江蘇高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)(教師版)全解析

1.集合

【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】

集合及其表示A

子集B

交集、并集、補(bǔ)集B

【典型考題】

1.（2013江蘇卷）集合{-1,0,1}共有個(gè)子集.

【考點(diǎn)】子集的概念

【難度】容易題

【答案】8

2.（2011上海理2）若全集U=R,集合/={x|x21}U{x|x40}，則Cu，=.

【考點(diǎn)】補(bǔ)集的概念

【難度】容易題

【答案】{x|0<x<1}

3.（2012高考江蘇1）已知集合/={1,2,4},8={2,4,6},則/U8=.

【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算

【難度】容易題

【答案】{1,2,4,6）

4.（2009江蘇11）已知集合工=卜|1082%<2},8=（-00,4）,若NQ3則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（。,+8）,其中C=.

【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算

【難度】中檔題

【答案】4

5.（2009江蘇考試說明）設(shè)集合/={x|（x-Ip<3x+7,xcR},則集合AQZ中有個(gè)元

素.

【考點(diǎn)】解一元二次不等式、集合的運(yùn)算.

【難度】容易題.

【答案】6.

6.（2014江蘇卷1）已知集合/={-2,-1,3,4},8={-1,2,3},則.

【考點(diǎn)】集合的概念和運(yùn)算

【難度】容易題

【答案】{—1,3}

2.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

9.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】

函數(shù)的概念B

函數(shù)的基本性質(zhì)B

指數(shù)與對(duì)數(shù)B

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)B

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)B

基函數(shù)A

函數(shù)與方程A

函數(shù)模型及其應(yīng)用B

導(dǎo)數(shù)的概念A(yù)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義B

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算B

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值B

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用B

【典型考題】

1.（2012年江蘇）函數(shù)/（x）=N1—210gH的定義域?yàn)?

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念，對(duì)數(shù)函數(shù)

【難度】容易題

【答案】（0,6]

2.（2011年江蘇）函數(shù)/。）=1085（2丫+1）的單調(diào)增區(qū)間是.

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)

【難度】容易題

【答案】（一；,+8）

3.（2009年江蘇）已知。函數(shù)/（x）=a"，若實(shí)數(shù)加.”滿足f（m）>/（〃），則〃？.M

的大小關(guān)系為.

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【難度】容易題

【答案】

2b

4.（2006年上海）已知函數(shù)丁=》+二在（0,4］上是減函數(shù)，在［4,+8）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

X

b的值為.

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性

【難度】中檔題

【答案】4

5.（2010年江蘇）已知函數(shù)於則滿足不等式/（1一/）>/（2》）的x的范圍

是.

【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

【難度】中檔題

【答案】（-1,a-1）

6.（2014江蘇卷10）已知函數(shù)/（x）=x2+mx-l，若對(duì)于任意xepn,/n+l］,都有/（x）v0成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)

【難度】中檔題

【答案】（一一,0）

ff(m)=m2+m~—1<0

【解析】據(jù)題意《，解得：〃?e(----0)

[/(/H+1)=(/?+1)'+/n(w+1)—1<02

7.（2010年江蘇）設(shè)函數(shù)/（x）=x（e*+aer）（xeR）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性

【難度】容易題

【答案】-1

8.（2013年江蘇）已知/（X）是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時(shí)，/（X）=X2-4X,則不等式

f（x）>x的解集用區(qū)間表示為.

【考點(diǎn)】函數(shù)的基本性質(zhì)

【難度】中檔題

【答案】（-5,0）U（5,+8）

9.（2013年上海（理））設(shè)a為實(shí)常數(shù)，y=/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí),

2

/（x）=9x+—+7,若/'（x）2。+1對(duì)一切xNO成立，則a的取值范圍為.

x

【考點(diǎn)】函數(shù)的基本性質(zhì)

【難度】難題

o

【答案】?<--

7

3I

10.（2013年上海（理））方程鏟、+§=31的實(shí)數(shù)解為.

