人教八年級上12.3等腰三角形

共享百校千師教育資源助推教育信息化潮流聯(lián)系地址：鄭州市經(jīng)五路66號河南電子音像出版社郵編450002電話0371—60952593第4-頁共4頁12.3等腰三角形等邊三角形（2）【教學(xué)目標(biāo)】：1、知識與技能：1．探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明直角三角形中有一個角為30°的性質(zhì)．2．有一個角為30°的直角三角形的性質(zhì)的簡單應(yīng)用．2、過程與方法：1．經(jīng)歷“探索──發(fā)現(xiàn)──猜想──證明”的過程，引導(dǎo)學(xué)生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系．2．培養(yǎng)學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的習(xí)慣和能力．3、情感態(tài)度與價值觀：1．鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲．2．體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．【教學(xué)情景導(dǎo)入】：提出問題，創(chuàng)設(shè)情境1.用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一個怎樣的三角形？能拼出一個等邊三角形嗎？說說你的理由．2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？你能證明你的結(jié)論嗎？導(dǎo)入新課（讓學(xué)生經(jīng)歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時引導(dǎo)學(xué)生意識到，通過實(shí)際操作探索出來的結(jié)論，還需要給予證明）1.用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形．其中，圖（1）是等邊三角形，因?yàn)椤鰽BD≌△ACD，所以AB=AC，又因?yàn)镽t△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．[生]圖（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等邊三角形．[師]同學(xué)們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是等邊三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關(guān)系嗎？[生]在直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半．[師]我們僅憑實(shí)際操作得出的結(jié)論還需證明，你能證明它嗎？[生]可以，圖（1）中，已經(jīng)知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所對的邊BD是斜邊AB的一半．[師生共析]這位同學(xué)能結(jié)合前后知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了不起．下面我們一同來完成這個定理的證明過程．【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求證：BC=AB．分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D，使CD=BC，連接AD．強(qiáng)調(diào)：這個定理在我們實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗山堑奶厥庑?，揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關(guān)系，下面我們就來看一個例題．[例5]右圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC、DE垂直于橫梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多長？分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在Rt△AED與Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中點(diǎn)，所以DE=AB．[例]等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的長．分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一個外角，則∠DAC=15°×2=30°，根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD．[例]已知如圖所示,在△ABC中,BD是AC邊上的中線,DB⊥BC于B,∠ABC=120o,求證:AB=2BC分析由已知條件可得∠ABD=30o,如能構(gòu)造有一個銳角是30o的直角三角形,斜邊是AB,30o角所對的邊是與BC相等的線段,問題就得到解決了.證明:過A作AE∥BC交BD的延長線于E∵DB⊥BC(已知)BADC∴∠AED=90o(兩直線平行內(nèi)錯角相等)在△ADE和△CDB中∴△ADE≌△CDB(AAS)∴AE=CB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知)∴∠ABD=30o在Rt△ABE中,∠ABD=30o∴AE=AB(在直角三角形中,如果一個銳角等于30o,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)∴BC=AB即AB=2BC點(diǎn)評本題還可過C作CE∥AB練習(xí)1．已知：如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求證：BD=AB．2．已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角的平分線把對邊分成兩條線段．求證：其中一條是另一條的2倍．3、已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是∠ABC的平分線．求證：CD=2AD．【課堂作業(yè)】1．Rt△ABC中，若CD是斜邊AB上的高，∠B=30°，AD=3㎝，則BD的長度是（）A．3㎝B．6㎝C．9㎝D．12㎝2．在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③有一腰上的高也是這邊上的中線的等腰三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊三角形．其中正確的是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3、已知∠AOB=30°,點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部,P1與P關(guān)于OB對稱,P2與P關(guān)于OA對稱,則P1,O,P2三點(diǎn)構(gòu)成的三角形是()D(A)直角三角形(B)鈍角三角形(C)等腰三角形(D)等邊三角形4、如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．①求∠PBQ的度數(shù)．②判斷PQ與BP的數(shù)量關(guān)系．答案：1．C2．B3、C4．解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠DAC．又∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD，∴∠BPQ=∠DAC+∠BAD=60°，∴在Rt△BPQ中，∠PBQ=30°，∴PQ=BP．提示：