高等數(shù)學(xué)A（下）復(fù)習(xí)題（同濟(jì)第六版）

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高等數(shù)學(xué)A(下)期末復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1.設(shè)函數(shù)z?f(x,y)?xy，則以下各式中正確的是（）22x?yA.f(x,)?f(x,y)B.f(x?y,x?y)?f(x,y)C.f(y,x)?f(x,y)D.f(x,?y)?f(x,y)2．設(shè)f(x,y)?ln(x?A.2ln(x?yxx2?y2)，其中x?y?0，則f(x?y,x?y)?（）。

1y)B.ln(x?y)C.(lnx?lny)D.2ln(x?y)

2yx223.若f(x?y,)?x?y,則f(?1,2)?（）。

A.

11B.?C.3D.?3334．設(shè)f(x,y)?11xf(,)?（），則22xyx?yxyxy2x2yx2y2A.2B.2C.2D.22222x?yx?yx?yx?y(xy?1)2?（）.5.Lim(x,y)?(0,0)xA.0B.1C.?D.不存在6．極限limx?0y?0x2?y21?x?y?122＝（）。

A.-2B.2C.不存在D.0

x2y27.二重極限lim4的值（）.

x?0x?y4y?0A.0B.1C.

1D.不存在28.f(x,y)?ln(xy2)?1?x?y的定義域是（）.

A.{(x,y)|x?y?1}B.{(x,y)|0?x?y?1}

C.{(x,y)|0?x,x?y?1}D.{(x,y)|0?x,0?y,x?y?1}9．函數(shù)z?14?x2?y2?x2?y2?1的定義域是（）

A.{(x,y)|1?x2?y2?4}B.{(x,y)|1?x2?y2?4}C.{(x,y)|1?x2?y2?4}D.{(x,y)|1?x2?y2?4}10.設(shè)f(x,y)?x3y?xy2?2x?3y?1，則fy?(3,2)?（）

A.39B.40C.41D.4211．設(shè)z?x2y?exy，則

?z?y(1,2)?（）

2A.1?eB.1?eC.1?2eD.1?2e

12.設(shè)z?exy，則

222?z|(1,2)?（）?x2A.4eB.4eC.2eD.2e13.f(x,y,z)?A.?x2?y2?z2，則梯度gradf(1,1,?3)的值為（）．

111；B.?1,2,?2?；C.?22?1?11,111,?3??；D.011?14．f(x,y)?2?x?y的極值點(diǎn)是（）A.（1，－1）B.（1，1）C.（0，0）D.（0，2）

15．函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的()。A.必要而非充分條件B.充分而非必要條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件

16、函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)是它在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的：A.必要而非充分條件；B.充分而非必要條件；C.充分必要條件；D.既非充分又非必要條件。

17．設(shè)函數(shù)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，且fx?(x0,y0)?0,fy?(x0,y0)?0，

fxx??(x0,y0)?0,fyy??(x0,y0)?0，則函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)處（）.

A.必有極值，可能是極大，也可能是微小B.可能有極值，也可能無極值

C.必有極大值D.必有微小值18．設(shè)f(x,y)?xy,則f(x,y)在(0,0)點(diǎn)處().

A.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在B.不連續(xù)也不存在偏導(dǎo)數(shù)C.連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在D.不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在

?xy,(x,y)?(0,0)?19.二元函數(shù)f(x,y)??x2?y2在點(diǎn)（0,0）處（）

?(x,y)?(0,0)?0,A.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在B.連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

C.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在D.不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在

220.設(shè)z?f(x,y)?cos(xy)，則f'')?（）xx(1,2?A.

??B.?C.?D.??

22xy21．設(shè)z?e，則dz＝()。

A.edxB.exy(ydx?xdy)C.ydx?xdyD.exy(dx?dy)

xy?2z22．設(shè)二元函數(shù)z?ecosy，則?（）

?x?yxA.exsinyB.ex?exsinyC.?excosyD.?exsiny

?2z23.設(shè)z?cos(xy)，則2＝（）

?y2A.xsin(xy)B.?xsin(xy)C.xcos(xy)D.?xcos(xy)24．以下說法正確的是()A.偏導(dǎo)數(shù)存在是該點(diǎn)連續(xù)的充分條件C.偏導(dǎo)數(shù)存在是該點(diǎn)可微的必要條件

2222224242B.偏導(dǎo)數(shù)存在是該點(diǎn)可微的充要條件D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是該點(diǎn)可微的充要條件

25．函數(shù)u?8xy?2y?4x?6z在原點(diǎn)沿向量a?{2，3，1}方向的方向?qū)?shù)為（）。A.?814B.

228144C.

314D.?314

??u26．函數(shù)u?x?y?z?3xy在點(diǎn)M(1,1,1)處沿l?{1,2,2}方向的方向?qū)?shù)

?l（）A.

M為

531B.C.{1,2,2}D.{?1,4,2}353

?27．函數(shù)u?8xy?2y?4x?6z在原點(diǎn)沿向量a?{2,3,1}方向的方向?qū)?shù)為（）

22A.?83314B.

814C.

