工程流體水力學第四章習題答案

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第四章理想流體動力學和平面勢流答案

4－1設(shè)有一理想流體的恒定有壓管流，如下圖。已知管徑d1?11d2，d2?D，22過流斷面1-1處壓強p1>大氣壓強pa。試按大致比例定性繪出過流斷面1-1、2-2間的總水頭

線和測壓管水頭線。

解：總水頭線、測壓管水頭線，分別如圖中實線、虛線所示。

4－2設(shè)用一附有液體壓差計的皮托管測定某風管中的空氣流速，如下圖。已知壓差計的讀數(shù)h＝150mmH2O，空氣的密度ρa=1.20kg/m3，水的密度ρ=1000kg/m3。若不計能量損失，即皮托管校正系數(shù)c=1，試求空氣流速u0。

解：由伯努利方程得

p0u02p??s?ag2g?agu0?2g(ps?p0)（1）?ag式中ps為駐點壓強。由壓差計得p0??gh?ps

ps?p0??gh（2）

聯(lián)立解（1）（2）兩式得

u0?2g?gh?h1000?2g?2?9.8??0.15m/s?49.5m/s?ag?a1.24－3設(shè)用一裝有液體（密度ρs=820kg/m3）的壓差計測定寬渠道水流中A點和B點的

流速，如下圖。已知h1=1m，h2=0.6m，不計能量損失，試求A點流速uA和B點流速uB。水的密度ρ=1000kg/m3。

解：（1）uA?2gh1?2?9.8?1m/s?4.427m/s（2）由伯努利方程可得

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uA2pAhA??（1）

2g?guB2pBhB??（2）

2g?g式中hA、pA和hB、pB分別為A點和B點處的水深和駐點壓強。由（1）、（2）式可得

2pA?pBuA2uB?hA??hB?（3）?g2g2g由壓差計得，pA??ghA??gh2??sgh2??ghB?pB，所以

pA?pB?hA?h2?0.82h2?hB(4)?g由（3）式、（4）式得

22uBuA4.4272??h2(1?0.82)??0.6(1?0.82)?0.8922g2g2?9.8uB?2?9.8?0.892m/s?4.18m/s。

4－4設(shè)有一附有空氣－水倒U形壓差計裝置的皮托管，來測定管流過流斷面上若干點的流速，如下圖，已知管徑d=0.2m，各測點距管壁的距離y及其相應(yīng)的壓差計讀數(shù)h分別為：y=0.025m，h=0.05m；y=0.05m，h=0.08m；y=0.10m，h=0.10m。皮托管校正系數(shù)c=1.0，試求各測點流速，并繪出過流斷面上流速分布圖。

解：因u?c2gh，所以

u1?c2gh1?1?2?9.8?0.05m/s?0.99m/su2?c2gh2?1?2?9.8?0.08m/s?1.25m/su3?c2gh3?1?2?9.8?0.10m/s?1.40m/s

過流斷面上的流速分布如下圖。

4－5已知ux??yx,u?,uz?0,試求該滾動的速度勢函數(shù)，并檢查速度yx2?y2x2?y2勢函數(shù)是否滿足拉普拉斯方程。

解：(1)在習題3－19中，已判別該滾動為有勢流，所以存在速度勢函數(shù)?。

d??uxdx?uydy??yx?ydx?xdy1ydx?dy??d()222222yx?yx?yx?y1?()2xx27

積分上式可得??arctanyx?2???y2xy?()?,（2）

?x2?xx2?y2(x2?y2)2?2??x?2xy?2??(2)?2,2?02222?y?yx?y(x?y)?z2xy2xy??0?0222222(x?y)(x?y)滿足拉普拉斯方程。

4－6已知ux??yxu?，，uz?0，試求該滾動的流函數(shù)?和流線方程、yx2?y2x2?y2跡線方程。

解：(1)在習題3－8中，已判別該滾動滿足連續(xù)性方程，所以存在流函數(shù)?。等流函數(shù)線方程即為流線方程。

y?uydx?0d??uxd，?yxdy?dx?02222x?yx?yd(x2?y2)yx?0dy?2dx?0，22222x?yx?yx?y積分上式可得

??ln(x2?y2)?C

（2）跡線方程

dxdy??yxx2?y2x2?y2?(x2?y2)xdx?(x2?y2)ydy

d(x2?y2)ydyxdx?0?2?0，22222x?yx?yx?ydxdy?，uxuy積分上式可得

ln(x2?y2)?C

4－7已知ux=－ky，uy=kx，uz=0，試求該滾動的流函數(shù)?和流線方程、跡線方程及其形狀（k是不為零的常數(shù)）。

解：流函數(shù)和流線方程：d??uxdy?uydx??kydy?kxdx??[d(x?y)]積分上式可得

k222??x2?y2

dxdydz??跡線方程:

