機(jī)械系統(tǒng)非線性振動及其控制

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(僅供參考)

第一章單自由度線性振動

2.一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動，如下圖所示。試列出其振動微分方程，并求出其固有頻率。

解：該系統(tǒng)可視為單自由度無阻尼系統(tǒng)，一起靜平衡點(diǎn)作為振動原點(diǎn)，列出其振動微分方程如下：

x0mx?k?由于其固有角頻率為

所以其固有頻率為

?n?km

f?2??n

4.如下圖所示，有一等截面的懸臂梁，其質(zhì)量不計(jì)。在梁的自由端有兩個集中質(zhì)量m1與m2，由電磁鐵吸住。今在梁靜止時開啟電磁鐵開關(guān)，使m2突然釋放。試求m1的振幅。

解：根據(jù)題意，題給懸臂梁系統(tǒng)可等效為一無阻尼單自由度彈簧系統(tǒng)。

根據(jù)材料力學(xué)的知，懸臂梁右端點(diǎn)初始靜撓度為

??m1?m2?gl3??1???

3EI??此時梁右端點(diǎn)的剛度，即彈簧的等效剛度為

3EIk1???m1?m2?g/?1??3

l當(dāng)m2突然被釋放后，m1和梁組成新的彈簧系統(tǒng)，彈簧的靜平衡長度為

?m1gl3??2???

?3EI?新系統(tǒng)的彈簧的等效剛度為k2??m1g/?2??m1的振幅為A??12??22?(2m1?m2)m2gl3/3EI

6.某洗衣機(jī)機(jī)器部分重15kN，用四個彈簧對稱支承，每個彈簧的剛度為k=820N/cm。

(1)試計(jì)算此系統(tǒng)的臨界阻尼系數(shù)cc；

(2)這個系統(tǒng)裝有四個阻尼緩沖器，每個阻尼系數(shù)c=16.8N·s/cm。試問此系統(tǒng)自由振動時經(jīng)過多少時間后，振幅衰減到10%？(3)衰減振動的周期是多少？解：（1）系統(tǒng)的固有角頻率為

3EI3l4k4?820?102?n???14.79rad/s3m15?10/10臨界阻尼系數(shù)為

cc?2mn?2m?n?2m4k?4kmm

?4820?10?29.57N.s/cm315?10/102

（2）每個彈簧系統(tǒng)的衰減系數(shù)n?c/2(m/4)?2c/m?2.24系統(tǒng)在任一時刻的振幅與初始時刻的振幅比為

A0e?nt???e?nt

A0當(dāng)系統(tǒng)的振幅衰減到10%時，自由振動經(jīng)歷的時間t?1111ln?ln?1.03sn?2.240.1（3）有阻尼系統(tǒng)的固有角頻率為

2?n2?14.792?2.242?14.62rad/s?r??n有阻尼系統(tǒng)的周期為Tr?2??r?2??0.43s14.62

其次章多自由度線性振動

1.如下圖所示，一根兩端固定的軸上裝有兩個飛輪，各部分尺寸如下圖(單位為mm)，飛輪材料之比重為??0.077N/cm3，軸的剪切彈性模量

G?7.8?104N/mm2試求系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)固有頻率。

解：飛輪的轉(zhuǎn)動慣量

I1?I2?0.306kg.m2

軸的扭轉(zhuǎn)剛度

k?1?k?2?k?3?306N/m系統(tǒng)振動的質(zhì)量矩陣為

?IM??1?0剛度矩陣為

0??0.3060?????I2??00.306??k?1?k?2K????k?1特征方程為

?k?2??612?306????k?2?k?3??306612???

2612?0.306?ni?306?306?02612?0.306?ni解得系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)的固有頻率為?n1?1.0,?n2?3

2.如下圖，已知，m1=m，m2=2m，k1=k2=k3=k，試求彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有圓頻率及主振型。

解：系統(tǒng)無阻尼自由振動微分方程為MX?KX?0

式中

?m0??2kM??，K????k?02m??系統(tǒng)的特征方程為

22k?m?ni?k?k??2k??k?022k?2m?ni系統(tǒng)固有頻率為

3?3k23?3k,?n2?2m2m2?n1?特征向量為

?1??1?A(1)??1?3?,A(2)??1?3?

?????????2??2?主振型

A??A(1)?1A(2)???1?3???2??1?3?2??13.如下圖，已知k1?k2?k3?k，m1?m2?m3?m，P1?P2?P3?Psin?t，

??1.25k。各階振型阻尼比為?1??2??3?0.01。求各質(zhì)量的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)m

解：該系統(tǒng)無阻尼自由振動方程為MX?KX?0

式中

?m00??2k?，K???k0m0M????????00m???0?k2k?k0??k??k