關(guān)于歷屆高考試題中數(shù)列問題的研究

關(guān)于歷屆高考試題中數(shù)列問題的研究

上海市市西中學(xué)楊安瀾

第一部分怎樣理解和解決數(shù)列中的基本問題

1、怎樣理解數(shù)列概念，解等差、等比數(shù)列的問題？

一、正確掌握數(shù)列的函數(shù)定義

數(shù)列實際上是一類特殊的函數(shù)，定義在自然數(shù)N上或N的真子集

(1,2,3,…上的函數(shù)。如數(shù)列｛%｝,有%=23,此數(shù)列是一次函數(shù)

」(x)=2x-l,當xcN時的一列有序函數(shù)值。

二、能利用%與用的關(guān)系解有關(guān)問題

根據(jù)數(shù)列的前同項和用的定義松=%++-+%,有M=的，

號』+%(?>2)

例1、已知數(shù)列同｝的前眼項和號=1+3抬缶6加，求數(shù)列｛%｝的通項公式。

解：的=S]=4,ax=S*-S*_i=/+3%-(%-1尸-3(?-1)=2(w+1)(閥22),

當"=1時,2(?+1)=2x2=4,an=2(?+1)(?e2V)o

注意：1、即=凡-工-1只有在〃之2時才成立。

2、已知數(shù)列%的通項公式，求前附項和用的問題難度較大，除等差、等比數(shù)列

求和或能歸結(jié)為等差、等比數(shù)列的數(shù)列求和外，其他數(shù)列的求和一般不作會考、

高考的考查要求。

3、這類問題中，對于變形技巧較高，綜合性較強的將在綜合專題篇中作詳細敘

述。

三、掌握等差、等比數(shù)列的概念及有關(guān)公式

1、正確掌握等差、等比數(shù)列的定義

(1)等差數(shù)列：%+1一%=d(%eN,d為常數(shù))。注意，d是與項數(shù)間無關(guān)的常

數(shù)。

=!?(?€N.q

(2)等比數(shù)列：即為非零常數(shù))。注意，1是與項數(shù)弱無關(guān)的非

零常數(shù)。

2、正確掌握等差、等比數(shù)列的遞推形式

(1)等差數(shù)列：即+1一%=n一/一152。

也=馬一伽22,閥eN)

(2)等比數(shù)列：叫%-1

3、熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項公式

(1)等差數(shù)列：斯=%+5-1/3由,d為公差。

(2)等比數(shù)列：外=%/"酌，鄉(xiāng)為公比。

4、熟練掌握等差、等比數(shù)列的前間項和公式(1)等差數(shù)列:

cn(a.n(n-1)./

W=、］J=吟+>",伊￡的,

d為公差,注意S*看作間的二次函數(shù)

式，neN。

r

nax(7=1

s*=<a￡l-/)§K](neN)

(2)等比數(shù)列：-I,4為公比。特別注意：在沒

有明確公比自的取值范圍時，求等比數(shù)列前閥項和用時要對g的取值作分類討論。

5、掌握等差(比)中項

Aa+B

,A=----,

(1)等差中項：&，力的等差中項2,即a田的算術(shù)平均數(shù)。

(2)等比中項：。，力的等比中項G=士疝，注意當成工。時，在實數(shù)范圍內(nèi),

。田沒有等比中項。

四、會熟練掌握等差、等比數(shù)列中的“知三求二”問題

等差、等比數(shù)列中，圍繞外，工，分別有兩套公式，均含有五個量：

的,附,樂.，以,)。已知其中三個量，可以求其余兩個量。

},a-,=-,d=--,S=-5

例1、已知等差數(shù)列66。求:閥與即。

5?2-?,1、<

S*=na,+-%—n+-----(--)=-j

解：由等差數(shù)列前附項和公式~2-，有626

解得力=i5?=r

5一，1、33

%=-+14■(--)=--.,n15,

(舍去)5*86'6，2,2

例2、等比數(shù)列｛/｝中，的=-3,&=~468求：q與“4

8=%(]/)

解：由題意知'*1,等比數(shù)列前〃項和公式"1一4

-468「貝可)

1-9，整理得，

/+/+0-155=0,變形為，/-125+/-25+g-5=0,解得g=5,

3

4=(-3)-5=-375。

五、能靈活運用等差、等比數(shù)列的有關(guān)公式解計算題

1、靈活應(yīng)用等差(等比)數(shù)列的通項公式

即=%+57刀=%+5-於)d(%=%/7=a匿/-"*),靈活應(yīng)用中項關(guān)系：等

差數(shù)列｛4｝中，若項數(shù)肛%，上滿足一丁,則有二一2(等比數(shù)列｛%3

中，有端=。海,即)。在解題中帶來很大方便，既可節(jié)省時間又可提高運算的正

確率。

例1、等比數(shù)列｛外｝中，如果%=6,。9=9,求知

3許64

a33%=丁=4

—=q--Q_

解法1：%2,又20

,236.

