高中物理競賽輔導(dǎo)《運(yùn)動(dòng)學(xué)》導(dǎo)學(xué)

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高中物理競賽導(dǎo)學(xué)材料運(yùn)動(dòng)學(xué)

1.質(zhì)點(diǎn)的位移

2.直線運(yùn)動(dòng)/曲線運(yùn)動(dòng)的的速度和加速度3.運(yùn)動(dòng)的合成

4.拋體運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)：

運(yùn)動(dòng)的分解：固定坐標(biāo)，瞬時(shí)坐標(biāo)速度和加速度的關(guān)聯(lián)性相對運(yùn)動(dòng)

兩線交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)矢量投影法

1.質(zhì)點(diǎn)的位置、位置矢量、位移：

（1）在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，假使物體的大小和形狀在所研究的問題中可以忽略，把物體看作一個(gè)有質(zhì)量的幾何點(diǎn)，這樣的物體就成為質(zhì)點(diǎn)。

（2）在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要研究物體的空間位置。而物體的位置只能相對的確定，因此首先找出另一個(gè)物體作為參考，這個(gè)作為參考的物體叫做參考系。被選作參考系的物體，可認(rèn)為他是“靜止〞的。（3）參考系確定后，我們就可以在它上面適當(dāng)?shù)倪x取坐標(biāo)系，來確定物體在空間的相對位置。

如圖A確立直角坐標(biāo)系o-xyz。質(zhì)點(diǎn)P的位置可由矢量r表示，r稱為P點(diǎn)相對于原點(diǎn)O的位矢（位置矢量）。r的長度為質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)之間的距離，r的方向由方向余弦cosα、cosβ、cosγ決定，且cos2α+cosβ+cosγ=1.

2

2

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位矢是時(shí)間的函數(shù)，可記為r=r（t），稱作質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)i、j、k分別為沿x、y、z方向的單位矢量，則r可表示為r=x（t）i+y（t）j+z（t）k

1

由位矢r的矢端畫出的曲線稱為矢量的矢端曲線，亦即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

4)經(jīng)過一段時(shí)間，物體P由p1（x1，y1，z1）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P2（x2，y2，z2）點(diǎn)，其對應(yīng)位矢分別為r1，r2，則物體這段時(shí)間的位移為：Δr=r2-r1=（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k。2.速度和加速度

1）平均速度：物體從t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)到t+Δt時(shí)刻，其位移為Δr=r（t+Δt）-r（t），則物體在Δt時(shí)間內(nèi)的平

均速度為：?v??r?t平均速度僅提供了一段時(shí)間內(nèi)物體位置總變動(dòng)的方向和平均快慢。平均速度是矢量。

2）瞬時(shí)速度：如圖B所示，對物體的觀測時(shí)間Δt越短，平均速度就越能精細(xì)的反映物體的運(yùn)動(dòng)狀況，那么當(dāng)Δt越來越小時(shí)，平均速度就越來越近t時(shí)刻的速度。當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度的極限就能確切描寫t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)快慢和方向：

?r????或v?limv?limv?i?vyj?vzk?t?0?t?0?tv就被稱為質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度，簡稱速度，是矢量，其大?。此俾剩関?limv?lim|?r|

?t?0?t?0?t其方向?yàn)檠剀壽E在質(zhì)點(diǎn)所處的切線并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。

3）平均加速度和瞬時(shí)加速度：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度的大小和方向都可能發(fā)生變化，為了反映其變化的快慢和

方向，就引入了平均加速度和瞬時(shí)加速度。設(shè)經(jīng)過一段時(shí)間Δt，質(zhì)點(diǎn)的速度由v(t)變?yōu)関(t??t)，速度增量Δv=v(t??t)-v(t)與發(fā)生這一增量所用的

????????v?v時(shí)間Δt之比稱為這段時(shí)間內(nèi)的平均加速度，記為a：a=

?t?t???v在t至t+Δt時(shí)間內(nèi)a=當(dāng)Δt→0時(shí)的極限叫做t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，簡稱加速度，記為a

