初二數(shù)學平行線難題訓練

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初二數(shù)學平行線難題訓練

一．選擇題（共1小題）1．（2023春?XX校級期中）假使兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角是（）A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不對二．解答題（共28小題）2．（2023?六盤水）如圖，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點，點B在l2上．設△ABC1的面積為S1，△ABC2的面積為S2，△ABC3的面積為S3，小穎認為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由．

3．（2023春?宜昌校級期中）如圖，直線EF∥GH，點B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直線BD平分∠FBC交直線GH于D．

（1）若點C恰在EF上，如圖1，則∠DBA=______．

（2）將A點向左移動，其它條件不變，如圖2，設∠BAD=α．①試求∠EBC和∠PBC的大?。ㄓ忙帘硎荆?/p>

②問∠DBA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求∠DBA的值；若變化，說明理由．（3）若將題目條件“∠ACB=90°〞，改為：“∠ACB=β〞，其它條件不變，那么∠DBA=______．（直接寫出結(jié)果，不必證明）

4．（2023春?雁塔區(qū)校級期中）如圖，點D、點E分別在△ABC邊AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分線交AC于F點．（1）求證：∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如圖②，假使∠ACD的平分線與AB交于G點，∠BGC=50°，求∠DEC的度數(shù)．（3）如圖③，假使H點是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），AH交DC于M點，∠CAH的平分線AI交DF于N點，當H點在BC上運動時，變化？假使變化，說明理由；假使不變，試求出其值．

的值是否發(fā)生

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5．如下圖，直線AE∥BD，點C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面積為12，求△ACE的面積．

6．（1）如圖①，假使直線l1∥l2，那么三角形ABC與三角形A′BC面積相等嗎？為什么？（2）如圖②，平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D有一條公共邊AD，BC和B′C′在同一直線上，這兩個平行四邊形的面積相等嗎？為什么？

7．（2023春?平定縣期末）如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或l4上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；

（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系；

（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系并給予證明．

8．（2023春?滑縣期中）如下圖，已知AB∥CD，分別探究下面圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關系，請你從四個圖形中任選一個，說明你所探究的結(jié)論的正確性．

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①結(jié)論：（1）______（2）______（3）______（4）______

②選擇結(jié)論______，說明理由．

9．（2023春?威海期中）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P=90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F

（1）當△PMN所放位置如圖①所示時，則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關系為______；（2）當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度數(shù)．

10．（2023秋?渠縣期末）如圖，AB∥CD，∠CDE=121°，GF交∠DEB的平分線EF于點F，∠AGF=140°，求∠F的度數(shù)．

11．（2023春?武安市期末）摸索：小明和小亮在研究一個數(shù)學問題：已知AB∥CD，AB和CD都不經(jīng)過點P，摸索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關系．

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發(fā)現(xiàn)：在圖1中，小明和小亮都發(fā)現(xiàn)：∠APC=∠A+∠C；

小明是這樣證明的：過點P作PQ∥AB∴∠APQ=∠A（______）∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（______）∴∠CPQ=∠C

∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C

小亮是這樣證明的：過點作PQ∥AB∥CD．∴∠APQ=∠A，∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C

請在上面證明過程的過程的橫線上，填寫依據(jù)；兩人的證明過程中，完全正確的是______．應用：

在圖2中，若∠A=120°，∠C=140°，則∠P的度數(shù)為______；在圖3中，若∠A=30°，∠C=70°，則∠P的度數(shù)為______；拓展：

在圖4中，摸索∠P與∠A，∠C的數(shù)量關系，并說明理由．12．（2023春?江西校級期中）已知AD∥BC，AB∥CD，E為射線BC上一點，AE平分∠BAD．

（1）如圖1，當點E在線段BC上時，求證：∠BAE=∠BEA．

（2）如圖2，當點E在線段BC延長線上時，連接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求證：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度數(shù)．

13．（2023秋?連云港校級月考）探究題：

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（1）如圖1，若AB∥CD，則∠B+∠D=∠E，你能說明理由嗎？

（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直線AB與直線CD有什么位置關系？簡要說明理由．（3）若將點E移至圖2的位置，此時∠B、∠D、∠E之間有什么關系？直接寫出結(jié)論．（4）若將點E移至圖3的位置，此時∠B、∠D、∠E之間有什么關系？直接寫出結(jié)論．（5）在圖4中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+∠F+∠D之間有何關系？直接寫出結(jié)論．14．（2023秋?連云港校級月考）如圖，已知OA∥BE，OB平分∠AOE，∠4=∠5，∠2與∠3互余；那么DE和CD有怎樣的位置關系？為什么？