，,以6=a3，a9>a3=-=一=4

解法2：.??%，%，%成等比數(shù)列，的90

2、靈活應(yīng)用等比數(shù)列前〃項和公式解題

例2、已知等比數(shù)列的前4次和為1,且公比為2,求此數(shù)列前8項的和。

解：5=(%+町+&+4)+(%+%+%+%)=&+%+g+4)

=&+/$4=(1+/居=17

3、解有關(guān)等差、等比數(shù)列計算題時，如給定等差數(shù)列中連續(xù)三項之和，可以設(shè)

這三項分別為x-y，x，x+y；如給定等比數(shù)列連續(xù)三項之積，可以設(shè)這三項分別

X

-,x,xy

為獷，這樣設(shè)未知數(shù)，可減少運算量。

例3、已知等差數(shù)列連續(xù)三項的和為21,這三項的平方和為179,求這三項。

解：設(shè)此數(shù)列的三項依次為x-y，x，x+L則有x-y+x+x+y=2L「.x=7

?.?（x-y）、/+（x+y）2=179,即（7_丁尸+49+（7+乃2=179,

解得/=16,：7=±4,所求數(shù)列的三項為3,7,ii或ii,7,3o

六、會證明有關(guān)數(shù)列的問題

有關(guān)數(shù)列證明題，除了要遵循證明代數(shù)問題的一般方法與規(guī)律外，在分析問

題時要注意運用等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念，性質(zhì)與公式。

例1、求證：正數(shù)數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列的充要條件是數(shù)列他％｝為等差數(shù)列。

證明：設(shè)正數(shù)數(shù)列｛怎｝為等比數(shù)列，公比為4，則

%=522,%e勸,1g%=1g怎_漢=1g%1+1g/（附22,%e加，故

但%｝是以也即為首項，1gq為公差的等差數(shù)列。

反之，設(shè)限4｝為等差數(shù)列，公差為d,「屹斯=lg%-i+d，（%22,%eM,

,'.Iga「噱%=即_1.105522,公酌,所以（%｝是以即為首項，10”

為公比的等比數(shù)列。

例2、已知正數(shù)數(shù)列｛怎｝與值｝,首項為=4瓦=力，對任意自然數(shù)閥，都有

4血，%+i成等差數(shù)列；A,*如成等比數(shù)列。

求證：數(shù)列點）是等差數(shù)列

證明:因即也，%+i成等差數(shù)列，「1%“=%+4+1,①又&%+1也+i成等比數(shù)歹U,

…即+i—W+i,②

???%>o也>0,伽e的，；劭+1=痣A_即=瓦代入①得

2bx=J可牝+i+新也,兩邊同除以（J￡>°）得2、瓦=、h_i+、h+i,又

,,,,另(,2b-a)2

…i=&=r-

眄-匹=*三正一盛=如半心=.（小

vb、必也,所以數(shù)列是以/＞為首

b-a

項，否為公差的等差數(shù)列。

說明：證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列的解題最后步驟要明確寫出此數(shù)列的首項與公