?t??v?a?lim

?t?t?0加速度是矢量。它既反映速度大小的變化，又反映速度方向的變化。

3.直線運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻變速直線運(yùn)動(dòng)：

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)是，我們可以取其軌跡直線為坐標(biāo)軸，設(shè)為x軸，則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

r=r（t）=x（t）i

亦可以用標(biāo)量函數(shù)x=x（t）描述質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)，即x=x（t）為質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。1）勻速直線運(yùn)動(dòng)：速度保持不變的運(yùn)動(dòng)v=Cx=x0+vt

2）勻變速直線運(yùn)動(dòng)：加速度保持不變的運(yùn)動(dòng)。a=Cv=v0+at

2

x=x0+v0t+

12at2C表示常數(shù)，x0表示質(zhì)點(diǎn)的初位置，v0表示質(zhì)點(diǎn)的初速度3）自由落體運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)

自由落體運(yùn)動(dòng)可以視為初速度v0=0，加速度a=g的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。豎直上拋運(yùn)動(dòng)可以視為初速度豎直向上，加速度a=g的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。

4.曲線運(yùn)動(dòng)：運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的加速度方向與速度方向不在同一條直線上時(shí)，質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)。1）拋體運(yùn)動(dòng):運(yùn)動(dòng)過程中只受重力作用，質(zhì)點(diǎn)的加速度為重力加速度。物體在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，建立平面直角坐標(biāo)系，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為：

??r=r（t）=x(t)i?y(t)j

說明質(zhì)點(diǎn)平面運(yùn)動(dòng)狀況需要由兩個(gè)獨(dú)立標(biāo)量函數(shù)x（t）和y（t）決定。

???由速度定義可知：v?i?vyj???由加速度定義可知：a?axi?ayj

設(shè)物體拋出時(shí)初速度v0與水平方向的夾角為θ，則有：=v0cosθ,vy=v0sinθ-gt

2

x=v0cosθ?t,y=v0sinθ?t-gt/2

由拋體運(yùn)動(dòng)方程可得出拋體的射高H和射程LH=

vsin022?2g20

sin2?vL=

g

2）圓周運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)

??設(shè)質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，在t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速度為v，則圓周運(yùn)動(dòng)的加速度a為

???a?an?at?vn?at?

R式中

2a稱為法向加速度，即向心加速度。na稱為切向加速度，tat?lim?v，就是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速率對時(shí)間的變

?t?0?t化率。n和?分別是法向方向單位矢和切線方向單位矢。

?質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，at=0，a?an??質(zhì)點(diǎn)做一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，a?an?at?v2R?n

v2???n?at?

式中ρ為軌跡曲線上的某點(diǎn)曲率半徑，當(dāng)曲線為圓時(shí)，曲率半徑ρ就是該圓的半徑R.5.矢量的合成和分解運(yùn)動(dòng)的合成

矢量：既有大小又有方向的量。矢量合成按平行四邊形法則或三角形法則。標(biāo)量：只有大小沒有方向的量。1）運(yùn)動(dòng)的合成和分解：

3

合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)：一個(gè)物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)往往參與了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，我們把這幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫做分運(yùn)動(dòng)，把這個(gè)實(shí)際運(yùn)動(dòng)叫做合運(yùn)動(dòng)。

合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：

a)等時(shí)性：各個(gè)分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間與合運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間一致

b)獨(dú)立性：物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，各分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行不受其他分運(yùn)動(dòng)的影響。c)等效性：各分運(yùn)動(dòng)的規(guī)律疊加起來與合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有一致的效果

d)運(yùn)動(dòng)的合成和分解包括位移、速度和加速度的合成和分解，遵守平行四邊形法則

例如我們可以把斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平勻速運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)，也可以分解為沿初速度方向的勻速運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)。

2）相對運(yùn)動(dòng)對于質(zhì)點(diǎn)的同一運(yùn)動(dòng)，選取不同的參考系得出的結(jié)論是不同的，這就是運(yùn)動(dòng)的相對性。同一運(yùn)動(dòng)

在不同參考系中的描述是可以轉(zhuǎn)化的。如：

rvA對B??rB對A，rA對B?rA對C?rC對B??vB對A，vA對B?vA對C?vC對B

A對B加速度也有類似關(guān)系。6.剛體剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體：在任何狀況下形狀大小都不發(fā)生變化的理想物體。把剛體分成大量小部分，每一部分都小到可以看作質(zhì)點(diǎn)，叫做剛體的質(zhì)元。

