統(tǒng)計(jì)與概率一復(fù)習(xí)指導(dǎo)

統(tǒng)計(jì)與概率（一）復(fù)習(xí)指導(dǎo)統(tǒng)計(jì)與概率（一）主要復(fù)習(xí)數(shù)據(jù)的收集與表示、數(shù)據(jù)的整理與初步處理、樣本與總體這三章及相關(guān)的統(tǒng)計(jì)知識.通過復(fù)習(xí)理解頻數(shù)、頻率的意義，能結(jié)合實(shí)例指出總體、個(gè)體、樣本、及樣本容量，會用平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，會用極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差表示數(shù)據(jù)的離散程度，會選用折線統(tǒng)計(jì)圖、條形統(tǒng)計(jì)圖或扇形統(tǒng)計(jì)圖或制作統(tǒng)計(jì)表，能從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息并進(jìn)行合理的加工處理，根據(jù)樣本的統(tǒng)計(jì)結(jié)果作出對整體的合理判斷與預(yù)測。現(xiàn)擬以2022年中考題為例，從以下考點(diǎn)入手來展開復(fù)習(xí).考點(diǎn)1計(jì)算頻數(shù)頻數(shù)：表示____.圖10510152030捐款數(shù)（元）例1.（金華）一方有難，八方支援.2010年4月14日青海玉樹發(fā)生級強(qiáng)烈地震，給玉樹人民造成了巨大的損失.災(zāi)難發(fā)生后，試驗(yàn)中學(xué)舉行了愛心捐款活動，全校同學(xué)紛紛拿出自己的零花錢，踴躍捐款支援災(zāi)區(qū)人民.小惠對捐款情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，抽取了40名同學(xué)的捐款數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)進(jìn)行分組、列頻數(shù)分布表后，繪制了如圖1所示的頻數(shù)分布直方圖.圖中從左到右各長方形高度之比為3:4:5:7:1，則圖10510152030捐款數(shù)（元）分析：由頻數(shù)的意義及題意易知，=，故捐款20元這一組的頻數(shù)=40×.解：40×=14（人），因此，空中應(yīng)填：14.評注：防止把頻數(shù)分布直方圖中，表示捐款20元的長方形高度所占的份數(shù)7當(dāng)作捐款20元這一組的頻數(shù).考點(diǎn)2計(jì)算頻率1.頻率：表示____.2.所有頻率之和等于____.例2.（德州）為了了解某校九年級學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了其中50名學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），進(jìn)行整理后繪制成如圖2所示的頻數(shù)分布直方圖（注：15～20包括15，不包括20，以下同），請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算成績在20～30次的頻率是（）A.0.4B.0.5C.分析：由圖2數(shù)等于成績在20～25次的人數(shù)和成績在25～30次的人數(shù)之和，有頻率的意義可知，成績在20～30次的頻率=.解：成績在20～30次的頻率為：==,因此，答案為D.評注：理解成績在20～30次的頻數(shù)等于成績在20～25次的人數(shù)和成績在25～30次的人數(shù)之和是求解的基礎(chǔ).考點(diǎn)3統(tǒng)計(jì)圖的選擇常用的統(tǒng)計(jì)圖有____統(tǒng)計(jì)圖，____統(tǒng)計(jì)圖，____統(tǒng)計(jì)圖.其中____統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)是能夠清楚地表示出各種數(shù)量的多少；____統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)是能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的趨勢；____統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)是能夠清楚的表示出各部分在總體中所占的百分比.例3.（重慶）為了描述城區(qū)某一天的氣溫變化情況，應(yīng)選擇（）A.扇形統(tǒng)計(jì)圖B.