【考點(diǎn)】指數(shù)與對(duì)數(shù).函數(shù)與方程

【難度】容易題

【答案】log?4

11.（2011年北京理）已知函數(shù)/（x）=Jx若關(guān)于x的方程/（》）=左有兩個(gè)不同的

（x-1）3,x<2,

實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

【考點(diǎn)】幕函數(shù)的圖像和性質(zhì)，函數(shù)與方程

【難度】簡(jiǎn)單題

【答案】（0,1）

12.己知函數(shù)〃x）=45,則滿足不等式/（I—X2）>〃2X）的x的取值范圍

l,x<0

是.

【考點(diǎn)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，簡(jiǎn)單不等式的解法，以及數(shù)形結(jié)合與分

類討論的思想；考查靈活運(yùn)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力.

【難度】難題

【答案】（一1,、歷一1）.

13.（2012年天津理）已知函數(shù)夕=區(qū)二”的圖象與函數(shù)y=h一2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則

x-1

實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)與圖像，函數(shù)與方程

【難度】中檔題

【答案】（0,l）U（l,4）

14.（2014江蘇卷13）已知"X）是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)xe［0,3）

時(shí),/（x）=|，-2x+；］.若函數(shù)了=〃x）-a在區(qū)間［-3,4］上有10個(gè)零點(diǎn)（互不相同），則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是.

【難度】中檔題

【答案】（0,；）

【解析】作出函數(shù)/（、）=/一21+；,xe[0,3）的圖象，可見/（0）=；，當(dāng)x=l時(shí)，/（1）極大=；，

7

/（3）=-,方程/（、）-《=0在xe[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)丁=/（二）和圖象與直線y=?在[-3,4]

上有1。個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)/（X）的周期為3,因此直線y=a與函數(shù)/（x）=7-2x+；,xe[0,3）的應(yīng)該

是4個(gè)交點(diǎn)，則有ae（0,；）.

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)，周期函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

2

*15.（2011年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系X。中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)/<x）=—的

x

圖象交于尸、Q兩點(diǎn)，則線段尸。長(zhǎng)的最小值是.

【考點(diǎn)】幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)與方程，函數(shù)模型及其應(yīng)用.

【難度】中檔題

【答案】4

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，若曲線夕="2+2（〃，b為常數(shù)）過點(diǎn)P（2,-5）,且該曲線在

X

點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行，則a+b的值是.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與切線斜率.

【難度】中檔題

【答案】-3

【解析】曲線夕=一+&過點(diǎn)尸（2,-5）,則4。+2=-5①，又y'=2ax-V,

x2x

所以4a-2=—1②，由①②解得=7,所以a+b=—3

42[b=-2

**17.（2010年江蘇）將邊長(zhǎng)為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中

一塊是梯形，記5=粵粵譬上，則S的最小值是_______.

梯形的面積

【考點(diǎn)】函數(shù)中的建模應(yīng)用，求函數(shù)的最值

【難度】難題

，長(zhǎng)田,32#)

【答案】------

3

18.(2012北京理)已知f(x')=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同時(shí)滿足條件:

①Wxea/(工)<0或8(1)<06玉€(-00,-4),/(x)g(x)<0.

則m的取值范圍是.

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù).二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像.

【難度】難題

【答案】(一4,一2)

19.(2013年廣東(理))若曲線y=fcc+hu?在點(diǎn)(1,4)處的切線平行于x軸，貝U"=.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【難度】容易題

【答案】-1

20.函數(shù)/(x)=xInx(x>0)的單調(diào)遞增區(qū)間是

【考點(diǎn)】本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo).導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

等基礎(chǔ)知識(shí).

【難度】中等題.

【答案】—,+°°

e

x~-4-a

21.(2009年遼寧文)若函數(shù)-----在x=l處取極值，則a

x+1

【考點(diǎn)】函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【難度】容易題

【答案】3

***22.(2008年江蘇?(x)=ar3—3x+l對(duì)于1］總有/(x)N0成立，則。=.

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與不等式綜合，分類討論的思想

【難度】難題

【答案】4

23.(2011年上海理)已知函數(shù)/(x)=a-2'+63”,其中常數(shù)。力滿足a電W0.

(1)若。電>0,判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若a-b<0,求/(x+l)>/(x)時(shí)的x的取值范圍.