差或公比。

七、會解與等差、等比數(shù)列有關(guān)的生產(chǎn)與生活實際中的應(yīng)用題

生產(chǎn)與生活實際中大量的涉及到增長（或降低）問題，其數(shù)學(xué)模型為等差、

等比數(shù)列，可用等差，等比數(shù)列的知識解決。

例1、已知某廠第一個月的產(chǎn)值為。，第十個月的產(chǎn)值為3,（1）如果每個月比

前一個月增加的產(chǎn)值數(shù)相同，求這十個月的總產(chǎn)值。（2）如果每個月比前一個

月的產(chǎn)值數(shù)增加的百分比相同，求這十個月的總產(chǎn)值。

解：（1）由題意知，十個月的產(chǎn)值組成等差數(shù)列｛%｝（"=12…,10）,其中

%=",為=”由等差數(shù)列前萬項

乙1+?in?.八a+b.,

%11。xlO=——xlO=c5(a+b)s

和公式得

（2）由題意知，十個月的產(chǎn)值數(shù)組成等比數(shù)列｛%｝（%=12…，1°）,其中

上,=9日

%=%為=,公比為＜7,則有‘二'應(yīng)忐,由等比數(shù)列前同項和公式得,

_以（1-8°）_a'私-b^/b

1°=二［=樂-訛°

例2、某城市1990年底人口為500萬，人均住房面積為6平方米，如該市每年

人口平均增長率為1%,每年平均新增住房面積數(shù)為30萬平方米，試求2000年

底該市的人均住房面積數(shù)。

解：該市1990年底住房面積數(shù)為6x500=3000萬(平方米)，自1990年起，

每年年底的住房面積數(shù)是一個公差為d為30萬的等差數(shù)列，設(shè)1990,1991,……,

2000年底的住房面積數(shù)分別為即，。2,…,陽,則陽=的+10d=3300萬(平方米)。

自1990年起，每年年底人口數(shù)是一個公比4為1.01的等比數(shù)列，設(shè)1990,

1991,……，2000年底的人口數(shù)分別為灰，與，…，%，則%=卻嚴如552.31(萬)，

2000年底的人均住房面積為3300+552.31a5.97(平方米)。

易錯題例析

示例1、命題(1)：若數(shù)列｛怎｝的前〃項和芯則數(shù)列是等

比數(shù)列；

命題(2)：若數(shù)列的前耳項和用=/+初+c("0),則數(shù)列是等差

數(shù)列；

命題(3)：若數(shù)列｛4｝的前岸項和名=加-%,則｛%｝既是等差數(shù)列，又是等比

數(shù)列。

上述三個命題中，真命題的個數(shù)是()。

(A)0；(B)1；(C)2；(D)3。

［失誤辨析］錯誤地選擇(B)、(C)、(D)o

上述三個命題均涉及到用與%的關(guān)系：%=用，即一凡-1伽22),對于

赧(1),"1=&+'/=2-Si=(a-l)a*T522),在(a-l""中,當%=i

時，所以只有當B=-1且aw。時數(shù)列才是等比數(shù)列。對

于命題(2),ai=a+5+c，%=Sx-S*-i=2a"&-a，522),所以只有當。=()

時，W才是等差數(shù)列。對于命題（3）,%=點7，%=S「Si=0-1,522）,

顯然是一個常數(shù)列，只有aT#0時才既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列。因此應(yīng)選

擇（A）o

注意：非常數(shù)列的數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件是它的前〃項和

Sx=aM+物，當｛怎｝是常數(shù)列時，。=0。還要注意等比數(shù)列概念中的

外^0，自=0的兩個規(guī)定。

示例2、設(shè)首項為1,公比為,似＞°）的等比數(shù)列，如果E是的前閥項和，又

設(shè)%,求is*（1985年全國高考題）。

［失誤辨析］錯誤解答：”$21-/+1…50*1-0。錯誤的原因：（1）

,,（1寸）*°

況1八*1lima-0

忽視等比數(shù)列前盟項和1-0的使用條件0Hi。（2）忽視極限is”

的條件①|(zhì)《1。

看=工=1

正確解法是⑴當q=i時，加"1…。

z=上鼻位［=—=i

⑵當°＜，＜1時,1-qis1-0

1-*（與「I11（當。＜q41）

=：-。，麗＜="4—=一；二11mq

1-0XT9/1x?_qXT9-g＞D

當Q1時，q

練習(xí)

A組

1、已知｛怎｝是等比數(shù)列，月+2%%+%。6=25,那么的+。5的值等

于()

(A)5；(B)10；(C)15；(D)20o

1___5_

2、等差數(shù)列的第一、二、三項依次是不元'菽’提，則這個數(shù)列的第101項是()

122

50-13-8-

(A)3；(B)3.(C)24；(D)3。

3、公差為1的等差數(shù)列("J的前98項和為147,則知+劭+。6+…+%5+%8的

值是()

(A)98；(B)93；(C)59；(D)490

4、三個數(shù)成等比數(shù)列，它們的和與積分別為14與64,求這三個數(shù)。

5、四個數(shù)中，前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個與第四個數(shù)的

和為16,第二個與第三個數(shù)的和為12,求這四個數(shù)。

B組

1、命題(1)：巴瓦c成等差數(shù)列的充要條件是a+c=25；命題(2)：。，九,成

等比數(shù)列的充要條件是"=川；命題(3)：數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列的充要條件是