條形統(tǒng)計(jì)圖C.折線統(tǒng)計(jì)圖D.直方圖分析：由各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)知，要“描述城區(qū)某一天的氣溫變化情況”，應(yīng)選用折線統(tǒng)計(jì)圖.解：C.評注：了解各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.考點(diǎn)4根據(jù)圖表信息解決實(shí)際問題例4.（北京）根據(jù)北京市統(tǒng)計(jì)局公布的2022-2022年空氣質(zhì)量的相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制的統(tǒng)計(jì)圖如3所示：2022202220222022年份圖3（1）由圖3所示統(tǒng)計(jì)圖中的信息可知，北京全年市區(qū)空氣質(zhì)量達(dá)到二級和好于二級的天數(shù)與上一年相比，增加最多的是____年，增加了____天;（2）下表是根據(jù)《中國環(huán)境發(fā)展報(bào)告（2022）》公布的數(shù)據(jù)繪制的2022年十大城市空氣質(zhì)量達(dá)到二級和好于二級的天數(shù)占全年天數(shù)百分比的統(tǒng)計(jì)表，請將表中的空缺部分補(bǔ)充完整（精確到1%）；2022年十個(gè)城市空氣質(zhì)量達(dá)到二級和好于二級的天數(shù)占全年天數(shù)百分比統(tǒng)計(jì)表城市北京上海天津昆明杭州廣州南京成都沈陽西寧百分比91%84%100%89%95%86%86%90%77%圖4圖4A組20%A組A組20%（3）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)將十個(gè)城市劃分為3個(gè)組，百分比不低于95%的為A組，不低于85%且低于95%為B組，低于85%的為C組，按此標(biāo)準(zhǔn)，C組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比為____%；請你補(bǔ)全上面的統(tǒng)計(jì)圖.分析：（1）由圖3易知，2022年比2022年增加了246-241=5（天），2022年比2022年增加了274-246=28（天），2022年比2022年增加了285-274=11（天）.顯然，2022年增加的天數(shù)最多，增加了28天；（2）因?yàn)?85÷365≈78%,因此，北京市2022年的空氣質(zhì)量達(dá)到二級和好于二級的天數(shù)占全年天數(shù)百分比約為78%.（3）因?yàn)榘俜直炔坏陀?5%的有昆明和廣州2個(gè)城市，不低于85%且低于95%的有上海、杭州、南京、成都和沈陽5個(gè)城市，低于85%的有北京、天津和西寧3個(gè)城市；所以C組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比為3÷10=30%；B組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比為5÷10=50%；A組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比為2÷10=20%.圖5解：(1)202228圖5(2)78%(3)30補(bǔ)全后的統(tǒng)計(jì)圖如圖5所示：評注：看懂圖表是求解的關(guān)鍵；畫扇形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)C組城市數(shù)量在這十個(gè)城市中所占的百分比也可用這樣的關(guān)系式求的：1-A組所占的百分?jǐn)?shù)-B組所占的百分?jǐn)?shù).考點(diǎn)5計(jì)算算術(shù)平均數(shù)或加權(quán)平均數(shù)平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)及加權(quán)平均數(shù)）能夠表示一組數(shù)據(jù)的____程度.例5.（寧德）下表是中國2022年上海世博會官方網(wǎng)站公布的5月某一周入園參觀人數(shù)，則這一周入園參觀人數(shù)的平均數(shù)是____萬。日期22日23日24日25日26日27日28日入園人數(shù)（萬）分析：這一周入園參觀人數(shù)的平均數(shù)即是，22日到28日這7天中每天入園人數(shù)的和除以7所得商.解：+×2++++≈(萬)，故空中應(yīng)填：.評注：這里既可以用連加的方式求22日到28日這7天入園人數(shù)的和，也可象上面解中那樣，求7天如園人數(shù)的和.