15．（2023秋?連云港校級月考）（1）根據(jù)以下表達填依據(jù)：

已知：如圖①，AB∥CD，∠B+∠BFE=180°，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：由于∠B+∠BFE=180°所以AB∥EF（______）由于AB∥CD（______）所以CD∥EF（______）

所以∠CDF+∠DFE=180°（______）

所以∠B+∠BFD+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠

D=360°

（2）根據(jù)以上解答進行摸索，如圖②，AB∥EF，∠BDF與∠B、∠F有何數(shù)量關系

（3）你能摸索處圖③、圖④兩個圖形中，∠BDF與∠B、∠F的數(shù)量關系嗎？請寫出來．16．（2023春?路北區(qū)期末）已知直線AB∥CD，

（1）如圖1，點E在直線BD上的左側(cè)，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關系是______．

（2）如圖2，點E在直線BD的左側(cè)，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關系是______．

（3）如圖3，點E在直線BD的右側(cè)BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．

17．（2023春?濱湖區(qū)期末）如圖1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左側(cè)，D在C的右側(cè)，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線DE、BE交于點E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度數(shù)；

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（2）將線段AD沿DC方向平移，使得點D在點C的左側(cè)，其他條件不變，若∠ADQ=n°，求∠BED的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．

18．（2023春?龍崗區(qū)校級期中）如圖：已知AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度數(shù)．

19．（2023春?蕭山區(qū)期末）如圖，射線OA∥射線CB，∠C=∠OAB=100°．點D、E在線段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．（1）試說明AB∥OC的理由；（2）試求∠BOE的度數(shù)；（3）平移線段AB；

①試問∠OBC：∠ODC的值是否會發(fā)生變化？若不會，請求出這個比值；若會，請找出相應變化規(guī)律．

②若在平移過程中存在某種狀況使得∠OEC=∠OBA，試求此時∠OEC的度數(shù)．

20．（2023春?瀘州期中）如圖，AB∥CD，點M是線段EF上一點，若點N是直線CD上的一個動點（點N不與F重合）

（1）當點N在射線FC上運動時，求證：∠FMN+∠FNM=∠AEF；（2）當點N在射線FD上運動時，猜想∠FMN+∠FNM與∠AEF有什么關系？并說明理由．

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21．（2023春?北塘區(qū)校級期中）如圖，DH交BF于點E，CH交BF于點G，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5．

試判斷CH和DF的位置關系并說明理由．

22．（2023秋?泉港區(qū)期末）如圖，點A、B分別在直線CM、DN上，CM∥DN．（1）如圖1，連接AB，則∠CAB+∠ABD=______；

（2）如圖2，點P1是直線CM、DN內(nèi)部的一個點，連接AP1、BP1．求證：∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°；（3）如圖3，點P1、P2是直線CM、DN內(nèi)部的一個點，連接AP1、P1P2、P2B．試求∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度數(shù)；

（4）若按以上規(guī)律，猜想并直接寫出∠CAP1+∠AP1P2+…∠P5BD的度數(shù)（不必寫出過程）．

23．（2023春?灌陽縣期中）如圖：AE平分∠DAC，∠DAC=120°，∠C=60°，AE與BC平行嗎？為什么？

24．（2023春?薌城區(qū)校級期中）根據(jù)圖形及題意填空，并在括號里寫上理由．已知：如圖，AD∥BC，AD平分∠EAC．試說明：∠B=∠C

解：∵AD平分∠EAC（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵AD∥BC（已知）

∴∠______=∠______（______）∠______=∠______（______）∴∠B=∠C．

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25．（2023春?鄂州校級期中）如圖∠EFC+∠BDC=180°，∠AED=∠ACB，則∠DEF=∠B，為什么？

26．如圖，六邊形ABCDEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．求證：AF∥CD，AB∥DE，BC∥EF．

27．已知，如圖，直線AB∥CD，直線EF⊥AB，點M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．

（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度數(shù)；（2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度數(shù)；