14D.?14

28．函數(shù)z?2x2?y2在點(diǎn)P(1,1)處的梯度方向的方向?qū)?shù)等于（）A.5B.?5C.25D.?2529.設(shè)z?ex?2y,x?sint,y?t3，則dzdt?（）。A.esint?2t3(cost?6t2)B.z?esint?2t3(cost?3t2)

C.esint?2t3(?cost?6t2)；D.z?esint?2t3(cost?3t2)。30．設(shè)f(xy,x?y)?x2?y2，則f'x(x,y)?f'y(x,y)?()A.2?2yB.2?2yC.2x?2yD.2x?2y

31．設(shè)z?f(x,y,x),f可微，則

?zy?y?()

A.f2?B.?xy2f3?C.f2??xy2f3?D.f2??xy2f3?32.設(shè)z?exy，則?2z?x?y＝（）。

A.exy(1?xy)B.exy(1?y)C.exy(1?x)D.exy?xy

33．設(shè)f(r)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，而r?x2?y2,u?f(r)，則?2u?2u?x2??y2=（A.f??(r)B.f??(r)?1rf?(r)C.f??(r)?1rf?(r)D.r2f??(r)34.設(shè)f(x,y)?ln(x?2y3x)，則fy?(1,0)?（）A.

23B.32C.1D.035.設(shè)D:x2?y2?1,則

??xdxdy＝（）.

DA.?B.1C.0D.2?36．設(shè)域D：x2

+y2

≤1,f是域D上的連續(xù)函數(shù)，則

??f(x2?y2)dxdy?()

D

）。

A.2??rf(r)drB.4??rf(r)drC.2??001110f(r)drD.4??rf(r)dr

02r37．設(shè)積分區(qū)域D?{(x,y)|x2?y2?1,x?0,y?0}，則A.2?B.?C.38．設(shè)D是矩形域0?x???d?＝()。

D??D.24π，?1?y?1，則??xcos(2xy)dxdy的值為().4DA.0B.?111C.D.24239、設(shè)積分區(qū)域D是圓環(huán)1?x2?y2?4，則二重積分A.C.

??Dx2?y2dxdy?（）

??2?02?d??r2drB.?142?02?d??rdr

140d??rdrD.?1220d??rdr

1240．設(shè)I1???(x?y)D2其中D?{(x,y)|(x?2)2?(y?1)2?1}，d?,I2???(x?y)3d?，

D則（）

A.I1?I2B.I1?I2C.I1?I2D.無法比較

2241．設(shè)D:x?y?1,則?ye??xdxdy＝（）.D2A.?(1?e)B.?(1?)C.0D.?(1?)42．設(shè)D由x?0,y?1,y?x圍成，則

A.D.

1e1e??f(x,y)dxdy?（）

D?1010ydy?f(x,y)dx01B.

?1?x10dx?f(x,y)dy0xC.

?10dy?f(x,y)dx

y1?dy?f(x,y)dx

043．交換二次積分順序后，A.C.

?10dx?0f(x,y)dy=（）。

11?x001?y?10dy?f(x,y)dxB.?dy?01f(x,y)dxf(x,y)dx

dxdydz化為三次積22????x?y?1?1-x0dy?f(x,y)dxD.?dy?001102244.設(shè)?是平面z?1與旋轉(zhuǎn)拋物面x?y?z所圍區(qū)域，則

分等于（）A.

?2?0d??12?11rrdrdzd?drB.?r2?0?r21?r2?0dz01?r21

?111rrdr?2dzD.?d??2dr?dzC.?d??001?r2r??r1?r2045．設(shè)f(x,y)連續(xù)，且f(x,y)?xy???f(u,v)dudv，其中D是由y?0,y?x2,x?1?1D所圍區(qū)域，則f(x,y)＝()A.xyB.2xyC.xy?1D.xy?1846．設(shè)f(x,y)在D:x2?y2?1,y?0連續(xù)，則A.

??f(x,y)d??（）

D1-x201?x21?x2?2?0d??f(rcos?,rsin?)rdrB.?dx?01101f(x,y)dy

f(x,y)dy

C.

??0d??f(rcos?,rsin?)rdrD.??1dx??0147.若區(qū)域D為(x,y)|x?1，y?1,則

－1

????xeDDcos(xy)。sin(xy)dxdy＝（）

A.eB.eC.0D.π48.設(shè)D由x?0,y?1,y?x圍成，則A.

C.

??f(x,y)dxdy?().

1x00?10dy?f(x,y)dxB.?dx?f(x,y)dy

01?10dy?f(x,y)dxD.?dy?f(x,y)dx

y0011y49．設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則積分

?dx?01x20f(x,y)dy??dx?11x222?x0f(x,y)dy

22?x可交換積分次序?yàn)?)A．C.

?101dy?f(x,y)dx??dy?01y22?y0f(x,y)dxB.?dy?f(x,y)dx??dy?00112?x0x0f(x,y)dx

?0dy?2?yyf(x,y)dxD.?dy?2f(x,y)dx

50.交換二次積分順序后，A.C.

?10dx?1?x0f(x,y)dy=（）

11?x00?10dy?f(x,y)dxB.?dy?011001f(x,y)dxf(x,y)dx

?1-x0dy?f(x,y)dxD.?dy?1?y051．在公式

?f(?,?)????f(x,y)d??lim?D?0iii?1?(xe??D2ni中?是指（）

A.最大小區(qū)間長(zhǎng)度B.小區(qū)域最大面積C.小區(qū)域直徑D.小區(qū)域最大直徑

2252.設(shè)D:x?y?1,則?y2)dxdy＝（）.

A.?(1?e)B.?(1?)C.?(e?1)D.?(1?)

1e1e

x2y2253．設(shè)L表示橢圓2?2?1，方向逆時(shí)針，則?(x?y)dx?（）

LabA.πabB.-πabC.a?bD.054.設(shè)L是y=4x從(0,0)到(1,2)的一段，則

22

22?yds?（）

LA.