剛體的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的最基本運(yùn)動(dòng)形式是平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的平動(dòng)：在運(yùn)動(dòng)中，如剛體上任意一條直線在各個(gè)時(shí)刻的位置都保持平行。對于任意質(zhì)元i和j，有：Vi=vj，ai=aj

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，所有質(zhì)元都在與某一直線垂直的諸平面上作圓周運(yùn)動(dòng)，且圓心在該直線上，則稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。該直線稱作轉(zhuǎn)軸。

??lim距轉(zhuǎn)軸R的質(zhì)元i，繞軸做圓周運(yùn)動(dòng)，在?t的時(shí)間內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)了??，定義瞬時(shí)角速度（簡稱角速度）：

瞬時(shí)角加速度：??lim??

?t?0?t??

?t?0?t在?t?0時(shí)有弧長?s?R????r,所以有：

v?R?

a=?Rtan?v=?R22R

由于汽車在冰面上行駛時(shí)摩擦因數(shù)很小，所以其最大加速度不能超過a=0.5m/s2．根據(jù)要求，駕駛員必需在最短時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，直線AB垂直于汽車的初始速度?，如圖1一1所示．假使A、B之間的距離AB=375m，而初速度?=10m/s，那么這個(gè)最短時(shí)間為多少？其運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？：此題是一個(gè)典型的相對運(yùn)動(dòng)問題，而且用常規(guī)的方法是很難解出此題的，然而假使用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換法解此題，其難度卻可以大大降低。

坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：汽車在A點(diǎn)不動(dòng)，而讓B點(diǎn)以恒速?向汽車運(yùn)動(dòng)的相反方向運(yùn)動(dòng)．在此坐標(biāo)系內(nèi)汽車為了盡快與B點(diǎn)相遇，必須沿直線以恒加速度a向B點(diǎn)駛?cè)ィ僭O(shè)它們在D點(diǎn)相遇，如圖1—2所示．設(shè)AB=b，我們可以列出：

4

1b2?(?t)2?(at2)2①

2由①式可得：t?2?22?224b2?(2)?2②2aaa將數(shù)據(jù)代人②式得t＝50s。

在地球坐標(biāo)系內(nèi)，它的運(yùn)動(dòng)是兩個(gè)不同方向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而它的

運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線．

一路燈距地面的高度為h,身高為l的人以速度v勻速行走,如下圖.(1)試證明人的頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\(yùn)動(dòng).(2)求人影的長度隨時(shí)間的變化率.(1)見解析(2)

圖1—2

lvh?l(1)設(shè)t=0時(shí)刻,人位于路燈的正下方O處,在時(shí)刻t,人走到S處,根據(jù)題意有OS=vt①

過路燈P和人頭頂?shù)闹本€與地面的交點(diǎn)M為t時(shí)刻人頭頂影子的位置,如下圖,OM為人頭頂影子到O點(diǎn)的距離,由幾何關(guān)系,有

hl?②OMOM?OS聯(lián)立①②得OM=

圖2—1

hvt③h?l因OM與時(shí)間t成正比,故人頭頂?shù)挠白幼鰟蛩龠\(yùn)動(dòng).(2)由圖可知,在時(shí)刻t,人影的長度為SM,由幾何關(guān)系,有SM=OM-OS④由①③④式得SM=

圖3—1細(xì)桿AB長l,端點(diǎn)A、B分別被約束在x和y軸上運(yùn)動(dòng)，試求：

(1）桿上與A相距al(0?a?l)的P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；

(2)假使圖中θ角和?A為已知，那么P點(diǎn)的x、y方向分運(yùn)動(dòng)速率?Px、

lvlvt可見影長SM與時(shí)間t成正比,所以影長隨時(shí)間的變化率為k=h?l。h?l?Py是多少？

此題中的內(nèi)部約束就是桿長和P點(diǎn)在桿中的位置，而外部

約束是A、B分別被約束在x和y軸上運(yùn)動(dòng)，這樣就確定了它們之間的幾何關(guān)系。(1)桿A端在y軸上的位置用坐標(biāo)yA九表示，桿B端的位置用坐標(biāo)，利用幾何關(guān)系，得出xp、yPxB表示，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（xp、yP）

5

與xB、yA的關(guān)系為

xPal??axBlyPl?al??1?ayAl即xP?axB?alsin?