-kykx0x2?y2?r2，z?C

由上式可知，流線為平行于Oxy平面的同心圓族，由于恒定流的流線與流線上液體質(zhì)點的跡線相重合，所以跡線亦是同心圓族，液體質(zhì)點作圓周運動。

4－8已知ux=4x，uy=－4y，試求該滾動的速度勢函數(shù)和流函數(shù)，并繪出滾動圖形。解：由習題3－8和3－19，可知該滾動存在流函數(shù)?和速度勢函數(shù)?。

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?????uy??4y?ux?4x，?y?xd??uxdx?uydy?4xdx?4ydy?2d(x2?y2)

積分上式可得：??2(x?y)

22?????ux?4x，??uy?4y?y?xd??uxdy?uydx?4xdy?4ydx?4d(xy)

積分上式可得??4xy滾動圖形如題4－16圖所示。

4－9已知Φ=a（x2－y2），式中a為實數(shù)且大于零。試求該滾動的流函數(shù)?。

解：ux???????2ay?2ax，uy??y?xd??uxdy?uydx?2axdy?2aydx?2ad(xy)

Mcos?，式中M是不為零的常數(shù)。試求該滾動的流函2π?積分上式可得??2axy

4－10已知速度勢函數(shù)??數(shù)，并繪出滾動圖形。

解：u??對?積分可得

??M1????M??cos????cos?，??2??2?????2????MMd??f(?)???cos?d??f(?)??sin??f(?)??2π?2π????上式對ρ取偏導數(shù)，則

??M'?sin??f(?)??u?2??2π???M?2sin?又?u??????2π?'由上兩式可得f(?)?0，即f(?)＝常數(shù)。因此可得

M???sin?

2π?上述滾動即為偶極流。滾動圖形可參照題4—10圖。題4-10圖

4－11已知流函數(shù)?=3x2y－y3，試判別是有勢流還是有渦流。證明任一點的流速大小僅取決于它與坐標原點的距離ρ。

解：ux??????3x2?3y2,uy????6xy?y?x?u?ux??6y,y??6y，所以是有勢流。?y?x22u2?ux?uy?9(x2?y2)2?36x2y2?9(x2?y2)2?9?4

u?3?2，所以任一點的流速大小僅取決于它與坐標原點的距離。

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4-12設(shè)水平面流場中的速度分布為u?u??k?，u??0，k是不為零的常數(shù)，如圖所

示。試求流場中壓強p的分布。設(shè)ρ=∞，uj=0處的壓強為p∞；水的密度為ρF。

解：由例3-6（如題4-12圖所示）知，該流體運動除原點（ρ=0）外，是有勢流。因是有勢流，理想流體恒定流伯努利方程式適用于整個有勢流；又因在同一水平面內(nèi)，所以流場

22u?u??Fp?pk2?F中除原點（ρ=0，u=?）外，，因此p?p??。由上???p???Fg2g?Fg22?2式可知，壓強p隨半徑ρ的減小而降低。

4-13水桶中的水從桶底中心小孔流出時，常在孔口上面形成旋轉(zhuǎn)滾動，水面成一漏斗形，如圖a所示。流速場在平面內(nèi)，如圖b所示，可表示為u?u??的常數(shù)。試求自由水面曲線的方程式。

解：該流體滾動除原點（ρ=0）外，是有勢流。因是有勢流，理想流體恒定流伯努利方

程式適用于整個有勢流，滾動剖面如下圖。

當ρ??時，水面高程為h；另取自由表面上任意點M，對上述兩點寫伯努利方程，可得

22u?k2uMk2,z?h?,該式即為自由表面方程式。h?z??z??z?2g?22g2g2g?24－14直角（90）彎頭中的滾動，設(shè)為平面勢流，如下圖。已知彎頭內(nèi)、外側(cè)壁的

題4-12圖

k?，uρ=0，k是不為零

曲率半徑r1、r2分別為0.4m和1.4m，直段中均勻來流的流速為10m/s，流體密度為1.2kg/m3。試求彎頭內(nèi)外側(cè)壁處的流速和內(nèi)外側(cè)壁的壓強差。

解：由例4－6（如題4-14圖所示）知彎段內(nèi)的流速分布為u??常數(shù)。k值可由連續(xù)性