?0x1?4xdxB.?22023y2x2y1?dyC.?x1?dxD.?1?4y2dy

004455.設(shè)L是從點(diǎn)A（1，0）到點(diǎn)B（-1，2）的弧段，則曲線積分A.2B.22C.2D.0

222256．設(shè)?為球面x?y?z?a（a?0），則

?L(x?y)ds=（）

1dS的值為（）。??222x?y?z?4πaD.4π322257.設(shè)S是球面x2?y2?z2?R2，則曲面積分??(x?y?z)dS?（）

A.2πB.3πC.

SA.?RB.2?RC.4?RD.6?R58.設(shè)L是從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,1)的直線段，則

4444?L2yds?()。

A.5B.

510C.10D.2259．用格林公式求由曲線C所圍成區(qū)域D的面積A，則A=()

A.C.

?Cxdy?ydx

B.D.

?Cydx?xdy

1xdy?ydx2?CL1ydx?xdy2?C60.已知曲線積分

?F(x,y)(ydx?xdy)與積分路徑無關(guān)，則F(x,y)必滿足條件（）

A.xFy?yFxB.xFy?yFx?0C.xFx?yFyD.xFx?yFy61.設(shè)L為連接（1，0）及（0，1）兩點(diǎn)的直線段，則

?(x?y)ds?().

LA.2B.1C.2D.362.設(shè)L為從點(diǎn)A（1，1）到點(diǎn)B（1，0）的直線，則以下等式正確的是（）A.

11xdx?1xdy?1yds??ydy??B.C.D.???L?LLL22

63.若曲線積分

A.??L(x2?3y)dx?(ax?sin2y)dy與路徑無關(guān)，則常數(shù)a?（）。

11B.?3C.D.333x2y2264．設(shè)L表示橢圓2?2?1，方向逆時(shí)針，則?(x?y)dx?（）

LabA.?abB.??abC.a?bD.065．設(shè)L是從點(diǎn)A(1,0)到點(diǎn)B(-1,2)的有向弧段，則曲線積分

22?(x?y)ds?()。

LA.2B.22C.2D.066．曲線弧A.C.

上的曲線積分和

上的曲線積分有關(guān)系()

??ABf(x,y)ds???f(x,y)dsB.?BABAABf(x,y)ds??f(x,y)ds

BABAABf(x,y)ds??f(?x,?y)ds?0D.?f(x,y)ds??f(?x,?y)ds

AB67．設(shè)I?()A.C.

????zdv，其中??{(x,y,z,)x2?y2?z2?1,z?0}，經(jīng)球坐標(biāo)變換后，I?

?2??00d??2d??r3sin?cos?drB.?d??d??r2sin?dr

012??1000?2?0d??d??rsin?cos?drD.?d??2d??r3sin?cos?dr

3000002

?12??1

68.設(shè)L是y=4x從(0,0)到(1,2)的一段，則

222?Lyds?（）

A.

?0x1?4x2dxB.?101x2?y?y1???dyC.?x1?dx

04?2?D.

?01?4y2dy

22?yx?P?Qy?x69．設(shè)I???cx2?y2dx?x2?y2dy,，由于?y??x?(x2?y2)2，所以（）

A.對(duì)任意閉曲線C，I?0;

B.在曲線C不圍住原點(diǎn)時(shí)，I?0；?PC.因與?Q在原點(diǎn)不存在，故對(duì)任意的閉曲線C，I?0；

?x?yD.在閉曲線C圍住原點(diǎn)時(shí)I=0，不圍住原點(diǎn)時(shí)I?0。70.級(jí)數(shù)

??(?1)nn?11。(p?0)的斂散狀況是（）pn

A.p?1時(shí)絕對(duì)收斂，p?1時(shí)條件收斂B.p?1時(shí)絕對(duì)收斂，p?1時(shí)條件收斂C.p?1時(shí)發(fā)散，p?1時(shí)收斂D.對(duì)任何p?0，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

71．當(dāng)|x|?1時(shí)，冪級(jí)數(shù)

?(?1)n?0?n。x3n?1的和函數(shù)為（）

A.

xxxx??B.C.D.

1?x31?x31?x31?x372．級(jí)數(shù)

?(?1)nn?1?1n?12（）

A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定73.若級(jí)數(shù)

?un?1?n收斂，則級(jí)數(shù)

?(?1)n?1?nun（）

A.收斂但不絕對(duì)收斂B.絕對(duì)收斂C.發(fā)散D.斂散性不確定74．以下冪級(jí)數(shù)中收斂區(qū)間為??1,1?的是（）

???1n1n(?1)nnA.?2xB.?xC.?xD.?xn

nn?1nn?1nn?1n?1?75.以下級(jí)數(shù)中條件收斂的是（）

???nnn1n1A.???1?；B.???1?n；C.???1?2；D.???1?

n?1nnn?1n?1n?1n?1n???76．已知級(jí)數(shù)

2收斂，則對(duì)于級(jí)數(shù)aa?n?n，以下說法正確的是（）n?1n?1A.必定收斂B.必定發(fā)散C.條件收斂D.可能收斂，也可能發(fā)散77.若無窮級(jí)數(shù)

?nn?1?1a?1收斂，則a滿足（）。

A.a?0B.a?0C.a?1D.a?1

78．以下級(jí)數(shù)中發(fā)散的是（）

3n?2nA.?2B.?5nn?12n?1n?1?1??11nC.?D.(?)?22nn?1100n?11?n?1?(?1)nn79.設(shè)級(jí)數(shù)?(?1)(),則該級(jí)數(shù)().

nn?1?nA.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.不確定

80．以下說法正確的是（）

A.若

?un?1??n發(fā)散，則必有l(wèi)imun?0B.若limun?0，則

n??n???un?1?n必收斂

C.若

?un?1?n收斂，則必有l(wèi)imun?0D.

