高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)1

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)1第1-3章：消費(fèi)者理論

一、形式化表述分析消費(fèi)者偏好的性質(zhì)

（完備性，傳遞性，連續(xù)性，嚴(yán)格單調(diào)性，嚴(yán)格凸性等等）

*二、效用函數(shù)存在性證明。請(qǐng)參考教材

三、表述顯示性偏好弱公理及顯示性偏好強(qiáng)公理，并用于分析下面問題?？疾煲粋€(gè)對(duì)物品1和物品2有需求的消費(fèi)者，當(dāng)物品價(jià)格為p1?（2，4）時(shí)，其需求為x1?（1，2）。當(dāng)價(jià)格為p2?（6，3）時(shí)，其需求為x2?（2，1），該消費(fèi)者是否滿足顯示性偏好弱公理。

假使x2?（1.4，1）時(shí)，該消費(fèi)者是否滿足顯示性偏好弱公理。

解答：p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*2?4*1?8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*2?3*1?15消費(fèi)束2偏好于消費(fèi)束1違反了顯示性偏好弱公理。假使x2?（1.4，1）時(shí)：

p1x1?2*1?4*2?10?p1x2?2*1.4?4*1?6.8消費(fèi)束1偏好于消費(fèi)束2p2x1?6*1?3*2?12?p2x2?6*1.4?3*1?11.4消費(fèi)束1在價(jià)格2的狀況下買

不起。符合顯示性偏好弱公理。

四、效用函數(shù)u(x1,x2)?x1，求瓦爾拉斯需求函數(shù)

maxu(x1,x2)?x1解答：

s.t.p1x1?p2x2?w從效用函數(shù)u(x1,x2)?x1可知商

品2對(duì)消費(fèi)者沒效用，因此最大化效用的結(jié)果是所有的收入都用于購(gòu)買商品1，對(duì)商品2的需求為0，x2?0，x1?wp1或者由maxu(x1,x2)?x1maxu(x1,x2)?maxs.t.p1x1?p2x2?w,可得到

w?p2x2ww?，此時(shí)x2?0，x1?(源于消費(fèi)束的非負(fù)限制)p1p1p1實(shí)際上，這是一個(gè)邊角解，

x2

x1

??1?u(x,x)?(x?x1212)，其中0???1；這就是常（或不五、設(shè)效用函數(shù)

變）替代彈性（CES）效用函數(shù)。求：（1）瓦爾拉斯需求函數(shù)；（2）間接效用函數(shù)；

（3）驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于價(jià)格與收入是零次齊次的；

（4）驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的，關(guān)于價(jià)格p是遞減的；（5）驗(yàn)證羅伊恒等式；（6）求希克斯需求函數(shù)；（7）求支出函數(shù)；

（8）從它對(duì)應(yīng)的間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù)，及從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)。

（9）驗(yàn)證hi(p,u)?xi(p,e(p,u))（對(duì)偶定理）

（1）求瓦爾拉斯需求函數(shù)列出拉格朗日函數(shù)：

?1?L(x1,x2,?)?(x1??x2)??(y?p1x1?p2x2)

三個(gè)一階條件：

?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x1???1?0?x1；

?L?(1?)?1??1?(x1??x2)x2???2?0?x2；

?L?y?p1x1?p2x2?0??

整理，得：

x1?x2(p11(??1))p2；y?p1x1?p2x2

求解，得：

(??1)1(??1)p1yp1y2x2??/(??1)x1??/p(??1)?/(??1)?/(??1)p?pp1?p212；

上式就是消費(fèi)者的瓦爾拉斯需求函數(shù)。假使定義r??(??1)，便可將瓦爾拉斯需求函數(shù)化簡(jiǎn)為：

r?1p1r?1yp2yx1(p,y)?rx2(p,y)?rrrp1?p2；p1?p2

（2）求間接效用函數(shù)

將上述兩個(gè)瓦爾拉斯需求函數(shù)代入直接效用函數(shù)，可得間接效用函數(shù)：

v(p,y)?[(x1(p,y))??(x2(p,y))?]1?

r?1p1r?1y?p2y?1??[(r)?()]r?1rrrrp1?p2p1?p2?y(p1r?p2)

（3）驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于價(jià)格和收入的零次齊次性；

r?1r)v(tp,ty)?ty((tp1)r?(tp2)r)?1r?y(p1r?p2

?v(p,y)

