高中物理第五章曲線運(yùn)動(dòng)第七節(jié)生活中的圓周運(yùn)動(dòng)課堂探究學(xué)案新人

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第七節(jié)生活中的圓周運(yùn)動(dòng)

課堂探究

探究一火車(chē)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題分析

問(wèn)題導(dǎo)引

火車(chē)在鐵軌上轉(zhuǎn)彎可以看成是做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火車(chē)速度提高易使外軌受損。如何解決火車(chē)高速轉(zhuǎn)彎時(shí)使外軌受損這一難題呢？

提醒：火車(chē)速度提高，簡(jiǎn)單擠壓外軌，損壞外軌?；疖?chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)的向心力由重力和支持力的合力提供，可適當(dāng)增大轉(zhuǎn)彎半徑或者增加內(nèi)、外軌的高度差。

名師精講

1．彎道的特點(diǎn)

在實(shí)際的火車(chē)轉(zhuǎn)彎處，外軌高于內(nèi)軌。若火車(chē)轉(zhuǎn)彎所需向心力完全由重力和支持力的合

v20

力提供，即mgtanθ＝m，如下圖，則v0＝gRtanθ，其中R為彎道半徑，θ為軌道

R平面與水平面的夾角(tanθ≈)，v0為轉(zhuǎn)彎處的規(guī)定速度。

hL

2．明確圓周平面

雖然外軌高于內(nèi)軌，但整個(gè)外軌是等高的，整個(gè)內(nèi)軌也是等高的。因而火車(chē)在行駛過(guò)程中，重心的高度不變，即火車(chē)重心的軌跡在同一平面內(nèi)。故火車(chē)的圓周平面是水平面，而不是斜面。即火車(chē)的向心加速度和向心力均沿水平面指向圓心。

3．速度與軌道壓力的關(guān)系

(1)當(dāng)火車(chē)行駛速度v＝gRtanθ時(shí)，所需向心力僅有重力和彈力的合力提供，此時(shí)內(nèi)

外軌道對(duì)火車(chē)均無(wú)擠壓作用。

(2)當(dāng)火車(chē)行駛速度v與規(guī)定速度v0不相等時(shí)，火車(chē)所需向心力不再僅由重力和彈力的合力提供，此時(shí)內(nèi)外軌道對(duì)火車(chē)輪緣有擠壓作用，具體狀況如下：

①當(dāng)火車(chē)行駛速度v＞gRtanθ時(shí)，外軌對(duì)輪緣有側(cè)壓力；②當(dāng)火車(chē)行駛速度v＜gRtanθ時(shí)，內(nèi)軌對(duì)輪緣有側(cè)壓力。

特別提醒汽車(chē)、摩托車(chē)賽道拐彎處，高速馬路轉(zhuǎn)彎處設(shè)計(jì)成外高內(nèi)低，也是盡量使車(chē)受到的重力和支持力的合力提供向心力，以減小車(chē)輪受到地面施加的側(cè)向擠壓。

有一列重為100t的火車(chē)，以72km/h的速率勻速通過(guò)一個(gè)內(nèi)外軌一樣高的彎道，軌道半徑為400m。(g取10m/s)

(1)試計(jì)算鐵軌受到的側(cè)壓力；

(2)若要使火車(chē)以此速率通過(guò)彎道，且使鐵軌受到的側(cè)壓力為零，我們可以適當(dāng)傾斜路基，試計(jì)算路基傾斜角度θ的正切值。

點(diǎn)撥：第(1)問(wèn)中，外軌對(duì)輪緣的側(cè)壓力提供火車(chē)轉(zhuǎn)彎所需要的向心力；第(2)問(wèn)中，重力和鐵軌對(duì)火車(chē)的支持力的合力提供火車(chē)轉(zhuǎn)彎的向心力。

2

v2105×202

解析：(1)外軌對(duì)輪緣的側(cè)壓力提供火車(chē)轉(zhuǎn)彎所需要的向心力，所以有FN＝m＝

r400

N＝1×10N。

由牛頓第三定律可知鐵軌受到的側(cè)壓力大小等于10N。

(2)火車(chē)過(guò)彎道，重力和鐵軌對(duì)火車(chē)的彈力的合力正好提供向心力，如下圖，則mgtan

5

5

v2

θ＝m

r

v2

由此可得tanθ＝＝0.1。

rg答案：(1)1×10N(2)0.1

題后反思(1)處理這類(lèi)題目需要弄清兩個(gè)方面的問(wèn)題：一是向心力來(lái)源，二是火車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)軌道平面和圓心。(2)汽車(chē)、摩托車(chē)賽道拐彎處，高速馬路轉(zhuǎn)彎處設(shè)計(jì)成外高內(nèi)低，也是盡量使車(chē)受到的重力和支持力的合力提供向心力。

探究二汽車(chē)過(guò)橋問(wèn)題分析

問(wèn)題導(dǎo)引

如下圖，在某次軍事演習(xí)中，一輛戰(zhàn)車(chē)以恒定的速度在起伏不平的路面上行進(jìn)，戰(zhàn)車(chē)