n???un?1?n的斂散性與limun?0無關(guān)

n??81.以下級(jí)數(shù)中收斂級(jí)數(shù)是（）

???1n15?2nA.?B.C.D.(1?)???22nn3n?12n?1n?11?nn?1n?182.以下級(jí)數(shù)條件收斂的是（）

???n1nn1n1A.?(?1)B.?(?1)C.?(?1)D.?(?1)21?nn(1?n)nnn?1n?1n?1n?1n??2n?n!3n?n!83．設(shè)級(jí)數(shù)?（1）與級(jí)數(shù)?（2），則（）nnnnn?1n?1?A.級(jí)數(shù)（1）（2）都收斂B.級(jí)數(shù)（1）（2）都發(fā)散

C.級(jí)數(shù)（1）發(fā)散，級(jí)數(shù)（2）收斂D.級(jí)數(shù)（1）收斂，級(jí)數(shù)（2）發(fā)散

?xnn(?1)84.冪級(jí)數(shù)?2n?3的收斂區(qū)間為（）n?01)B.??1,1C.?1,1?D.?1,1A.(?1,85．設(shè)k是非零常數(shù)，則

?????n?0?(?1)nk1?n2（）

A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.斂散性與k有關(guān)

86.微分方程y???(y?)?1滿足初始條件y|x?0?0,y?|x?0?1的特解為（）

222A.y?xB.y?x?xC.y?2x?xD.y?3x?x

287.微分方程y???22yy??2?0滿足初始條件y|x?0?0,xxy?|x?0?1的特解為（）

222A.y?xB.y?x?xC.y?2x?xD.y?3x?x

4x*88.在微分方程y''?8y'?16y?(1?x)e中用待定系數(shù)法可設(shè)其特解y?（）A.(ax?b)eB.x(ax?b)eC.x(ax?b)eD.(ax?bx?c)e89.微分方程y?y???(y?)的通解為（）.

cxx?xA.y?c2e1B.y?cC.y?eD.y?ce

24x4x24x24x

90.微分方程xy???yy??1?0的通解為（）A.y?cx?1B.y?cx?112C.y?cx2?1D.y?cx?cc91.微分方程y???sinx的通解y?（）

A.?sinx?C1x?C2B.?sinx?C1?C2C.sinx?C1?C2D.sinx?C1x?C292.微分方程y???2y??e?2xcosx的特解形式為().e?2x(acosx?bsinx)B.xe?2x(acosx?bsinx)C.ae?2xcosxD.axe?2xcosx

93.函數(shù)y?C?sinx（C為任意常數(shù)）是微分方程d2ydx2?sinx的（）A.通解B.特解C.不是解D.既不是通解也不是特解94．以下方程中，哪個(gè)不是二階微分方程()。

A.xy?2?2yy??x?0B.x2y???xy??y?0

C.Ld2Qdt2?RdQdt?1CQ?0D.y???3y?095．微分方程y??yx?0滿足y(2)?1的特解是（）．A.y?42x?2x2B.y?xC.y?eD.y?log2x

96．以下微分方程中，（）是線性微分方程。

A.y??x?2y?lnx?y2?0B.y??x2?xy?ey；

C.y???ex?ysinx?lnxD.y?y?xy???cosx

97．設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y?c?x1?c2e，則對(duì)應(yīng)的微分方程為()

A.y???y??0B.y???y?0C.y???y??0D.y???y?098．已知一個(gè)二階線性齊次微分方程的特征根r1?r2??2，則這個(gè)微分方程是（A.y???2y??y?0B.y???2y??y?0C.y???22y??2y?0D.y???22y??2y?099．以下方程中，不是微分方程的是（）.

）；A.

?d2y?yy?A.dy?3xdx?0B.sin?C.e?sin(xy)D.y????y???y??1?e?dx2???2100．以下函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)線性相關(guān)的是().

A.cos2x,sin2xB.ex,e2xC.sinxcosx,2sin2xD.x,x3

***101．設(shè)y1是y???py??qy?f(x)的三個(gè)特解，則（）是相應(yīng)齊次方程的解.,y2,y3***********A.y1B.3y1C.y1D.?y1?y2?y2?y3?y2?2y3?2y2?y3

二、填空題

1．函數(shù)z?ye2x在點(diǎn)（0,1）處沿向量{?1212,1212}方向的方向?qū)?shù)為。

2.函數(shù)z?ye2x在點(diǎn)（0,1）處沿向量{?,}方向的方向?qū)?shù)為.3．函數(shù)f(x,y)?x2?xy?y2在點(diǎn)（1,1）處方向?qū)?shù)的最大值為.??u4．函數(shù)u?x?y?z?3xy在點(diǎn)M(1,1,1)處沿l?{1,2,2}的方向?qū)?shù)

?l224M?。

5．函數(shù)z?x2?y2在點(diǎn)（1,2）處沿從點(diǎn)A（1,2）到點(diǎn)B（2,2＋3）的方向的方向?qū)?shù)等于。

6．曲線x?e,y?2t,z??e222t?3t在對(duì)應(yīng)于t?0點(diǎn)處的切線方程為。

7．曲面z?4?x?y在點(diǎn)處的切平面平行于平面2x+2y+z=0.8.曲面z?e?2xy?3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為。

29．函數(shù)u?2xy?z在點(diǎn)(2,?1,1)處沿方向角為??x?3,???4,???3的方向?qū)?shù)