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算

【難度】中檔題

【答案】⑴當(dāng)a>0,b>0時(shí)，任意花,馬67?,玉ex2,

則/(再)—/(&)=。(2為一2應(yīng))+6(3*-34)

因?yàn)?“<2"，a>0na(2Xl-2%)<0

3V,<3x\b>0=>b(3x'-3A：)<0,

所以/(西)-/(%)<0,函數(shù)/(x)在&上是增函數(shù).

(2)當(dāng)。<0/<0時(shí)，同理函數(shù)/(x)在R上是減函數(shù).

f(x+l)-f(x)=a-2'+2b-3x>0,

當(dāng)a<0,b>0時(shí)，(一)'>--,則x>log,(---)；

22b52b

當(dāng)。>0/<0時(shí)，(3尸<一2，則x<log15(-2).

24.(2009年浙江文)已知函數(shù)/(乃=/+(1-4)/一“5+2)》+6(a,bE/?).

(1)若函數(shù)/(x)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3,求。力的值；

**(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(一1,1)上不單陰，求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義與運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)與方程思想.

【難度】中檔題

【答案】解析：⑴由題意得/'(x)=3/+2(1—a)x-a(a+2),

ff(0)=b=0

又《，’,解得力=0,。=一3或。=1,

V(0)=-a(?+2)=-3'

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間(—1,1)不單調(diào)，等價(jià)于

導(dǎo)函數(shù)/'(x)在(-1,1)既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)

即函數(shù)/'(X)在(—1,1)上存在零點(diǎn)，

(a)/(一1)/'⑴<0,即：[3+2(l-a)-a(a+2)][3-2(1-a)-a(a+2)]<0

整理得：(a+5)(。+l)(a-1)2<0,解得-5<a<-l；

A>0,

1。-I1

-l<----<l,I

3)j3解得_l<a<l且°#一7.

(c)/'(T)=°時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)。=-1滿足題意；

/'(D=0時(shí)，不合題意.

U11

綜上一5<”1且。

25.(2012江蘇)若函數(shù)y=/(x)在x=x0處取得極大值或極小值，則稱X。為函數(shù)夕=/(》)

的極值點(diǎn).已知a,6是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)/(》)=/+"2+歷:的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a和b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/(x)+2,求g(x)的極值點(diǎn)；

**(3)設(shè)/?(x)=/(/(x))-c,其中ce[-2,2],求函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)與方程.

【難度】中檔題

【答案】解：(1)由/(x)=x3+。丫2+6x,得/(x)=3x2+2“x+6.

因?yàn)?和-1是函數(shù)f(x)=X3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/(l)=3+2a+b=0,/(-l)=3—2a+b=0,解得a=0,b=-3.

⑵由⑴得，f(x)=x3-3x，

g'(x)=/(x)+2=x3-3x+2=(x—1)~(x+2),xl=x2=l,x3=-2.

當(dāng)x<—2時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)—2<x<l時(shí)，g(x)>0,

x=-2是g(x)的極值點(diǎn).

當(dāng)-2Vx<1或x>l時(shí)，g\x)>0,所以x=l不是g(x)的極值點(diǎn).

所以g(x)的極值點(diǎn)是一2.

(3)令/(x戶/,則〃(x)=/a)-c.

先討論關(guān)于x的方程/(x)=d根的情況：[e[-2,2],

當(dāng)14=2時(shí)，由(2)可知，/(x)=-2的兩個(gè)不同的根為1和一2,注意到

/(X)是奇函

數(shù)，所以/(x)=2的兩個(gè)不同的根為1和2.

當(dāng)|《<2時(shí)，因?yàn)閒(-\)-d=f(2)-d=2-d>0,

/(I)-d=f\-2)-d=-2-d<0,

所以一2,—1,1,2都不是/(x)=d的根.

由(1)知/(x)=3(x+l)(x—l).

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，/(x)>0,于是/(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而

f(x)>f(2)=2,

此時(shí)/(x)=d在(2,+8)無實(shí)根.

當(dāng)xe(l,2)時(shí).f(x)>0,于是/(x)是單調(diào)增函數(shù)，

又因?yàn)?(2)-6/>0,y=f(x)-d的圖象不間斷，

所以/(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.