5

在哪一點(diǎn)對(duì)路面的壓力最大？在哪一點(diǎn)對(duì)路面的壓力最小呢？

提醒：在最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)路面的壓力最大；在最高點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)對(duì)路面的壓力最小。

名師精講

1．關(guān)于汽車(chē)過(guò)拱形橋問(wèn)題，用圖表概括如下：

汽車(chē)過(guò)凸形橋汽車(chē)過(guò)凹形橋受力分析向心力的來(lái)源對(duì)橋的壓力v2F＝mg－FN＝mRv2FN′＝mg－mr(1)當(dāng)v＝gr時(shí)，F(xiàn)N＝0。v2F＝FN－mg＝mRv2FN′＝mg＋mrv增大，F(xiàn)N增大，由牛頓第三定律知，車(chē)對(duì)橋面的壓力也增大探討(2)當(dāng)0≤v＜gr時(shí)，0＜FN≤mg(3)當(dāng)v＞gr時(shí)，汽車(chē)脫離橋面，發(fā)生危險(xiǎn)2.汽車(chē)在凸形橋的最高點(diǎn)處于失重狀態(tài)，在凹形橋的最低點(diǎn)處于超重狀態(tài)。如下圖，質(zhì)量m＝2.0×10kg的汽車(chē)以不變的速率先后駛過(guò)凹形橋面和凸形橋面，兩橋面的圓弧半徑均為20m。假使橋面承受的壓力不得超過(guò)3.0×10N，則：

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(1)汽車(chē)允許的最大速率是多少？

(2)若以所求速度行駛，汽車(chē)對(duì)橋面的最小壓力是多少？(g取10m/s)

點(diǎn)撥：首先要確定汽車(chē)在何位置時(shí)對(duì)路面的壓力最大，汽車(chē)經(jīng)過(guò)凹形路面時(shí)，向心加速度方向向上，汽車(chē)處于超重狀態(tài)；經(jīng)過(guò)凸形路面時(shí)，向心加速度向下，汽車(chē)處于失重狀態(tài)，所以汽車(chē)經(jīng)過(guò)凹形路面最低點(diǎn)時(shí)，汽車(chē)對(duì)路面的壓力最大。

解析：(1)汽車(chē)在凹形橋底部時(shí)，由牛頓其次定律得：

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v2

FN－mg＝mr代入數(shù)據(jù)解得v＝10m/s。

(2)汽車(chē)在凸形橋頂部時(shí)，由牛頓其次定律得：

v2

mg－FN′＝m

r代入數(shù)據(jù)得FN′＝1.0×10N。

由牛頓第三定律知汽車(chē)對(duì)橋面的最小壓力是1.0×10N。答案：(1)10m/s(2)1.0×10N

題后反思在汽車(chē)經(jīng)過(guò)拱形橋或類(lèi)似的物體經(jīng)過(guò)豎直曲線做圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題中，一般在軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)分析受力列方程，無(wú)論該類(lèi)題目的具體內(nèi)容如何，通過(guò)分析受力，找出提供的向心力列方程求解是最基本的方法。

探究三豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)

問(wèn)題導(dǎo)引

小球分別在輕繩(如圖甲)和輕桿(如圖乙)的一端繞另一端在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)思考：

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5

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(1)小球要在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度能為零嗎？(2)小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，與繩(或桿)之間的作用力可以為零嗎？

提醒：由于繩不能產(chǎn)生支持力，而桿可以，所以甲圖中小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速度不可能為零，乙圖中小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度可以為零；若小球與繩(或桿)之間沒(méi)有作用力，則只有重力提供向心力，所以在最高點(diǎn)時(shí)小球與繩(或桿)之間的作用力可以為零。

名師精講

物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，尋常受彈力和重力兩個(gè)力的作用，物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)，我們只研究在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)兩種情形，具體狀況又可分為以下兩種：

模型臨界條件小球沿豎直光滑軌道內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖。小球恰好過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿(mǎn)足彈力FT最高點(diǎn)受力分析①v＞gR時(shí)，繩或軌道對(duì)小球產(chǎn)生向下的拉力或壓力；細(xì)繩牽拉型的圓周運(yùn)動(dòng)小球在細(xì)繩作用下在豎直平＝0，即mg＝v2m，則小球在R②v＝gR時(shí)，繩或軌道對(duì)小球剛好不產(chǎn)生作用力；③v＜gR時(shí)，小球不能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球沒(méi)有到達(dá)最高點(diǎn)就脫離了軌道①v＞gR時(shí)，桿或管的外側(cè)產(chǎn)生向下的拉力或壓力；②v＝gR時(shí)，球在最高點(diǎn)只受重力，不受桿或管的作用力；面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖。豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界速度v質(zhì)點(diǎn)在豎直放置的光滑細(xì)管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖。＝gR。由于桿和管能對(duì)小球產(chǎn)生向上的支輕桿支撐型的圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)被一輕桿拉著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如下圖。持力，故小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是最高點(diǎn)速度恰好為零③v＜gR時(shí)，桿或管的內(nèi)側(cè)產(chǎn)生向上的支持力。特別提醒解答豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，首先要明顯了是繩模型還是桿模型，繩模v2

型的臨界條件是mg＝m，即v＝gR，桿模型的臨界條件是v＝0，v＝gR對(duì)桿