)間Δt越短,平均速度就越能精細(xì)的反映物體的運(yùn)動(dòng)狀況,那么當(dāng)Δt越來越小時(shí),平均速度就越來越近t時(shí)刻的速度。當(dāng)Δt→0時(shí),平均速度的極限就能確切描寫t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢和方向:
?r????或v?limv?limv?i?vyj?vzk?t?0?t?0?tv就被稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度,簡稱速度,是矢量,其大?。此俾剩関?limv?lim|?r|
?t?0?t?0?t其方向?yàn)檠剀壽E在質(zhì)點(diǎn)所處的切線并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。
3)平均加速度和瞬時(shí)加速度:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),其速度的大小和方向都可能發(fā)生變化,為了反映其變化的快慢和
方向,就引入了平均加速度和瞬時(shí)加速度。設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間Δt,質(zhì)點(diǎn)的速度由v(t)變?yōu)関(t??t),速度增量Δv=v(t??t)-v(t)與發(fā)生這一增量所用的
????????v?v時(shí)間Δt之比稱為這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度,記為a:a=
?t?t???v在t至t+Δt時(shí)間內(nèi)a=當(dāng)Δt→0時(shí)的極限叫做t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度,簡稱加速度,記為a
?t??v?a?lim
?t?t?0加速度是矢量。它既反映速度大小的變化,又反映速度方向的變化。
3.直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng):
當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)是,我們可以取其軌跡直線為坐標(biāo)軸,設(shè)為x軸,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:
r=r(t)=x(t)i
亦可以用標(biāo)量函數(shù)x=x(t)描述質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng),即x=x(t)為質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1)勻速直線運(yùn)動(dòng):速度保持不變的運(yùn)動(dòng)v=Cx=x0+vt
2)勻變速直線運(yùn)動(dòng):加速度保持不變的運(yùn)動(dòng)。a=Cv=v0+at
2
x=x0+v0t+
12at2C表示常數(shù),x0表示質(zhì)點(diǎn)的初位置,v0表示質(zhì)點(diǎn)的初速度3)自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)
自由落體運(yùn)動(dòng)可以視為初速度v0=0,加速度a=g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。豎直上拋運(yùn)動(dòng)可以視為初速度豎直向上,加速度a=g的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。
4.曲線運(yùn)動(dòng):運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度方向與速度方向不在同一條直線上時(shí),質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。1)拋體運(yùn)動(dòng):運(yùn)動(dòng)過程中只受重力作用,質(zhì)點(diǎn)的加速度為重力加速度。物體在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),建立平面直角坐標(biāo)系,其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為:
??r=r(t)=x(t)i?y(t)j
說明質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)狀況需要由兩個(gè)獨(dú)立標(biāo)量函數(shù)x(t)和y(t)決定。
???由速度定義可知:v?i?vyj???由加速度定義可知:a?axi?ayj
設(shè)物體拋出時(shí)初速度v0與水平方向的夾角為θ,則有:=v0cosθ,vy=v0sinθ-gt
2
x=v0cosθ?t,y=v0sinθ?t-gt/2
由拋體運(yùn)動(dòng)方程可得出拋體的射高H和射程LH=
vsin022?2g20
sin2?vL=
g
2)圓周運(yùn)動(dòng),勻速圓周運(yùn)動(dòng)
??設(shè)質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度為v,則圓周運(yùn)動(dòng)的加速度a為
???a?an?at?vn?at?
R式中
2a稱為法向加速度,即向心加速度。na稱為切向加速度,tat?lim?v,就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率對時(shí)間的變
?t?0?t化率。n和?分別是法向方向單位矢和切線方向單位矢。
?質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),at=0,a?an??質(zhì)點(diǎn)做一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí),a?an?at?v2R?n
v2???n?at?