同理，y(x)=(/在(-2,一I)內(nèi)有唯一實(shí)根.

當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，/(x)<0,于是/*)是單調(diào)減兩數(shù)，

又/(一1)一1>0,/(l)-t/<0,y=f(x)-d的圖象不間斷，

所以/(x)=d在(一1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

因此當(dāng)同=2時(shí)，/(x)=t/有兩個(gè)不同的根X],工2滿足|xj=l,同=2；當(dāng)

\d\<2時(shí)

/(x尸d有三個(gè)不同的根與，X],x5,滿足聞<2,i=3,4,5.

現(xiàn)考慮函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)：

(i)當(dāng)卜|=2時(shí),/(f)=c有兩個(gè)根(滿足囿=1，12|=2.

而/(無尸有三個(gè)不同的根，/。尸2有兩個(gè)不同的根，故y=，(x)有5個(gè)

零點(diǎn).

(11)當(dāng)卜卜2時(shí)，/(?)=c有三個(gè)不同的根卬如“，滿足

p,.|<2,i=3,4,5.

而/(x)=)(i=3,4,5)有三個(gè)不同的根，故y=〃(x)有9個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)卜|=2時(shí)，函數(shù)y=6(x)有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)上|<2時(shí)，函數(shù)y=〃(x)

有9個(gè)零點(diǎn).

26.(2010年全國新課程卷)設(shè)函數(shù)./(》)=爐一1一x—辦2.

(1)若。=0,求y(x)的單調(diào)區(qū)間；

**(2)若當(dāng)x>0時(shí)兀t)K),求a的取值范圍.

【考點(diǎn)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì).不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問

題；考查分類討論.轉(zhuǎn)化思想：考查運(yùn)算求解能力和推理論證的能力.

【難度】難題.

【答案】

(1)當(dāng)a=0時(shí)，y(x)=er-l-x,/'(x)=el-l.

當(dāng)xd(—8,0)時(shí)，廣(x)V0；當(dāng)xG(0,+8)時(shí)，/<x)>0.

故40在區(qū)間(-00,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增.

(2)f'(x)=ex—1-2ax.

由(1)知於月(0),即e)l+x,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

故/'(X)力■—2辦=(1~2a)x.

因此當(dāng)1一2壯0,即。弓時(shí)，/(x)K)(x20),而負(fù)0)=0,

于是當(dāng)x>o時(shí)，y(x)>o.

由eA>1+洶#0),可得e-x>1—x(#0),從而當(dāng)時(shí)，

/r(x)<ex-1+2a(e-x-l)=e"\ex-1)(er-2tz),

故當(dāng)x￡(0,ln2a)時(shí)，/(x)V0,而-0)=0,

于是當(dāng)x￡(0,ln2a)時(shí)，/(x)VO.

綜上可得a的取值范圍為(一8,1).

27.(2011年湖南文)設(shè)函數(shù)/'(X)=x----izlnx(aeR).

x

(1)討論/。)的單調(diào)性；

**⑵若/(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)項(xiàng)和々，記過點(diǎn)/(芭,/(陽)),6(吃,/(々))的直線的斜率為左，

問：是否存在a,使得上=2-。？若存在，求出。的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；方程與函數(shù)思想.

【難度】難題

【答案】解：⑴/(x)的定義域?yàn)?0,+8).

令g(x)=x2-ax+l,其判別式△=/-4.

當(dāng)|“區(qū)2時(shí)口W0,/'(x)20,故/(x)在(0,+-)上單調(diào)遞增.

當(dāng)。<-2時(shí)口>0,g(x)=0的兩根都小于0,在(0,+8)上，f\x)>Q,故/(x)在(0,+8)

上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>2時(shí)口>0,g(x)=0的兩根為r-4="+"?,

,222

當(dāng)0<x<X]時(shí)，f\x)>0；當(dāng)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)x>x2時(shí)，f\x)>0,

故/(x)分別

在(0,x,),(x2,+8)上單調(diào)遞增，在G,馬)上單調(diào)遞減.