（3）若點M在直線CD軸上移動，∠MPN的大小是否發(fā)生變化？假使保持不變，請給出證明；假使發(fā)生變化，請求出變化范圍．

28．如圖1，AB∥CD，在AB、CD內(nèi)有一條折線EPF．（1）求證：∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如圖2，已知∠BEP的平分線與∠DFP的平分線相交于點Q，試摸索∠EPF與∠EQF之間的關系．

（3）如圖3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，則∠P與∠Q有什么關系，說明理由．

（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P與∠Q的關系為______．（直接寫結(jié)論）

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29．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分別為直線AB和線段EF上的點．

（1）如圖1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度數(shù)．

（2）如圖2，EN平分∠HEF交AB于點N，NQ⊥EM于點Q，當H在直線AB上運動（不與點F重合）時，探究∠FHE與∠ENQ的關系，并證明你的結(jié)論．

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初二數(shù)學平行線難題訓練

參考答案與試題解析

一．選擇題（共1小題）1．（2023春?XX校級期中）假使兩個角的兩邊分別平行，而其中一個角比另一個角的4倍少30°，那么這兩個角是（）A．42°、138°B．都是10°

C．42°、138°或42°、10°D．以上都不對

根據(jù)兩邊分別平行的兩個角相等或互補列方程求解．解：設另一個角為x，則這一個角為4x﹣30°，（1）兩個角相等，則x=4x﹣30°，解得x=10°，

4x﹣30°=4×10°﹣30°=10°；

（2）兩個角互補，則x+（4x﹣30°）=180°，解得x=42°，

4x﹣30°=4×42°﹣30°=138°．

所以這兩個角是42°、138°或10°、10°．以上答案都不對．應選D．此題主要運用兩邊分別平行的兩個角相等或互補，學生簡單忽視互補的狀況而導致出錯．

二．解答題（共28小題）

2．（2023?六盤水）如圖，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A為垂足，C2，C3是l1上任意兩點，點B在l2上．設△ABC1的面積為S1，△ABC2的面積為S2，△ABC3的面積為S3，小穎認為S1=S2=S3，請幫小穎說明理由．

根據(jù)兩平行線間的距離相等，即可解答．

解：∵直線l1∥l2，

∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底邊AB上的高相等，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3這3個三角形同底，等高，∴△ABC1，△ABC2，△ABC3這些三角形的面積相等．即S1=S2=S3．此題考察了平行線之間的距離，解集此題此題的關鍵是明確兩平行線間的距離相等．

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3．（2023春?宜昌校級期中）如圖，直線EF∥GH，點B、A分別在直線EF、GH上，連接AB，在AB左側(cè)作三角形ABC，其中∠ACB=90°，且∠DAB=∠BAC，直線BD平分∠FBC交直線GH于D．

（1）若點C恰在EF上，如圖1，則∠DBA=45°．

（2）將A點向左移動，其它條件不變，如圖2，設∠BAD=α．①試求∠EBC和∠PBC的大?。ㄓ忙帘硎荆?/p>

②問∠DBA的大小是否發(fā)生改變？若不變，求∠DBA的值；若變化，說明理由．（3）若將題目條件“∠ACB=90°〞，改為：“∠ACB=β〞，其它條件不變，那么∠DBA=β．（直接寫出結(jié)果，不必證明）

（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出∠CAD=90°，然后求出∠BAC=45°，從而得到∠ABC=45°，再根據(jù)BD平分∠FBC求出∠DBC=90°，然后求解即可；

（2）①EF∥GH，得出∠2=∠3，進一步得出∠1=∠3，利用三角形的內(nèi)角和得出∠EBC，利用平角的意義得出∠PBC；

②根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠3，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠4，然后表示∠5，再利用平角等于180°列式表示出∠DBA整理即可得解．（3）根據(jù)（2）的結(jié)論計算即可得解．解：（1）∵EF∥GH，

∴∠CAD=180°﹣∠ACB=180°﹣90°=90°，∵∠DAB=∠BAC，∴∠BAC=45°，∴∠ABC=45°，∵BD平分∠FBC，∴∠DBC=×180°=90°，∴∠DBA=90°﹣45°=45°；（2）如圖，

①∵EF∥GH，

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∴∠2=∠3，∵∠1=∠2=α，∴∠1=∠3=α，∵∠ACB=90°，