為。

10.設(shè)z?x,則全微分dz?.211．設(shè)z?ln(xy)，則dz?。

yy12.z?(sinx),則全微分dz=.z13．設(shè)z?e?xy，則全微分dz?。

14．設(shè)f(x,y)?(sin2x)cos2y，則df(x,y)?。

dz?.dt?z?；16．已知方程z3?2xz?3y?0確定隱函數(shù)z?z(x,y)，則?x15．設(shè)z?ex?2y，而x?sint，y?t3，則

17．設(shè)z?sin(3x?y)?y，則

?z?xx?2y?1?。

y?2u18．設(shè)u?xy?，則=。

x?x?y19．設(shè)z?yx2?y2，則

?z?。?y?z?。?y20．設(shè)方程x?2y?3z?2xyz確定z?f(x,y)，則21.設(shè)z?e?xy，則

z?z=.?y22.limsinxy?.

x?0xy?2xy2?xy?4=

23．極限limx?0y?02224．若函數(shù)f(x,y)?x?2xy?3y?ax?by?6在點(diǎn)(1,?1)處取得極值，則常數(shù)

a?______,b?_______。

25.若函數(shù)z?2x?2y?3xy?ax?by?c在點(diǎn)(-2,3)處取得微小值－3，則常數(shù)a,b,c之積abc=.26.梯度grad(221)＝.22x?y27．設(shè)f(x,y)???(1,2)=.x2?y2，則fxy?228．設(shè)f(x,y)?ln(x?y)，則fxy(1,2)?。

29.設(shè)z?xf(x?ye),f(u)可微，則

x?z?.?x

30．設(shè)z?yln(xy2)，則

?z?y(1,2)?。

?2u31．設(shè)函數(shù)u?x,則?。

?x?yyz32.z?f(x,y,),f可微，則

2xxy?z?。?y34．設(shè)f(x,y)?e?2y，則f'x(1,0)?。3x35、已知方程

?zxx?ln確定隱函數(shù)z?z(x,y)，則?。

?xyz36．函數(shù)z?x2?y3?2xy?y?2的駐點(diǎn)是。37．交換二次積分

?10dx?2f(x,y)dy的次序得.

xx38．交換積分順序后，39．改變二次積分40．變換

?10dx?1xf(x,y)dy?。

?42dy?f(x,y)dx的積分次序?yàn)椤?/p>

y4?10dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy的積分次序后為.

41．交換二次積分的次序42.交換二次積分

?20?dx?1cosxf(x,y)dy?；

22?x10?10dx?f(x,y)dy??dx?0xf(x,y)dy的次序得.43.設(shè)D為矩形0?x?1,?1?y?1，則二重積分3dxdy?.D??44．設(shè)D為?(x,y)|0?x?1，0?y?2x?,則

??(1?x)dxdy=。

D45．?為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x?2y?z?1所圍成閉區(qū)域，則46．設(shè)D：x?y?2x,則

2222???2dxdydz????ydxdy?=.

D247．設(shè)?為球體x?y?z?1的第一卦限部分，則為.

???f(x,y,z)dv化成三次積分

?48．設(shè)?為立體0?x?1,?1?y?1，0?z?2，則三重積分

???(1?x)dxdydz?.

?49．設(shè)平面薄片占有平面區(qū)域D，其上點(diǎn)(x,y)處的面密度為?(x,y)，假使?(x,y)在D上連續(xù)，則薄片的質(zhì)量M=。

50．設(shè)

f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則交換積分次序后二次積分

?10dy?f(x,y)dx?。

y1?ln(1?x2?y2)51.f(x,y)???AA=。

x2?y2?1/2，要使f(x,y)四處連續(xù)，則22x?y?1/252.設(shè)L為從點(diǎn)A（0，0）到點(diǎn)B（2，1）的直線，則

?Lyds=.53．設(shè)L是xOy平面上點(diǎn)A(0,0)到點(diǎn)B(1,2)的直線，方向是從A到B,則

?L(1?y)dy=。

54．設(shè)L為從點(diǎn)A(0,0)到點(diǎn)B(2,1)的直線，則55．設(shè)L為y??Lyds=。

x上從點(diǎn)(1,1)到（0，0）的曲線弧，則?L(x?1)dy?。

56.設(shè)L為從點(diǎn)A（1，1）到點(diǎn)B（1，0）的直線，則57.設(shè)L為圓周x?y?4，方向?yàn)轫槙r(shí)針，則

22?Lyds?___________________。

?ydx?2xdy?。

L58．設(shè)L為三頂點(diǎn)分別為（0，0），（3，0），（3，2）的三角形邊界正向，則

??(2x?y?4)dx?(5y?L3x?6)dy_________________.＝

1dS的值為.??222?x?y?z222259.設(shè)?為球面x?y?z?a（a?0），則

60．設(shè)曲面方程z?f(x,y)，其在xoy平面上的投影為D，則求該曲面的面積公式為；

61．設(shè)?為立體0?z?x2?y2,?1?x2?y?1?x2,?1?x?1，則

???dxdydz?.

?62.設(shè)P(x,y)、Q(x,y)在xoy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分

?

LP(x,y)dx+Q(x,y)dy與路徑無關(guān)和

及是相互等價(jià)的。

2263.由旋轉(zhuǎn)拋物面z?1?x?y與z?0所圍封閉立體的體積為.