⑵由⑴知,a>2.

因?yàn)?(王)一/(工2)=(%—-2)+'>-a(lnXj-lnx2),所以

k=/&)-/區(qū))=]+J_aDlnx,-lnx2

,cJnx.-Inx

又由(1)知，x/2=l.于是左=2—a于一!-----9-

Inx,-Inx.<

若存在a,使得％=2—a.則-=1.即In』-In%=%—9?

亦即吃-----2Inx2=0(x2>1)(*)

再由(1)知,函數(shù)〃(￡)=￡——2Inf在(0,―)上單調(diào)遞增,而9>1，

所以乙一(一2m；一2皿=0.這與(*)式矛盾.故不存在％使得％=2-。

28.(2011年浙江理)已知函數(shù)/(x)=2aln(l+x)-x(a>0).

(1)求/,(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

**(2)求證：41ge+肥+魁+…+魁>lge號(hào)(〃+l)(〃eN*).

23n

【考點(diǎn)】函數(shù)與不等式綜合

【難度】難題

【答案】解：⑴定義域?yàn)?T+oo),=

1+x

令/，(》)>0=-1<》<2。-1,令/，(x)<0=x>2a-l

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一,/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2。-1,+8)

/(x)的極大值為2“In2。-2。+1.

(2)證：要證41ge+魁+肥+…+魁>炒《丁(〃+1)

23n

即證4+二+…+b忠e("+D，即證4+—+—+…+—>lnc"(〃+1)

23nIge23n

即證]H--1—I---1---F3>ln(77+1)+(1H—)"

23nn

令Q=；,由(1)可知/(x)在(0,+8)上遞減，故/(x)</(0)=0.

即ln(l+x)<x,令X=N*),故ln(l+，)=ln^^=ln(〃+l)-ln〃<L

nnnn

累加得，ln("+l)<ln--1—I---1—,

23n

ln(l+-)<-=>ln(l+-)H<l=>(l+-)n<e<3.

nnnn

1+-+-+-?-+-+3>ln(7?+1)+(1+-)"

故23nn,得證.

29.(2009年天津文)設(shè)函數(shù)/(x)=-gx3+x2+(加2-i)x,(xe火,)其中加>0

(1)當(dāng)加=1時(shí)，曲線j=/(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

**(3)已知函數(shù)/(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0,七,》2,且陽<馬?若對(duì)任意的xe[x”X2],

f（x）＞/（l）恒成立，求m的取值范圍.

【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值；函數(shù)與方程的根的關(guān)系；圖像的

應(yīng)用，分類討論思想.

【難度】難題

【答案】解：（1）當(dāng)加=1時(shí)，/（X）=1X3+X2,/z（^）=+2x,（1）=1,

所以曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,./■⑴）處的切線斜率為1.

（2）W：/（x）=-x2+2x+m2-1,令/（x）=0,得到x==1+加，

因?yàn)榧樱?,所以1+加＞l-/w,

當(dāng)X變化時(shí)，/（x）,/'（x）的變化情況如下表:

X(—00,1—tn)(1一加,1+〃2)1+m(1+用,+8)

/1（X）+0-0+

極小值Z極大值\

/（X）在（一81一加）和（1+/%,+8）內(nèi)減函數(shù)，在（1一〃2,1+加）內(nèi)增函數(shù),

21

函數(shù)/（x）在x=l+機(jī)處取得極大值/（1+加），且f（l+m）=-m5+m2

2i

函數(shù)/（X）在X=1—加處取得極小值/（I一加），且/（I一加）=一］m3+〃/一］

1791

(3)/(x)=x(--x+x+m~-l)=--x(x-Xj)(x-x2),

所以方程—+x+m~—1=0由兩個(gè)相異的實(shí)根XpX2，故玉+工2=3，且

4

A=1+—(m2—1)>0,

解得加(一工(舍)，m>-,

22

一3

Xj<工2,所以2工2>X,4-x2=3,故工2>—>L

若項(xiàng)則八1）=一；（1一七）（1一%）20,而/（Xj=0,不合題意;