圖3—1

yP?(1?a)xA?(1?a)lcos?

22xPyP??1由以上兩式，得22(al)?(1?a)l?這是一個(gè)橢圓方程，故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓．

(2)設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)，P點(diǎn)坐標(biāo)的改變量為?xP和?yP，桿A、B兩端坐標(biāo)的相應(yīng)改變量為?yA和?xB，利用P點(diǎn)坐標(biāo)與A、B兩端坐標(biāo)在幾何上的關(guān)連有

?xP?x?y?y?aB，P?(1?a)A?t?t?t?t根據(jù)速度分量的定義，當(dāng)△t?0時(shí)?Px?a?B，?Py?(1?a)?A式中?A和?B分別是A端和B端的速度．由AB桿不可伸長，有?Aco?s??Bs?in最終得出P點(diǎn)的速度分量為

?Px?a?Acot??Py?(1?a)?A

細(xì)桿可視作剛體，桿的運(yùn)動(dòng)可視為沿y軸向下的平動(dòng)和桿繞A點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。B點(diǎn)沿x軸運(yùn)

動(dòng)，即B點(diǎn)的合運(yùn)動(dòng)。由此可求出B端繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度和角速度，進(jìn)而可以求出P點(diǎn)的速度。

拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見,如乒乓球運(yùn)動(dòng).現(xiàn)探討乒乓球發(fā)球問題,設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高h(yuǎn),乒乓球反彈前后水平分速度不變,豎直分速度大小不變、方向相反,且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力.(設(shè)重力加速度為g)

(1)若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度v1水平發(fā)出,落在球臺(tái)的P1(如圖實(shí)線所示),求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離s1;

(2)若球在O點(diǎn)正上方以速度v2水平發(fā)出,恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)的P2點(diǎn)(如圖虛線所示),求v2的大小;

(3)若球在O點(diǎn)正上方水平發(fā)出后,球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對方球臺(tái)邊緣P3處,求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h3.

6

(1)v12h14Lg(2)(3)h

322hg12gt12(1)如圖甲所示,設(shè)發(fā)球時(shí)飛行時(shí)間為t,根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h1?s1=v1t1解得s1=v1

2h1g(2)如圖甲所示,設(shè)發(fā)球高度為h2,飛行時(shí)間為t2,同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)h2=

1Lg2gt2,s2?v2t2,且h2=h,2s2=L得v2=222h(3)如圖乙所示,設(shè)發(fā)射高度為h3,飛行時(shí)間為t3,同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)得h3=且3s3=2L設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t,水平距離為l,有h3-h=由幾何關(guān)系知,s3+l=L解得h3=

12gt3,s3?v3t32

12gt,l?v3t24h3自我檢測：（每題20分，合計(jì)100分。時(shí)間45分）

1．處于一平直軌道上的甲、乙兩物相距S，同時(shí)同向開始運(yùn)動(dòng)．甲以初速?0、加速度a1向乙作勻加速運(yùn)動(dòng)，乙作初速為零、加速度為a2的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩車相互超前時(shí)各不影響，試探討兩車相遇的條件及對應(yīng)的

相遇次數(shù)．

2．在傾角為??30足夠長的斜坡上，以初速度?0發(fā)射一炮彈，設(shè)?0與斜坡的夾角為

0??600，如圖1所示，求炮彈落地點(diǎn)離發(fā)射點(diǎn)的距離L．

3．兩直桿l1、l2，交角為θ，交點(diǎn)為A，若二桿各以垂直于自身的速度?1、?2圖1

沿著紙平面運(yùn)動(dòng)，如圖2所示．求交點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)速度的大?。?/p>

圖2

4.半徑為R的剛性圓環(huán)豎直的在剛性水平面上做純滾動(dòng)圓