64．設(shè)曲線段的參數(shù)方程為x=φ(t),y=ψ(t),其中α≤t≤β。假使曲線段上的點(diǎn)(x,y)處

線密度函數(shù)為ρ(x,y)，則曲線段的質(zhì)量的計(jì)算公式為.65．設(shè)L是點(diǎn)(0,?)到點(diǎn)(?,0)的直線段，則

?Lsinydx?sinxdy?_________。

66．設(shè)L是從A(1,?1)沿y2?x到B(1,1)的弧段，則

?Lx2ydx?；

67.設(shè)?為立體0?x?1,?1?y?1，0?z?2，則三重積分68.變換

???(1?x)dxdydz???10dx?1?x2?1?x2f(x,y)dy的積分次序后為..69.設(shè)?是平面z?1與旋轉(zhuǎn)拋物面x2?y2?z所圍區(qū)域，為.

70．設(shè)積分區(qū)域?:x2?y2?4,1?z?5，則

積分為；

71．設(shè)f(x,y)是連續(xù)函數(shù)，則二次積分為。

???f(x,y,z)dv化成三次積分

?????10f(x2?y2)dv在柱面坐標(biāo)系下的三次

?dy?yyf(x,y)dx交換積分次序后

72．已知有界閉區(qū)域D的邊界是光滑曲線L，L的方向?yàn)镈的正向，則用其次型曲線積分

寫出區(qū)域D的面積公式。73．格林公式

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy???(D?Q?P?)dxdy成立的條件是?x?y。74．冪級(jí)數(shù)

n2nx的收斂半徑為。?n3n?0?75.設(shè)冪級(jí)數(shù)

?an?0n?1?nx的收斂半徑是4，則冪級(jí)數(shù)?anx2n?1的收斂半徑是.nn?0?76．級(jí)數(shù)

?nxn?1?的和函數(shù)S(x)?。

77．冪級(jí)數(shù)

?(?1)nn?0??1n的收斂區(qū)間為。xn(n?2)?2n78．假使冪級(jí)數(shù)一定收斂。79.f(x)??a?x?1?nn?0的收斂半徑是1，則級(jí)數(shù)在最大的一個(gè)開區(qū)間內(nèi)

1展開成(x?1)的冪級(jí)數(shù)為。3?x

80.級(jí)數(shù)

?n(n?1)是收斂的，其和為.

n?1?181．級(jí)數(shù)

3的和為。?n2n?1n?1的和函數(shù)S(x)?.nx?n?1??82．冪級(jí)數(shù)

83．將函數(shù)f(x)??1展開成關(guān)于x的冪級(jí)數(shù)為_________________________。4?x84.冪級(jí)數(shù)

1?xn的收斂半徑為.?nn?1n?3?(x?1)n85．冪級(jí)數(shù)?的收斂區(qū)間為。nn?1n?386.級(jí)數(shù)

2的和為。?n3n?1?n?xn87.冪級(jí)數(shù)???1?的收斂域?yàn)椤?/p>

nn?188．級(jí)數(shù)

?(?1)nn?1?1是（發(fā)散，條件收斂，絕對(duì)收斂）的。

2n?10089.微分方程y???4y??5y?0滿足初始條件y|x?0?0,y?|x?0?6的特解90.微分方程y???y??2y?0的通解是.91.微分方程y???y?0的通解為.

92.微分方程y??6y?2的通解為.93.微分方程xy??ylny?0的通解為。94．方程(y?1)95.微分方程e2dy?x3?0的通解為。dxx?ydx?dy?0的通解為。

2296．微分方程y??xy?x的通解為.

97．微分方程1?x2y??1?y2的通解為________________。

98．非齊次微分方程y???5y'?6y?xe2x，它的一個(gè)特解應(yīng)設(shè)為。99．設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為y?c1?c2e?x，則對(duì)應(yīng)的微分方程為。

100．微分方程ylnxdx?xlnydy滿足yx?1?1的特解是_____________。

101．方程y??ex?y的通解為102.方程cosydx?(1?e?x)sinydy?0滿足初始條件y|x?0?

三、解答題

1．求曲線x?t?sint,y?1?cost,z?4sin程。

2.求橢球面x2?2y2?z2?1上平行于平面x?y?2z?0的切平面方程。3.求曲面x2?4y2?2z2?6上點(diǎn)(2,2,3)處的切平面方程與法線方程。4．求曲線x=2t+7t,y=4t-2,z=5t+4t在點(diǎn)(-5,-6,1)處的切線及法平面方程。5.求曲線x?2t2?7t,y?4t?2,z?5t2?4t在點(diǎn)(?5,?6,1)處的切線及法平面方程。6.在橢圓拋物面z?x?22

2

?4的特解__________。

t?在對(duì)應(yīng)于t?點(diǎn)處的切線方程及法平面方2212y?1上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切平面與平面2x?y?z?0平行，4?u?l。

并求該點(diǎn)的切平面及法線方程。

7.求函數(shù)u?x2?y2?3xy在點(diǎn)M(1,?2)處沿其梯度方向l的方向?qū)?shù)

M?8.求z?ln(x?y)在點(diǎn)M(3,4)處沿向量l??1,0?的方向?qū)?shù).