若1<再<工2,則對(duì)任意的xc[1],]2]有x-X]0,X-X2<0,

則?。?一｝（—止0又/區(qū)）=。，所以函數(shù)小）在⑹…］的最

小值為0,

于是對(duì)任意的xe[x?x2],/(x)>/(I)恒成立的充要條件是/(1)=〃22一：<0,解得

一走工綜上，m的取值范圍是(工,立)

3323

30.(2008江蘇)某地有三家工廠，分別位于矩形N2CZ)的頂點(diǎn)8及C。的中點(diǎn)P處，

己知力8=20km,C8=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形的區(qū)域上(含

邊界)，且4B與等距離的一點(diǎn)。處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道ZO,BO,

OP,設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm.

(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)NA4O=6(rad),將y表示成。的函數(shù)關(guān)系式；

②設(shè)OP=x(km),將y表示成xx的函數(shù)關(guān)系式.

(2)請(qǐng)你選用(I)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短.

【解】本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.

(I)①由條件知尸。垂直平分若NA4O=6(rad),則O/=，故

cos0cos0

OB————，又0P=10—10tan010—1Otan0,

cos6^

所以y=Q4+O8+OP=-^-+-^-+10—10tane,

cos0cos0

匚3"皿"N4二20-10sin^1八(八八九1

所求函數(shù)關(guān)系式為y=-----------+100<。<一

cos0\4)

②若OP=x(km),則。0=10—x,所以0〃=06=J(10—x)~+10?=<x?—20x+200,

所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2jx2—20X+200(0<X<10).

…“冰…，-10cosatos。一(20-10s山6)(-sin6)10(2sin^-l)

(2)選擇函數(shù)模型①，y=----------------二--------八-----^=二一-——L

cos0cos0

令，=0得sin0=-,因?yàn)?<8(工，所以6=工，

246

當(dāng)可0,。寸，/<0,y是6的減函數(shù)；當(dāng)咱看，"時(shí)，》>0，N是6的增函

數(shù)，所以當(dāng)6=工時(shí)，^min=10+1073.這時(shí)點(diǎn)尸位于線段48的中垂線上，且距離N8邊

6

兇碗處.

3

31.(2011年江蘇)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，/8C。是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片、

切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合

于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E.尸在上是被切去的等腰直角

三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)ZE=FB=xcm.

(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,試問x應(yīng)取何值?

(2)若廣告商要求包裝盒容積k(cm3)最大，

試問x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與

底面邊長(zhǎng)的比值.

【考點(diǎn)】本題主要考查空間想象能力.數(shù)學(xué)閱讀能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.建

立數(shù)學(xué)函數(shù)模型求解能力.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

【難度】中檔題.

【答案】⑴S=6（）2-4/一（60-2x）2=240x-8x2（°〈x<30）,所以x=15cm時(shí)側(cè)面積最

大，

5

(2)V=(2x)2-(60-lx)=472x2(30-x)(0<x<30),所以，,=12。(20—x),

當(dāng)0<x<20,時(shí)，/遞增，當(dāng)20<x<30時(shí)，么遞減，所以，當(dāng)x=20時(shí)，V最大.

—（60-2x）]

此時(shí)，包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為工產(chǎn)-----=-

y/2x2

32.（2014江蘇卷19）已知函數(shù)〃x）=e'+e-',其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明:f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式"[/'（x）Me-x+"?-1在（0,+?>）上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

**（3）已知正數(shù)。滿足：存在而e[1,+引，使得f（xo）<a（-x；+3/）成立.試比較e"T與

的大小，并證明你的結(jié)論.

【難度】（1）容易題；（2）中檔題；（3）難題.

【答案】⑴證明見解析；⑵用《二；（3）當(dāng)l（e+l）<a<e時(shí)，產(chǎn)〈/，當(dāng)a=e時(shí)，產(chǎn)=產(chǎn),

32e

當(dāng)時(shí),產(chǎn)

【解析】（1）證明：函數(shù)/（1）定義域?yàn)镵，/@7+/=/（、），.'./口）是偶函數(shù).