考點(diǎn)6計(jì)算中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的____數(shù).例6.（重慶）“情系玉樹，大愛無疆”，在為青海玉樹的捐款活動中，某小組7位同學(xué)的捐款數(shù)額（元）分別是：5，20，5，50，10，5，10.則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是____.分析：把這7個(gè)同學(xué)的捐款數(shù)額按從少到多的順序排列起來，由中位數(shù)的意義即可求得答案.解：因?yàn)椋堰@7個(gè)同學(xué)的捐款數(shù)額按從少到多的順序排列起來為:5，5，5，10,10,20,50.處在最中間位置上的數(shù)據(jù)是10，因此，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：10.評注：也可把這7個(gè)同學(xué)的捐款數(shù)額按從大到小的順序排列起來.考點(diǎn)7求眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的____數(shù).例7.（大連）為了參加市中學(xué)生籃球比賽，某?；@球隊(duì)準(zhǔn)備購買10雙運(yùn)動鞋，尺碼（單位：厘米）如下：25，25，27，，，，，，26，26.則這10雙運(yùn)動鞋尺碼的眾數(shù)是____.分析：因?yàn)?，尺碼25出現(xiàn)了2次，尺碼出現(xiàn)了4次，尺碼26出現(xiàn)了2次，尺碼出現(xiàn)了1次；尺碼27出現(xiàn)了1次；所以，尺碼出現(xiàn)的次數(shù)最多，于是由眾數(shù)的意義答案易求.解：所求的眾數(shù)為.評注：防止錯(cuò)把最大的尺碼27當(dāng)作眾數(shù)，或者錯(cuò)把出現(xiàn)的次數(shù)4當(dāng)作答案.考點(diǎn)8求極差一組數(shù)據(jù)中的____叫做這組數(shù)據(jù)的極差.例8．（懷化）一組數(shù)據(jù)3，x，0，-1，-3的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的極差是____.分析：由題意知[3+x+0+（-1）+（-3）]=1,解這個(gè)方程可求得x的值，然后根據(jù)極差的意義即可求得答案.解：由題意列方程得[3+x+0+（-1）+（-3）]=1,解這個(gè)方程得x=6.由極差的意義知，這組數(shù)據(jù)的極差為：6-（-3）=9.評注：防止把0當(dāng)成這組數(shù)據(jù)的最小數(shù)據(jù)，而錯(cuò)把6與0的差6當(dāng)作極差.考點(diǎn)9計(jì)算方差方差是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差=____，方差=____.例9.（遵義）一組數(shù)據(jù)2，1，5，4的方差是（）.3C分析：由方差的意義知，要先算平均數(shù)，然后再算方差.解：因?yàn)椋?（2+1+5+4）==[(2-3)2+(1-3)2+(5-3)2+(4-3)2]=.故答案為C.評注：在算方差時(shí)既要防止忽視“平均數(shù)”而忘記乘以，又要防止忽視各數(shù)與平均數(shù)差的平方而錯(cuò)求方差.考點(diǎn)10綜合考察“三數(shù)”、“兩差”例10.（濟(jì)寧）上海世博會自2022年5月1日到10月31日，歷時(shí)184天.預(yù)測參觀人數(shù)達(dá)7000萬人次.如圖6所示，是此次盛會在5月中旬入園人數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況.圖6圖6（1）請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖完成下表項(xiàng)目眾數(shù)中位數(shù)極差入園人數(shù)/萬（2）推算世博會期間參觀總?cè)藬?shù)與預(yù)測人數(shù)相差多少？分析：（1）由圖6易知，數(shù)據(jù)24出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)的眾數(shù)為24；把這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列起來為：18，18，22，24，24，24，26，29，30，34.處在最中間位置的數(shù)據(jù)是24，故這組數(shù)的平均數(shù)也是24；因?yàn)?