229.設(shè)z?xf(ye),f(u)可微，求

x?z?z,。?x?y?z?z,。?x?y10．設(shè)z?z(x,y)是由方程F(y?x,yz)?0所確定的隱函數(shù)，其中F可微，求

?2z?2z11.設(shè)z?ln(x?x?y)，求2，。

?x?x?y2212．設(shè)z?(y?3x)sinx，求

?z?z,。?x?yx?y?2z13.設(shè)z?arctg，求

1?xy?x?y

?2z14．設(shè)方程z?3xyz?a確定z?f(x,y)，求

?x?y33?2z15．設(shè)方程x?z?2ye確定z?f(x,y)，試求。

?x?y22216.設(shè)方程x3?y3?z3?xyz?6?0確定z?f(x,y)，求

?z?z,。?x?y?2z?2z17.設(shè)z?f(x?y)，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，求2,。

?x?x?y32?2z18.設(shè)z?(lnx)，求。

?x?yy?2z19.設(shè)z?，求。

22?x?yx?y1?z?2z20．設(shè)z?f(u,x,y),u?xe，其中f具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求。,?x?x?yy?2z21.設(shè)方程z?3xyz確定z?f(x,y)，求

?x?y3y?z?2z22.設(shè)z?f(xy,),求。,x?x?x?y2?z?z?2z23.已知方程x?y?z?e確定二元隱函數(shù)z?z(x,y)，試求。,,?x?y?x?y2z24、設(shè)z?sinx?F(siny?sinx)，其中F(u)可導(dǎo)，試求

?z?zcosy?sinx。?x?y25.設(shè)z?xy?xF(u)而u?y?z?z?y。，F(xiàn)(u)為可導(dǎo)函數(shù)，試求xx?x?y?2z26.求由方程xy?yz?zx?1所確定的函數(shù)z(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)。

?x?y?2z27.設(shè)z?f(xy,xy),f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，求

?x?y22?z?2z,28.設(shè)z?f(x?y,2xy)，其中f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。?x?x222

29、設(shè)z?f(x,y)由方程?(cx?az,cy?bz,cz)?0確定，求

?z?z,。?x?y30.設(shè)方程cos2x?cos2y?cos2z?1確定的隱函數(shù)z=z(x,y)，求dz。31.設(shè)u?xy?yz2?zx3,計(jì)算梯度grad(u)|(1,1,1).32.求函數(shù)z?e2x(x?y2?2y)的極值。33.求三元函數(shù)u?x的全微分du。34.設(shè)u?xze，求全微分du。

35.設(shè)z?f(x,y)由方程F(x?az,y?bz)?0確定，F(xiàn)(u,v)可微，a和b是已知常數(shù)，

zy2yz求a?z?z?b。?x?yaa?(a?0)的極值。xy36.求函數(shù)f(x,y)?xy?37.求函數(shù)f(x,y)?x2?xy?y2?2x?y的極值。

38．在xoy平面上求一點(diǎn)，使得它到x=0，y=0和x+2y-16＝0三直線的距離平方之和為最小。39.求函數(shù)f(x,y)?(6x?x)(4y?y)的極值。40.求函數(shù)f(x,y)?x?xy?y?2x?y的極值。

41.現(xiàn)用鐵板做成一個(gè)表面積為36的無蓋長(zhǎng)方體水箱，問長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，體積最大？

42.在橢圓x?4y?4上求一點(diǎn)，使其到直線2x?3y?6?0的距離為最短。

43．求I?222222?10dx?e?ydy

x1244．計(jì)算二重積分

22D，是由x?y?2x和y?x圍成的面積小的那部分區(qū)域。yd???D45．計(jì)算二重積分

1x2y?,y?x,y?2圍成。，其中D由()dxdy??xyD46.計(jì)算二重積分

2D:y?x?16?y，其中。xydxdy??D47.利用二重積分計(jì)算由平面

xyz???1(其中a,b,c?0)及坐標(biāo)面x?0,y?0,z?0abc

231.已知du(x,y)?2xydx?x（1）求滿足該等式的函數(shù)u(x,y)；（2）設(shè)曲線L為dy，

，求?du(x,y)y?x上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（0，0）

L32.證明曲線積分計(jì)算積分值。

33.設(shè)L是從點(diǎn)（1，0，1）到點(diǎn)（0，3，6）的直線段，試求三元函數(shù)的第一類曲線積分

?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy在整個(gè)xoy平面內(nèi)與路徑無關(guān)，并

?Lxy2zds

34．設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y?x2和直線y?x所圍成，它在點(diǎn)(x,y)處的面密度?(x,y)?x2y，試求（1）該薄片的質(zhì)量；（2）該薄片的的質(zhì)心。35.用格林公式等兩種方法計(jì)算

?L(x?y2)dx?3xydy，其中L為圓周x2?y2?2x上

從點(diǎn)0（0，0）順時(shí)針到點(diǎn)A（2，0）這段曲線。36．計(jì)算二重積分

??yd?：

D（1）D是由x2?y2?2x和y?x圍成的面積小的那部分區(qū)域。（2）D是由y?ex,y?x,x?0,x?1圍成的區(qū)域。

2237.設(shè)積分區(qū)域?：x?y?4,1?z?5，試從直角、柱面二個(gè)坐標(biāo)系，把

???f(x,y,z)dv化成二種形式的三次積分。

?38.設(shè)

?a收斂，試證明：?2nn?1?an絕對(duì)收斂.n?1n?39.將函數(shù)f(x)?1展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求出收斂區(qū)間。2x?x?640.將函數(shù)f(x)?arctanx展開成x的冪級(jí)數(shù)。

41．證明級(jí)數(shù)

1是收斂的，并求出其和。?n?0(n?1)(n?2)??xn42、求冪級(jí)數(shù)?n的收斂域

n?13?n

所圍立體的體積

48.設(shè)D是以O(shè)（0，0）、A（1，0）、B（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，求??xcos(x?y)dxdy。

D49.求

sinxdxdy，D由y?2x,x?2y與x?2圍成的第一象限中的區(qū)域。??xD22?，其中是由曲面與平面z?4所圍成的閉區(qū)域。z?x?yzdxdydz???50.計(jì)算三重積分51.求