⑵由對(duì)（了）￡1+幽-1得切（/（力-1）《二一1,由于當(dāng)了>0時(shí)，/>1,因此/（、）=第+1>2,

［—r1-ex

即了(1)-1>1>0，所以冽W------=—-----——=-------?令y=-----丁’設(shè)￡=1一一，則

/(x)-l-+1-1^+1-//+1-『

I<0,—=——"+*=￡+」-1，t<0,/+-<-2(￡=一1時(shí)等號(hào)成立)，即1￡一2-1二-3,

yttty

--<y<0,所以也N-1.

33

(3)由題意，不等式/⑺<a(--+3x)在［1,-Ko)上有解，由/(x)<止/+3/得

ax3-3ax+ex+&~x<0>iBA(x)=ax3-3ax+ex+e~x?%3=3。(/-1)+/-1，顯然方'(1)=0,

當(dāng)x>l時(shí)，A'(x)>0(因?yàn)?>0),故函數(shù)丸(x)在［1,+oo)上增函數(shù)，方(%)最小=%(1),于是％(x)<0在

上有解，等價(jià)于h(1)=a-3a+e+-<0,即a>l(e+l)>l.考察函數(shù)

e2e

g(x)=(e-l)lnx-(x-1),(x>1),g'(x)=--1-1,當(dāng)x=c-1時(shí)，g'(x)=0?當(dāng)時(shí)，

x

g'(x)>0,當(dāng)時(shí)g'(x)<0,即g(x)在上是增函數(shù)，在(c-l,4<?)上是此函數(shù)，又g(l)=0,

g(e)=0,-(e+-)>1,所以當(dāng)l(e+1)<x<0時(shí)，g(x)>0，即(eT)lnx>了一1,x"當(dāng)x>0

2e2e

時(shí)，g(x)<0,,BP(e-l)lnx<x-1f婷</］，因此當(dāng)l(u+3c時(shí)，產(chǎn)〈尸，當(dāng)a=e時(shí)，

2e

產(chǎn)1二產(chǎn)1,當(dāng)白>0時(shí)，產(chǎn)1>以一

【考點(diǎn)】(1)偶函數(shù)的判斷；(2)不等式恒成立問題與函數(shù)的交匯；(3)導(dǎo)致與函數(shù)的單調(diào)性，比較大小.

3.基本初等函數(shù)II（三角函數(shù)）、三角恒等變換）

4.解三角形

【考點(diǎn)與考點(diǎn)要求】

三角函數(shù)的概念B

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式B

正弦函數(shù).余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式B

函數(shù)y=/sin（69x+8）的圖象與性質(zhì)A

兩角和（差）的正弦.余弦及正切C

二倍角的正弦.余弦及正切B

正弦定理.余弦定理及其應(yīng)用B

【典型考題】

1.(2011江蘇)函數(shù)/(x)=Nsin(0x+?),(4@?是常數(shù)，Z>0,0〉0）的部分圖象如圖

工Z?

、31.2

O

-J1

所示，則/（0）=.

【考點(diǎn)】函數(shù)y=/sin（0x+8）的圖象和性質(zhì).特殊角的三角函數(shù)值.

【難度】中等題.

【答案】用

2

2.（2011江蘇考試說明）函數(shù)y=/sin?x+夕）（4s,°為常數(shù)，A>0,a）>0）在閉區(qū)間［-

n,0］上的圖象如圖所示，則3=

【考點(diǎn)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與周期.

【難度】容易題.

【答案】3.

3.（2013山東）將函數(shù)y=sin（2x+p）的圖象沿x軸向左平移四個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)

8

的圖象，則。的一個(gè)可能取值為.（填序號(hào)）

兀71

①—；②:；③0；?---.

444

【考點(diǎn)】函數(shù)y=/sin（0x+°）的圖象和性質(zhì).

【難度】容易題.

【答案】②

*4.（2014江蘇卷5）已知函數(shù)^二以^^與^=sin（2x+Q）（0W/<;r）,它們的圖象有一個(gè)

7F

橫坐標(biāo)為生的交點(diǎn)，則9的值是.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖像的交點(diǎn)與已知三角函數(shù)值求角.

【難度】容易題.