式中ρ為軌跡曲線上的某點(diǎn)曲率半徑,當(dāng)曲線為圓時(shí),曲率半徑ρ就是該圓的半徑R.5.矢量的合成和分解運(yùn)動(dòng)的合成
矢量:既有大小又有方向的量。矢量合成按平行四邊形法則或三角形法則。標(biāo)量:只有大小沒有方向的量。1)運(yùn)動(dòng)的合成和分解:
3
合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng):一個(gè)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往參與了幾個(gè)運(yùn)動(dòng),我們把這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫做分運(yùn)動(dòng),把這個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)叫做合運(yùn)動(dòng)。
合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系:
a)等時(shí)性:各個(gè)分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間與合運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間一致
b)獨(dú)立性:物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng),各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行不受其他分運(yùn)動(dòng)的影響。c)等效性:各分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律疊加起來與合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有一致的效果
d)運(yùn)動(dòng)的合成和分解包括位移、速度和加速度的合成和分解,遵守平行四邊形法則
例如我們可以把斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平勻速運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng),也可以分解為沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)。
2)相對運(yùn)動(dòng)對于質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng),選取不同的參考系得出的結(jié)論是不同的,這就是運(yùn)動(dòng)的相對性。同一運(yùn)動(dòng)
在不同參考系中的描述是可以轉(zhuǎn)化的。如:
rvA對B??rB對A,rA對B?rA對C?rC對B??vB對A,vA對B?vA對C?vC對B
A對B加速度也有類似關(guān)系。6.剛體剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)
剛體:在任何狀況下形狀大小都不發(fā)生變化的理想物體。把剛體分成大量小部分,每一部分都小到可以看作質(zhì)點(diǎn),叫做剛體的質(zhì)元。
剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的最基本運(yùn)動(dòng)形式是平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的平動(dòng):在運(yùn)動(dòng)中,如剛體上任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的位置都保持平行。對于任意質(zhì)元i和j,有:Vi=vj,ai=aj
剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng):剛體運(yùn)動(dòng)時(shí),所有質(zhì)元都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運(yùn)動(dòng),且圓心在該直線上,則稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。該直線稱作轉(zhuǎn)軸。
??lim距轉(zhuǎn)軸R的質(zhì)元i,繞軸做圓周運(yùn)動(dòng),在?t的時(shí)間內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)了??,定義瞬時(shí)角速度(簡稱角速度):
瞬時(shí)角加速度:??lim??
?t?0?t??
?t?0?t在?t?0時(shí)有弧長?s?R????r,所以有:
v?R?
a=?Rtan?v=?R22R
由于汽車在冰面上行駛時(shí)摩擦因數(shù)很小,所以其最大加速度不能超過a=0.5m/s2.根據(jù)要求,駕駛員必需在最短時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn),直線AB垂直于汽車的初始速度?,如圖1一1所示.假使A、B之間的距離AB=375m,而初速度?=10m/s,那么這個(gè)最短時(shí)間為多少?其運(yùn)動(dòng)軌跡是什么?:此題是一個(gè)典型的相對運(yùn)動(dòng)問題,而且用常規(guī)的方法是很難解出此題的,然而假使用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題,其難度卻可以大大降低。
坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換:汽車在A點(diǎn)不動(dòng),而讓B點(diǎn)以恒速?向汽車運(yùn)動(dòng)的相反方向運(yùn)動(dòng).在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車為了盡快與B點(diǎn)相遇,必須沿直線以恒加速度a向B點(diǎn)駛?cè)ィ僭O(shè)它們在D點(diǎn)相遇,如圖1—2所示.設(shè)AB=b,我們可以列出:
4
1b2?(?t)2?(at2)2①
2由①式可得:t?2?22?224b2?(2)?2②2aaa將數(shù)據(jù)代人②式得t=50s。
在地球坐標(biāo)系內(nèi),它的運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)不同方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),因而它的
運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線.
一路燈距地面的高度為h,身高為l的人以速度v勻速行走,如下圖.(1)試證明人的頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\(yùn)動(dòng).(2)求人影的長度隨時(shí)間的變化率.(1)見解析(2)
圖1—2
lvh?l(1)設(shè)t=0時(shí)刻,人位于路燈的正下方O處,在時(shí)刻t,人走到S處,根據(jù)題意有OS=vt①
過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點(diǎn)M為t時(shí)刻人頭頂影子的位置,如下圖,OM為人頭頂影子到O點(diǎn)的距離,由幾何關(guān)系,有
hl?②OMOM?OS聯(lián)立①②得OM=
圖2—1
hvt③h?l因OM與時(shí)間t成正比,故人頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\(yùn)動(dòng).(2)由圖可知,在時(shí)刻t,人影的長度為SM,由幾何關(guān)系,有SM=OM-OS④由①③④式得SM=
圖3—1細(xì)桿AB長l,端點(diǎn)A、B分別被約束在x和y軸上運(yùn)動(dòng),試求:
(1)桿上與A相距al(0?a?l)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡;
(2)假使圖中θ角和?A為已知,那么P點(diǎn)的x、y方向分運(yùn)動(dòng)速率?Px、
lvlvt可見影長SM與時(shí)間t成正比,所以影長隨時(shí)間的變化率為k=h?l。h?l?Py是多少?
