第六次習(xí)題課探討題

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本次習(xí)題課主要探討導(dǎo)數(shù)的初步應(yīng)用。具體說(shuō)來(lái)有五個(gè)方面的內(nèi)容：一．關(guān)于中值定理的補(bǔ)充二．證明不等式三．計(jì)算函數(shù)極限（利用L’Hospital法則或Taylor展式）四．研究曲線性質(zhì)五．零點(diǎn)問(wèn)題

一．關(guān)于中值定理的補(bǔ)充

題1.廣義Rolle定理（習(xí)題4.1題11,p.95）

(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)上可導(dǎo)，且滿足limf(x)?limf(x).求證：存在

x?a?x?b???(a,b),使得f?(?)?0。

(2)設(shè)函數(shù)f(x)在(a,??)上可導(dǎo)，且滿足lim?f(x)?limf(x).求證：存在

x?ax?????(0,??)使f?(?)?0。

（3）問(wèn)在結(jié)論（2）中，將區(qū)間(a,??)改作(??,a)或(??,??)，結(jié)論是否依舊成立？

題2．中間點(diǎn)的極限位置（第4章總復(fù)習(xí)題題10，p.125）

設(shè)f(x)在(?1,1)內(nèi)二階可導(dǎo)且f??(x)?0,?x?(?1,1)。試證:（1）對(duì)(?1,1)內(nèi)的任一點(diǎn)x?0,存在唯一的?(x)?(0,1)，使f(x)?f(0)?xf???(x)x?；（2）

lim?(x)?1/2.

x?0注：上述結(jié)論有如下推廣：設(shè)f(x)在(?1,1)內(nèi)n?1階可導(dǎo)且f(n?1)(x)?0,?x?(?1,1)。則（1）對(duì)(?1,1)內(nèi)的任一點(diǎn)x?0，存在唯一?(x)?(0,1)，使

1f(n?1)(0)n?1f(n)(?(x)x)n（2）lim?(x)?.f(x)?f(0)?f?(0)x???x?x。

x?0n?1(n?1)!n!二．證明不等式

1)。題1.證明不等式(1?x)ln2(1?x)?x2，?x?(0,題2.證明不等式4xlnx?x2?2x?3，?x?(0,2)。

題3.證明不等式

x?x?arctan(x?1)??,?x?0。

42x2?2x?2題4.（第4章總復(fù)習(xí)題題11,p.125）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0,1]上二階可導(dǎo)，

}??1。證明存在??(0,1)，且f(0)?0?f(1)。進(jìn)一步假設(shè)min{f(x),x?[0,1]使得f??(?)?8。

三．計(jì)算函數(shù)極限（利用L’Hospital法則或Taylor展式）

題1.（第4章總復(fù)習(xí)題題16,p.125）求極限

xx?1(lnx?1)?xcosx?e?x(i)lim；(ii)limx?1x?11?xx42/2

題2.設(shè)f(x)在x?0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?1,f?(0)?2，求極限

lim[nsin(1/n)]n??n1?f?1/n?。

6?f(x)?sin6x?xf(x)?lim題3.假設(shè)極限lim?，求極限。?0?23x?0x?0xx??

題4.設(shè)f(x)在[0,??)上四處可導(dǎo)且limf?(x)?e。求常數(shù)C，使得

x????x?C?lim???lim?f(x)?f(x?1)?。(*)x???x?Cx?????

x四．研究曲線性質(zhì)

題1.求k的值，使得曲線y?e2x與曲線y?kx有唯一的公共切線，并求切點(diǎn)和公切線方程。

題2.求一個(gè)單位圓的位置，該單位圓的圓心在y軸上，并位于拋物線y?x2的上方，且與拋物線y?x2恰好有2個(gè)切點(diǎn)。

題3.證明星形線x2/3?y2/3?a2/3上任一點(diǎn)的切線被坐標(biāo)軸截下的部分的長(zhǎng)度為常數(shù)，這里a?0。

五．零點(diǎn)問(wèn)題

題1.設(shè)f(x)在?0,1?連續(xù)，在?0,1?可微，且f(1)?0。證明存在c??0,1?，使

f(c)?cf?(c)?0。

題2．設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在[a,b]連續(xù)，在(a,b)二階可導(dǎo)，且g??(x)?0，

f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0。求證

（1）g(x)?0，?x?(a,b)；

f(c)f??(c)（2）?c?(a,b)，使得。???g(c)g(c)題3．對(duì)任意正整數(shù)n，證明方程ex?xn?0至多有三個(gè)不同的零點(diǎn)。題4.設(shè)函數(shù)f(x)在?0,1?上可導(dǎo)，且滿足0?f(x)?1和f?(x)?1，?x?[0,1]。證明存在唯一的???0,1?，使得f(?)??。

題5.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(a)?f(b)?1，求證存在?,??(a,b)，使得

e???[f(?)?f?(?)]?1。

題6.設(shè)函數(shù)f?x?在?0,1?上連續(xù)，在?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，且f?0??f?1??0。證明存在

???0,1?使2f?????f?????0。

（0,1）1]上連續(xù)，在題7.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?0，f(1)?1。證明

（1）存在??(0,1),使得f(?