TT

【答案】-

6

7T

5.（2010江蘇）定義在區(qū)間（0,R上的函數(shù)尸6co&x的圖像與y=5taiw的圖像的交點(diǎn)為P,

過點(diǎn)P作PP,±x軸于點(diǎn)尸直線PPi與7=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段PR的長(zhǎng)

為.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合思想.

【難度】中檔題.

2

【答案】-

3

**6.（2014江蘇卷14）若△4BC的內(nèi)角滿足sin/+VIsin8=2sinC足UcosC的最小值

是.

【難度】中檔題.

4

【解析】由已知sinj4+^sin5=2sinC及正弦定理可得a+=2c,

廠―+/一，“十”---）W+2序一2忑法、2顯山一2貶abm一應(yīng)配口

DOSC=----------------=------------------------------=---------------------------->------------------------=-------------，3且

2ab2abZab8ab4

僅當(dāng)3a2=多2即2*時(shí)等號(hào)成立，所以cosC的最小值為邑走.

b欄4

【考點(diǎn)】正弦定理與余弦定理.

TTTT

7.（2012全國）已知0〉0,函數(shù)/（x）=sin（ox+勺）在（々，乃）上單調(diào)遞減.則。的取值范

42

圍是?

【考點(diǎn)】函數(shù)^=/sin（0x+p）的圖象和性質(zhì).

【難度】難題.

【答案】g,j

8.（2013重慶）求值：4cos500-tan40°=________.

【考點(diǎn)】查兩角和差的正弦公式以及倍角公式.

【難度】中檔題.

【答案】也

7T4JT

9.（2012江蘇11）設(shè)a為銳角，若cos（a+d）=§,則sin（2a+無）的值為.

【考點(diǎn)】?jī)山呛停ú睿┑恼?余弦及正切，二倍角的正弦.余弦及正切.

【難度】難題.

【答案】—V2

50

r

**10.（2010江蘇）在銳角三角形45C中，A.B.。的對(duì)邊分別為〃.b.c,￡+g=6cosG

則

tanCtanC

tanJtan8--------'

【考點(diǎn)】正弦定理.余弦定理的應(yīng)用，兩角和（差）的正弦.余弦及正切.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.一

題多解.

【難度】難題.

【答案】4

11.(2012安徽)設(shè)A48c的內(nèi)角48,C所對(duì)的邊為a,b,c,則下列命題正確的有.(填

序號(hào))

7T冗

①若而Ac?,則C<］；②若a+b>2C,則C<§；

③若/+/)3=(?,則c<多④若(a+6)c<2ab,則C>參

⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,則C>^.

【考點(diǎn)】正弦定理.余弦定理的應(yīng)用以及基本不等式.

【難度】中檔題.

【答案】①②③

**12.滿足條件AB=2,NC=41BC的三角形N6C的面積的最大值是.

【考點(diǎn)】本題主要考查靈活運(yùn)用有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)解決問題的能力.

【難度】難題.

【答案】2及

13.(2008江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以ox軸為始邊做兩個(gè)銳角a,/3,它

們的終邊分別與單位圓相交于兒B兩點(diǎn)，已知B的橫

坐標(biāo)分別為也，氈.

105

⑴求tan(a+￡)的值；

(2)求1+2￡的值.

【考點(diǎn)】三角函數(shù)的定義.兩角和的正切.二倍角的正切公式.

【難度】容易題.

【答案】由條件的cosa=E,cos￡=36,

105

因?yàn)閍,△為銳角，所以sina=4景,sin￡=等，因此tana=7,tan￡=；.

ctancr4-tanB-

(l)tan(a+用尸--------------=-3.

1-tanatanp

⑵tan2￡=2ta"所以tan(a+2￡)=3a+tan邛

1-tan2^3''1—tanatan2￡

a,夕為銳角，.0<a+2/?<a+2￡=7-.

14.(2014江蘇卷15)已知aeg,%),sina=4^

25

⑴求sing+a)的值；

4

⑵求cos(--2a)的值.

6

【難度】容易題.

喀案】⑴一臉⑵一甯

2g

【解析】(1)由題意cosd=-Jl-亍

7T7T7T.顯X

所以sinq+a)=sin—cosa+cos—sind=+幺吏=_?.

4422510