，這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)是34，最小的數(shù)是18，所以，這組數(shù)據(jù)的極差是34-18=16.(2)參觀總?cè)藬?shù)與預(yù)測人數(shù)相差=5月中旬入園人數(shù)的平均數(shù)×184-7000.解：（1）項(xiàng)目眾數(shù)中位數(shù)極差入園人數(shù)/萬242416（2）(18×2+22+24×3+26+29+30+34)×184-7000==(萬)，因此，世博會期間參觀總?cè)藬?shù)與預(yù)測人數(shù)相差萬人.評注：緊扣“三數(shù)”和極差的意義求解是關(guān)鍵.例11.（北京）10名同學(xué)分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，他們的身高（單位：㎝）如下表所示：隊(duì)別隊(duì)員1隊(duì)員2隊(duì)員3隊(duì)員4隊(duì)員5甲隊(duì)177176175172175乙隊(duì)170175173174183設(shè)兩隊(duì)隊(duì)員身高的平均數(shù)依次為甲，乙，則下列關(guān)系中安全正確的是（）A.甲=乙,S2甲>S2乙B.甲=乙,S2甲<S2乙C.甲>乙,S2甲>S2乙D.甲<乙,S2甲>S2乙分析：先分別求出各隊(duì)的平均數(shù)和方差，然后再判斷.解：因?yàn)?，?（177+176+175+172+175）=175；S2甲=[(177-175)2+(176-175)2+(175-175)2+(172-175)2+(175-175)2]=;乙=（170+175+173+174+183）=175；S2乙=[(170-175)2+(175-175)2+(173-175)2+(174-175)2+(183-175)2]=.所以，甲=乙,S2甲<S2乙.故答案為B.評注：正確計(jì)算是關(guān)鍵.考點(diǎn)11運(yùn)用“三數(shù)”、“兩差”解決實(shí)際問題例12.（無錫）某校體育節(jié)有13名同學(xué)參加女子百米賽跑，她們預(yù)賽的成績各不相同，取前六名參加決賽，小穎已經(jīng)知道了自己的成績，她想知道自己能否進(jìn)入決賽，還需要知道這13名同學(xué)成績的（）A.方差B.極差C.中位數(shù)D.平均數(shù)分析：因?yàn)?，她們預(yù)賽的成績各不相同，如果按預(yù)賽成績從高到低排列，第七名，也就是處于中位數(shù)以前的同學(xué)都可以參加決賽，所以，小穎在知道自己成績的情況下，還需知道這13名同學(xué)成績的中位數(shù).解：答案為：C.評注：透徹理解4個(gè)概念的意義是求解的關(guān)鍵.例13.（咸寧）一家鞋店對上周某一品牌女鞋的銷售量統(tǒng)計(jì)如下：尺碼/厘米22232425銷售量/雙12511731該鞋店決定本周進(jìn)該品牌女鞋時(shí)多進(jìn)一些尺碼為厘米的鞋，影響鞋店決策的統(tǒng)計(jì)量是（）A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差分析：因?yàn)椋u出雙數(shù)越多，利潤才能越大，鞋店進(jìn)鞋當(dāng)然應(yīng)多進(jìn)賣出雙數(shù)最多的尺碼的鞋，而賣出雙數(shù)最多尺碼的雙數(shù)就是眾數(shù)，因此影響鞋店決策的統(tǒng)計(jì)量是眾數(shù).解：答案是:B.評注：把統(tǒng)計(jì)量的意義與具體問題的所求相結(jié)合，推測答案是關(guān)鍵.例14.（郴州）要判斷小剛的數(shù)學(xué)考試成績是否穩(wěn)定，那么需要知道他最近連續(xù)幾次數(shù)學(xué)考試成績的（）A.方差B.中位數(shù)C.平均數(shù)D.眾數(shù)分析：顯然選項(xiàng)B、C、D都是反映集中程度的量，只有選項(xiàng)A，是反映離散程度的量，所以，判斷小剛的數(shù)學(xué)考試成績是否穩(wěn)定，還需知道他最近連續(xù)幾次數(shù)學(xué)考試成績的方差.解:答案：A.評注：弄清每個(gè)概念的實(shí)質(zhì)是求解的關(guān)鍵.考點(diǎn)12確定調(diào)查方法常用的調(diào)查方法有兩種：____,____調(diào)查.例15.（貴陽）下列調(diào)查，適合用普查方法的是（）A.了解貴陽市居民的年人均消費(fèi)B.了解某一天離開貴陽市的人口流量C.了解貴陽電視臺《百姓關(guān)注》欄目的收視率D.