?2222222?(x?y?z)dv，為上半個(gè)球面和圓錐面x?y?z?a????z?x2?y2所圍區(qū)域。

222?zd?y?z?4,z?0，積分區(qū)域?yàn)樯习雮€(gè)球體：???52.求

?53．求二重積分54.計(jì)算I?向。

55.求二重積分

22(x?y?x)d?，其中D是由直線y＝2,y=x及y=2x所圍成的閉區(qū)域。??D2?(2xy?xLd)dx?(x?y2)dy,其中L是y=x2和y2=x所圍區(qū)域的邊界曲線的正

??(x?y)dxdy，D由x?y?1圍成。

56.利用極坐標(biāo)計(jì)算二次積分

22?2?2dx?4?x202x2?y2dy

。

257.求曲面z?2?x?y與曲面z?x?y所圍立體的體積。58.求

y2D，為由與x軸圍成的區(qū)域。arctand?y?1?x??xD2(x???y)d?，其中D為以點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(0,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.D59．求

60．求

??(1?y)d?，D:xD2?y2?x。

61.設(shè)?為立方體：0?x?a，0?y?a，0?z?a（a?0），求三重積分

???(x?y)dxdydz．

?65.求使

??Da2?x2?y2dxdy?1的a值，其中D：x2?y2?a2（a?0）。

22263.設(shè)有圓形簿片D：x?y?a，其面密度為f(x,y)?e64.利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分成的區(qū)域。

?(x2?y2)，求簿片的質(zhì)量。

22?，其中是由曲面與平面z?4所圍z?x?yzdxdydz????

65．設(shè)?是由z?x2?y2及z?1所圍的有界閉區(qū)域，計(jì)算???(x2?y2?z)dv。

?66.用格林公式計(jì)算

??L(x?y2)dx?3xydy，其中L為圓周x2?y2?2x上從點(diǎn)0（0，0）

順時(shí)針到點(diǎn)A（2，0）這段曲線。67．用格林公式計(jì)算

L(x2?2y)dx?3xdy，其中L為圓周x2?y2?2x上從點(diǎn)0（0，0）

順時(shí)針到點(diǎn)A（2，0）這段曲線。

68．計(jì)算(ex?y)dx?xdy，其中L是從A(1.0)沿半圓周y?1?x2逆時(shí)針到B(－1，0)

?L69.計(jì)算曲線積分，L是正向圓周

x2?y2??2

70.驗(yàn)證(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。71.求曲線積分

?(xL2?y)dx?(x?sin2y)dy，其中L是在圓周x2?y2?2x上由點(diǎn)(0，

0)順時(shí)針到點(diǎn)(1，1)的弧段。72．計(jì)算I?xdy?ydx22，其中L是沿曲線(x?2)?y?1逆時(shí)針方向一周。?Lx2?y273．求曲線積分ydx?sinxdy，其中L:y?sinx(0?x??)與x軸所圍曲線,取正向。

L?74.試計(jì)算

1ttt，其中為曲線上相應(yīng)于t從dsx?ecost,y?esint,z?e???x2?y2?z20變到2?的這段弧。

22

75.求由曲面z=x+y與z=4所圍立體的體積。76.計(jì)算弧.

77.求曲面積分78．計(jì)算79．求

2222xyzdxdy?，其中為球面在第一卦限部分的外側(cè).x?y?z?a????Lxdx?ye2x?xdy其中L是在圓周y=2x-x2由點(diǎn)(0,0)順時(shí)針到點(diǎn)(1,1)的一段

2?L(ex?y)dx?xdy，其中L是從A(1，0)沿半圓周

到B(－1，0)。

280．試用高斯公式計(jì)算??(x?z)dydz?(y?x)dzdx?(z?y)dxdy，其中光滑曲面∑

L??yzds，其中L的方程為x?2t,y?3sint,z?3cost,0?t??。

圍成的Ω的體積為V。81計(jì)算曲線積分

?L(2x?y2)dx?(2x?1)dy，L是由y?x2和y2?x所圍區(qū)域的正向邊

界限。82.計(jì)算

??(z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy，其中光滑曲面∑圍成的Ω的體

?積為V。

83.將函數(shù)ln(1?x?2x2)展開成x的冪級(jí)數(shù)。84．試把f(x)?1展開成x的冪級(jí)數(shù)。2(1?x)85、把f(x)?x展開成(x?5)的冪級(jí)數(shù)。2x?5x?6?n286．判斷級(jí)數(shù)?n的斂散性

n?132?n!87．判斷級(jí)數(shù)?2n的斂散性

n?13(?1)n2n88．求冪級(jí)數(shù)?x的收斂區(qū)間及和函數(shù)。nn?15??n89.判別級(jí)數(shù)

1n(?1)ln(1?)是否收斂，假使收斂，是絕對(duì)收斂，還是條件收斂？?nn?1?90.求微分方程y???4y??5滿足初始條件y(0)?1,y?(0)?0的特解。91.求微分方程y??ysinx?滿足初始條件y|x???1的特解。xx?x92.求微分方程y???2y??3y?xe的通解。93.求微分方程y??23y?(x?1)3滿足初始條件y|x?0?的特解。x?1294.求微分方程y??ycosx?sinxcosx滿足初始條件y|x?0?1的特解。95．求微分方程y''?3y'?2y?2x?1的通解。

四、綜合題

x21．證明極限lim2不存在。

x?0x?y2y?0?2z?2z2.設(shè)z?f(x?y,2xy)，其中f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2，。

?x?x?y22

x?2z3.設(shè)z?f(,xy)，其中f(u,v)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求。

y?x?y4.設(shè)z