此題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點(diǎn)在桿中的位置,而外部
約束是A、B分別被約束在x和y軸上運(yùn)動(dòng),這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。(1)桿A端在y軸上的位置用坐標(biāo)yA九表示,桿B端的位置用坐標(biāo),利用幾何關(guān)系,得出xp、yPxB表示,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(xp、yP)
5
與xB、yA的關(guān)系為
xPal??axBlyPl?al??1?ayAl即xP?axB?alsin?
圖3—1
yP?(1?a)xA?(1?a)lcos?
22xPyP??1由以上兩式,得22(al)?(1?a)l?這是一個(gè)橢圓方程,故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓.
(2)設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi),P點(diǎn)坐標(biāo)的改變量為?xP和?yP,桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為?yA和?xB,利用P點(diǎn)坐標(biāo)與A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有
?xP?x?y?y?aB,P?(1?a)A?t?t?t?t根據(jù)速度分量的定義,當(dāng)△t?0時(shí)?Px?a?B,?Py?(1?a)?A式中?A和?B分別是A端和B端的速度.由AB桿不可伸長,有?Aco?s??Bs?in最終得出P點(diǎn)的速度分量為
?Px?a?Acot??Py?(1?a)?A
細(xì)桿可視作剛體,桿的運(yùn)動(dòng)可視為沿y軸向下的平動(dòng)和桿繞A點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。B點(diǎn)沿x軸運(yùn)
動(dòng),即B點(diǎn)的合運(yùn)動(dòng)。由此可求出B端繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度和角速度,進(jìn)而可以求出P點(diǎn)的速度。
拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見,如乒乓球運(yùn)動(dòng).現(xiàn)探討乒乓球發(fā)球問題,設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高h(yuǎn),乒乓球反彈前后水平分速度不變,豎直分速度大小不變、方向相反,且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力.(設(shè)重力加速度為g)
(1)若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度v1水平發(fā)出,落在球臺(tái)的P1(如圖實(shí)線所示),求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離s1;
(2)若球在O點(diǎn)正上方以速度v2水平發(fā)出,恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)的P2點(diǎn)(如圖虛線所示),求v2的大小;
(3)若球在O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后,球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺(tái)邊緣P3處,求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h3.
6
(1)v12h14Lg(2)(3)h
322hg12gt12(1)如圖甲所示,設(shè)發(fā)球時(shí)飛行時(shí)間為t,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h1?s1=v1t1解得s1=v1
2h1g(2)如圖甲所示,設(shè)發(fā)球高度為h2,飛行時(shí)間為t2,同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h2=
1Lg2gt2,s2?v2t2,且h2=h,2s2=L得v2=222h(3)如圖乙所示,設(shè)發(fā)射高度為h3,飛行時(shí)間為t3,同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)得h3=且3s3=2L設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t,水平距離為l,有h3-h=由幾何關(guān)系知,s3+l=L解得h3=
12gt3,s3?v3t32
12gt,l?v3t24h3自我檢測:(每題20分,合計(jì)100分。時(shí)間45分)
1.處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S,同時(shí)同向開始運(yùn)動(dòng).甲以初速?0、加速度a1向乙作勻加速運(yùn)動(dòng),乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)兩車相互超前時(shí)各不影響,試探討兩車相遇的條件及對應(yīng)的
相遇次數(shù).
2.在傾角為??30足夠長的斜坡上,以初速度?0發(fā)射一炮彈,設(shè)?0與斜坡的夾角為
0??600,如圖1所示,求炮彈落地點(diǎn)離發(fā)射點(diǎn)的距離L.
3.兩直桿l1、l2,交角為θ,交點(diǎn)為A,若二桿各以垂直于自身的速度?1、?2圖1
沿著紙平面運(yùn)動(dòng),如圖2所示.求交點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)速度的大?。?/p>
圖2
4.半徑為R的剛性圓環(huán)豎直的在剛性水平面上做純滾動(dòng)圓
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