∴∠EBC=90°﹣∠1﹣∠3=90°﹣2α，∠PBC=（180°﹣∠EBC）=45°+α；

②設∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，

在△ABC內(nèi)，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直線BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，=×90°，

=45°；

（3）由（2）可知，

設∠DAB=∠BAC=x，即∠1=∠2=x，∵EF∥GH，∴∠2=∠3，

在△ABC內(nèi)，∠4=180°﹣∠ACB﹣∠1﹣∠3=180°﹣∠ACB﹣2x，∵直線BD平分∠FBC，

∴∠5=（180°﹣∠4）=（180°﹣180°+∠ACB+2x）=∠ACB+x，∴∠DBA=180°﹣∠3﹣∠4﹣∠5，

=180°﹣x﹣（180°﹣∠ACB﹣2x）﹣（∠ACB+x），=180°﹣x﹣180°+∠ACB+2x﹣∠ACB﹣x，=∠ACB，∠ACB=β時，∠DBA=β．

此題考察了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．

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4．（2023春?雁塔區(qū)校級期中）如圖，點D、點E分別在△ABC邊AB，AC上，∠CBD=∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分線交AC于F點．（1）求證：∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如圖②，假使∠ACD的平分線與AB交于G點，∠BGC=50°，求∠DEC的度數(shù)．（3）如圖③，假使H點是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），AH交DC于M點，∠CAH的平分線AI交DF于N點，當H點在BC上運動時，變化？假使變化，說明理由；假使不變，試求出其值．

的值是否發(fā)生

（1）根據(jù)DE∥BC，得到∠EDB+∠DBC=180°，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；（2）根據(jù)FD⊥AB，∠BGC=50°，得到∠DHG=40°，利用外角的性質(zhì)得到∠FDC+∠HCD=50°，再根據(jù)DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，得到∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，得到∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=100°，利用三角形內(nèi)角和為180°，∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣100°=80°．

（3）不變，根據(jù)∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，即可解答．解：（1）如圖1，

∵DE∥BC，

∴∠EDB+∠DBC=180°，

∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC=180°，∵∠CDB=∠DBC，∠EDF=∠FDC，∴2∠FDC+2∠CDB=180°，∴∠FDC+∠CDB=90°，∴FD⊥BD，

∴∠DBF+DFB=90°．（2）如圖2，

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∵∠BGC=50°，F(xiàn)D⊥BD，∴∠DHG=40°，

∴∠FDC+∠HCD=40°，

∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD，∴∠EDC=2∠FDC，∠ACD=2∠HCD，

∴∠EDC+∠ACD=2（∠FDC+∠HCD）=80°，

∴∠DEC=180°﹣（∠EDC+∠ACD）=180°﹣80°=100°．（3）不變，如圖3，

∵∠DMH+∠DEC=2（∠ADF+∠DAN），∠ANF=∠ADF+∠DAN，∴

=

=2．

此題考察了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解決此題的關鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關系．

5．如下圖，直線AE∥BD，點C在BD上，若AE=7，BD=3，△ABD的面積為12，求△ACE的面積．

根據(jù)兩平行線間的距離相等，可知兩個三角形的高相等，所以根據(jù)△ABD的面積可求出高，然后求△ACE的面積即可．

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解：在△ABD中，當BD為底時，設高為h，在△AEC中，當AE為底時，設高為h′，∵AE∥BD，∴h=h′，

∵△ABD的面積為12，BD=3，∴h=8，

∴△ACE的面積為：

=28．

此題考察了兩平行線之間的距離，解決此題的關鍵是根據(jù)兩平行線間的距離相等求出高．

6．（1）如圖①，假使直線l1∥l2，那么三角形ABC與三角形A′BC面積相等嗎？為什么？（2）如圖②，平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D有一條公共邊AD，BC和B′C′在同一直線上，這兩個平行四邊形的面積相等嗎？為什么？

（1）△ABC和△A′BC的底邊都為BC，由于平行線間的距離四處相等，所以△ABC和△A′BC的BC邊上的高相等，所以△ABC和△DBC的面積相等．

（2）平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D有一條公共邊AD，四邊形ABCD為平行四邊形，所以AD∥BC，由于平行線間的距離四處相等，所以平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D的高相等，即可解答．解：（1）相等；∵L1∥L2，

∴L1，L2之間的距離是固定的，

∴△ABC和△A′BC的BC邊上的高相等，∴△ABC和△A′BC的面積相等；（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，