了解貴陽市某班學(xué)生對“創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市”的知曉率分析：選項(xiàng)A、B、C，均因涉及調(diào)查對象較多，都不適合用普查；只有選項(xiàng)D，需要調(diào)查的對象較少，且不具有破壞性，適合用抽樣調(diào)查。解:答案為D.評注：普查適合調(diào)查對象較少，用時(shí)短，不具破壞性，所耗人力物力較小的調(diào)查；抽樣調(diào)查適合調(diào)查對象數(shù)量較大，具有破壞性，所耗人力物力大的調(diào)查.熟悉各種調(diào)查方法的特點(diǎn)是求解的關(guān)鍵.考點(diǎn)13總體、個(gè)體、樣本和樣本容量的意義及運(yùn)用1.所要考察對象的全體叫做____；組成總體的每一個(gè)考察對象叫做____;從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)____;一個(gè)樣本包含的個(gè)體的數(shù)量叫做這個(gè)樣本的____.2.不能夠預(yù)先預(yù)測結(jié)果的特性叫做____.例16.（廣州）廣州市某中學(xué)的一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，在本校學(xué)生中開展主題為“垃圾分類知多少”的專題調(diào)查活動，采取隨機(jī)抽樣的方式進(jìn)行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查的結(jié)果劃分為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四個(gè)等級，劃分等級后的數(shù)據(jù)整理如下表：等級非常了解比較了解基本了解不太了解頻數(shù)40120364頻率m圖7不太了解圖7不太了解基本了解的值為____.（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算等級為“非常了解”的頻數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)，并補(bǔ)全圖7所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.（3）若該校有1500名學(xué)生，請根據(jù)調(diào)查結(jié)果，估算這些學(xué)生中“比較了解”垃圾分類知識的人數(shù)約有多少人？圖8分析：（1）由題意知，樣本容量為四個(gè)等級的頻數(shù)之和；由頻數(shù)=，知m=；（2）表示“非常了解”的扇形的圓心角=360°×“非常了解”的頻率；扇形統(tǒng)計(jì)圖可根據(jù)表中各等的頻率求出圓心角度數(shù)后畫出；（3）由題意知，“比較了解”的人數(shù)=1500×m的值.圖8解：（1）因?yàn)椋瑯颖救萘繛椋?0+120+36+4=200，m的值為：120÷200=；所以，空中依次應(yīng)填，200和；（2）表示“非常了解”的扇形的圓心角為：360°×=72°；補(bǔ)全后的扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖8所示：（3）1500×=900（人）評注：樣本容量也可用“比較了解”以外的任何一等的頻數(shù)除以該等相應(yīng)的頻率求得，m的值也可由1-++求得.考點(diǎn)填空題參考答案考點(diǎn)1：每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)考點(diǎn)2：1.每個(gè)對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）考點(diǎn)3：條形折線扇形條形折線扇形考點(diǎn)5：集中考點(diǎn)6：中位考點(diǎn)7：眾考點(diǎn)8：最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差考點(diǎn)9：（標(biāo)準(zhǔn)差）2考點(diǎn)12：普查抽樣考點(diǎn)13：1.總體個(gè)體樣本樣本容量2.隨機(jī)性中考預(yù)測1.要反映中國在歷屆亞運(yùn)會上，所獲金牌數(shù)量的增減變化情況，宜采用（）A.條形統(tǒng)計(jì)圖B.扇形統(tǒng)計(jì)圖C.折線統(tǒng)計(jì)圖D.頻率分布直方圖2.小龍同學(xué)四次跳遠(yuǎn)的成績?nèi)缦拢▎挝唬簃）：，，，.關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.極差是B.中位數(shù)