（4）驗(yàn)證間接效用函數(shù)關(guān)于收入y是遞增的，關(guān)于價(jià)格p是遞減的，對(duì)它求關(guān)于收入與任何價(jià)格的微分，得：

?v(p,y)r?1r?(p1r?p2)?0?y

?v(p,y)r(?1r)?1??(p1r?p2)ypir?1?0,i?1,2?pi

（5）驗(yàn)證羅伊等式：

間接效用函數(shù)對(duì)價(jià)格求導(dǎo)除以間接效用函數(shù)對(duì)收入求導(dǎo)，別忘了乘-1！

r(?1r)?1?v(p,y)?pi?(p1r?p2)ypir?1(?1)[]?(?1)r?1r?v(p,y)?y(p1r?p2)ypir?1?r?xi(p,y),i?1,2rp1?p2

（6）求解支出最小化問題

minx1,x2p1x1?p2x2?1?u?(x1??x2)?0

s.t.其拉格朗日函數(shù)為：

?1?L(x1,x2,?)?p1x1?p2x2??[u?(x1??x2)]

三個(gè)一階條件為：

?L?(1/?)?1??1?p1??(x1??x2)x1?0?x1；

?L?(1/?)?1??1?p2??(x1??x2)x1?0?x2；

?L?1/??u?(x1??x2)?0??

通過消去

?，這些式子被簡(jiǎn)化為：

?1/??(x1??x2)

x1?x2(令rp11/(??1))p2；u??(??1)，可解出?？怂剐枨蠛瘮?shù)：

r(1/r)?1r?1h1(p,u)?u(p1r?p2)p1

r(1/r)?1r?1h2(p,u)?u(p1r?p2)p2

（7）將?？怂剐枨蠛瘮?shù)代入目標(biāo)函數(shù)，可得支出函數(shù)：

e(p,u)?p1h1(p,u)?p2h2(p,u)

r(1/r)?1r?1r(1/r)?1r?1r1/r?up1(p1r?p2)p1?up2(p1r?p2)p2?u(p1r?p2)

（8）從間接效用函數(shù)推導(dǎo)出支出函數(shù)

rr?1/rv(p,y)?y(p?p12)間接效用函數(shù)為：

將v(p,y)替換為u，解出y

r1/rr?1/r)u?y(p1r?p2)；y?u(p1r?p2再將y替換為e(p,u)，得到支出函數(shù)為：

r1/re(p,u)?u(p1r?p2)

從支出函數(shù)推導(dǎo)出間接效用函數(shù)

rr1/re(p,u)?u(p?p12)支出函數(shù)為：

將u替換為v(p,y)，將e(p,u)替換為y，解出v(p,y)。

r1/rr?1/ry?v(p,y)(p1r?p2)?v(p,y)?y(p1r?p2)（9）瓦爾拉斯需求函數(shù)為：

p1r?1yx1(p,y)?rrp1?p2，將y替換為支出函數(shù)得：

r1/rp1r?1e(p,u)p1r?1u(p1r?p2)x1(p,y)??rrp1r?p2p1r?p2

r(1/r)?1?p1r?1u(p1r?p2)?h1(p,u)

1六、效用函數(shù)u(x1,x2)?(x1?x2)，對(duì)其求1、瓦爾拉斯需求函數(shù)，間接效用函數(shù)；2、?？怂剐枨蠛瘮?shù)，支出函數(shù)。答案：

???

(?T)?Ev(p0;p1,w)??th(p1,u1)?Ev(p0;p1,w)

??0.25?(p1)—12(p2)12u1?0.5858??0.25?(0.5)—12(1)122?0.5858?0.085811說明商品稅對(duì)消費(fèi)者的福利影響更差。補(bǔ)償變化分析：

依照征稅后的價(jià)格計(jì)算的，消費(fèi)者對(duì)征收消費(fèi)稅前后所獲得效用的變化：

Cv?e(p0,u0)?e(p1,u0)=w-e(p1,u0)=w-μ(p1;p0,w)

?w?p???p??p??p?1112121210_2110_22w

1?2??0.5?2?1?2?0.25?_2?1?_2?2??0.8284

111商品稅與收入稅對(duì)消費(fèi)者的福利之差