∴AD和BC之間的距離是固定的，∵BC和B′C′在同一直線上，

∴平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D公共邊AD邊上的高相等，∴平行四邊形ABCD與平行四邊形AB′C′D面積相等．此題主要考察了平行線間的距離．解決此題的關鍵是明確平行線間的距離四處相等．

7．（2023春?平定縣期末）如圖，已知直線l1∥l2，l3、l4和l1、l2分別交于點A、B、C、D，點P在直線l3或l4上且不與點A、B、C、D重合．記∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．

（1）若點P在圖（1）位置時，求證：∠3=∠1+∠2；

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（2）若點P在圖（2）位置時，請直接寫出∠1、∠2、∠3之間的關系；

（3）若點P在圖（3）位置時，寫出∠1、∠2、∠3之間的關系并給予證明．

此題三個小題的解題思路是一致的，過P作直線l1、l2的平行線，利用平行線的性質(zhì)得到和∠1、∠2相等的角，然后結(jié)合這些等角和∠3的位置關系，來得出∠1、∠2、∠3的數(shù)量關系．

證明：（1）過P作PQ∥l1∥l2，由兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可得：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPE+∠QPF，∴∠3=∠1+∠2．

（2）關系：∠3=∠2﹣∠1；過P作直線PQ∥l1∥l2，

則：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF；∵∠3=∠QPF﹣∠QPE，∴∠3=∠2﹣∠1．

（3）關系：∠3=360°﹣∠1﹣∠2．過P作PQ∥l1∥l2；

同（1）可證得：∠3=∠CEP+∠DFP；∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°，∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3=360°﹣∠1﹣∠2．

此題主要考察的是平行線的性質(zhì)，能夠正確地作出輔助線，是解決問題的關鍵．8．（2023春?滑縣期中）如下圖，已知AB∥CD，分別探究下面圖形中∠APC，∠PAB，∠PCD的關系，請你從四個圖形中任選一個，說明你所探究的結(jié)論的正確性．①結(jié)論：（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°（2）∠APC=∠PAB+∠PCD（3）∠PCD=∠APC+∠PAB

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（4）∠PAB=∠APC+∠PCD②選擇結(jié)論（1），說明理由．

①（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補即可解答；

（2）過點P作l∥AB，則AB∥CD∥l，再根據(jù)兩直線內(nèi)錯角相等即可解答；

（3）根據(jù)AB∥CD，可得出∠PEB=∠PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答；

（4）根據(jù)AB∥CD，可得出∠PAB=∠PFD，再根據(jù)∠PFD是△CPF的外角，由三角形外角的性質(zhì)進行解答；

②選擇①中任意一個進行證明即可．

解：①（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，

∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

（2）過點P作直線l∥AB，∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，∴∠APC=∠PAB+∠PCD；

（3）∵AB∥CD，∴∠PEB=∠PCD，

∵∠PEB是△APE的外角，∴∠PEB=∠PAB+∠APC，∴∠PCD=∠APC+∠PAB；

（4）∵AB∥CD，∴∠PAB=∠PFD，

∵∠PFD是△CPF的外角，∴∠PCD+∠APC=∠PFD，

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∴∠PAB=∠APC+∠PCD．

②選擇結(jié)論（1），證明同上．

此題考察的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進行解答是解答此題的關鍵．9．（2023春?威海期中）如圖，已知AB∥CD，現(xiàn)將一直角三角形PMN放入圖中，其中∠P=90°，PM交AB于點E，PN交CD于點F

（1）當△PMN所放位置如圖①所示時，則∠PFD與∠AEM的數(shù)量關系為∠PFD+∠AEM=90°；

（2）當△PMN所放位置如圖②所示時，求證：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的條件下，若MN與CD交于點O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度數(shù)．

（1）由平行線的性質(zhì)得出∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，即可得出結(jié)果；（2）由平行線的性質(zhì)得出∠PFD+∠1=180°，再由角的互余關系即可得出結(jié)果；

（3）由角的互余關系求出∠PHE，再由平行線的性質(zhì)得出∠PFC的度數(shù)，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：（1）作PG∥AB，如圖①所示：則PG∥CD，

∴∠PFD=∠1，∠2=∠AEM，∵∠1+∠2=∠P=90°，