數(shù)列缶」外+1｝成等比數(shù)列。以上命題正確的是()

(A)命題1、2、3；(B)命題1、3；(C)命題1；(D)命題1、2o

2、已知丁=/(x)是一次函數(shù)，八?),/。),/々)成等比數(shù)列，且1/(⑹=15,求：

/0)+/(2)+???+/(?)嘰

3、設(shè)”+方+°?+￡；-*+。-8,4+占一，成等比數(shù)列，且公比為求證：

/+/+§=]

4、設(shè)5｝是等差數(shù)列，"一弓"，已知4+%+“一至&也的一百，求等差

數(shù)列的通項公式％。

5、設(shè)1980年底我國人口以10億計算。

(1)如果我國人口每年比上年平均遞增2%,那么到2000年底將達到多少？

(2)要使2000年底我國人口不超過12億，那么每年比上年平均遞增率最高是

多少？

2、怎樣求數(shù)列的極限？

一、理解數(shù)列極限的意義

在間無限增大的變化過程中，如果數(shù)列｛%｝中的項%無限趨近于某個常數(shù)C,

那么稱C為數(shù)列的極限。記作蚣久二°,或當浮-8時，有%7C。例如

2n2n.

%=---lim---=2

數(shù)列①一中，有"1,當與無限增大時，見無限趨近于2,所以…"1

2n3

%=----/

或當?shù)摹?時，?+1。

二、掌握幾個常用的重要的數(shù)列極限

lim—=0

1、一閥；

hmC=C

2、—(C為常數(shù))；

’00<1

lim/=(1q=1

3、［不存在匕|>1或<7=-1.

Em(1+—)*=e

4、n

三、掌握數(shù)列極限的四則運算法則

,一lim凡=Alim瓦=3.

38

如果TgXT2,那么，

lim(凡±幻=Em凡±lim牝=A±B

]、JttTCDXT9及T9

lini=lim?limA'B

2、及T9、KX/XT2KXT9K；

a11m%r

lim-2-=5^2----(SKOZXO)

limbxB*

3、*f*

lim(Ka)=a=KA

4、NT9XT9o

注意：數(shù)列極限的四則運算法則的前提是已知兩個數(shù)列都有極限；數(shù)列極限的和

與積的運算法則可以推廣到有限個數(shù)列極限的和與積：如果有限個數(shù)列都有極

限，那么這有限個數(shù)列對應(yīng)各項的和與積所組成的數(shù)列也有極限，極限等于這有

限個數(shù)列極限的和與積。

四、能熟練應(yīng)用數(shù)列極限的四則運算法則求數(shù)列的極限

例1、求下列各數(shù)列極限

lim(5+1)lim(2+-)2

lim(l+-)"+2

(1)XT9n.(2)XT9n(3)xt9n

lim(5+i)=lim5+lini-=5+0=5

解:(])XT9%XTco甩

lim(2+-)2=lim(2+-)'lim(2+-)=2x2=4

(2)XT9總甩h

lim(1+-)s+2++=eT=e

(3)XT9%X->?0%J8T(o^2

注意：有些數(shù)列不能直接應(yīng)用數(shù)列極限的四則運算法則求極限，需設(shè)法將它們變

形，化為能應(yīng)用法則的形式。

例2、求下列數(shù)列的極限

+2%+31「(W

lim—-------ml

⑵…護+(-2嚴.

(1)193n+?+1.

1

lim[?(1-1)(1-1)(1-1)-(I-)]

(3)XT9345n+2

lim6(J8+1-6)

(4)XT9

解:（1）將分子分母同除以/,則有,

2323

1+-+—lim1+lim±+lim—1

/+2%+3nn_XT9XT”XT9n_1

lim

2

XT2+?+13+1+±1.13

3nlim3+lim—+lim—

nn2n/T9n

11,2

+(_

r3*+(-2>].33?1

lun—：--------r=lim——0J-=—

…3"i+(-2產(chǎn)i]+(二產(chǎn)3

（2）將分子分母同除以3?】，則有,

ax+bx

lim—”，（1以網(wǎng)切）

說明:類似求"9以x+1+F，要對卬力的取值作討論。

aK+bx

lim-7T=lun

ega+FXT9

當1。1>1卬時,

aK+bsJ

lim-

?+1+

xtba*1X+l+[b

當|a|〈l列時,

1r/<l、/i1、/T1、/1、14r234?+1.

(3)蚓卬】-那一/(1一5)…

lim上-=2

XT9%+2

（4）將分子有理化，得

后(癡+]-金+]+而)

lim石(A/?+1-赤)=lim

指+1+赤

2

龍T94n+1+4n2

易錯題例析

lim------y

示例1、求極限19?

（1987年全國高考題）

=limr+lim—^+???+lim-5-=0

［失誤辨析］錯誤解法：原式……*7。造成錯誤的原因

是：本例的數(shù)列和的極限，隨著血的趨于無限，數(shù)列項數(shù)趨于無限，這時，和的

極限不等于各項極限之和，不能用極限運算法則，必須化為有限項形式，再作計

1.1+2+3+…+1000

lim----------------=0

算，此例與I-15是有區(qū)別的。

11m1+2+；+2J11M2雙1+產(chǎn))=11mM/J2

正確解法：…?…2n…2n

_,,4,lim(A/?2+2n-n)

示例2、求極限I。

lim(J附2+2%-n)=limJ尸+2n-Jimn

[失誤辨析]錯誤解法："理

把8看作為一個實數(shù)，并進行運算，這是錯誤的。同時，蚓,"+2%不存

在，亶*不存在，不能用極限運算法則。正確解法是應(yīng)先對即=2%f有

理化，再求極限：

/+2?~22n

lim(J閥2+2?-?)=limlim

+2/+WV?2+2?+n

練習(xí)

A組

1、求下列各極限

11md+生3lirnQ-3)

(1)xt9n2n.(2)—9?.

/-5閥'+6%+7/I,l\31j

lrim―5——2----------rlim(1+―產(chǎn)

(3)193n+?-?+1；(4)zign

.’14%一2、

lim(F+F+???+——)

2、求極限58T⑥力閥n

1

1+1+1+???+---

lim----~~冬2”

?-??>.111

1+—+—+???+---

3、求極限393*

..pri1+2n+31

lim——*------------=—

4、設(shè)…船-%+4q,求，4的值。

B組

1、已知等比數(shù)列｛%｝的公比4》1，且的=白9了。），

2、求極限蚓0一舞修)…卜，

ax-hx

lim-~~—(a>0,5>0)

3、求極限a*a*

升lim(%*+45*)=8lim(6a*-Z\)=llim(3a+Z),)

4、若19、*x，，…小*晨,求lxI/x**'

5、對于數(shù)列a},馬胃胃”坳小處求亶”

3、怎樣正確運用數(shù)學(xué)歸納法？

數(shù)學(xué)歸納法是論證關(guān)于自然數(shù)命題的一種重要的推理方法。數(shù)學(xué)歸納法有它

固有的理論基礎(chǔ)，運用起來有確定的程式與步驟，有靈活多變的技巧，又和數(shù)學(xué)

各個部分有廣泛緊密的聯(lián)系。

一、理解數(shù)學(xué)歸納法的原理

一個與自然數(shù)〃有關(guān)的命題。㈤，若：

1、(%為某個自然數(shù))真。

2、假設(shè)「色)(—葡加2勺)真,那么「3+1)真。

則命題對于所有〃2%。的自然數(shù)為真。

二、掌握數(shù)學(xué)歸納法的主要步驟

根據(jù)上述原理，可見數(shù)學(xué)歸納法的主要步驟是：

1、驗證尹伽。)成立，5。仁加。

2、假設(shè)（上2%）成立，證明"（先+1）也成立。

說明：步驟1是推理的基礎(chǔ)與根據(jù)，起著奠基作用，如缺了第一步，即使證明了

第二步，命題也不一定成立。

步驟2建立了推理鏈的關(guān)系，起著遞推作用，在尹儂。）成立的前提下，保證了命

題序列中遞推關(guān)系的成立，使推理鏈一環(huán)扣一環(huán)，直至對不小于小的所有自然

數(shù)次，P（%）都成立。步驟2的推理過程中，必須用到?（均成立這個歸納假設(shè)，

直接證明P役+1）成立，不是用數(shù)學(xué)歸納法證明。

三、能用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式

12+32+52+-+（2?-1）2=1?（4?2-1）

例1、設(shè)%求證：3

=-（4-1）=1

證明：（1）當力=1時，左邊=1,右邊3,等式成立。

（2）假設(shè)當融=匕EeN）時等式成立，即

12+32+5?+…+（2發(fā)一1）2=1左（4/一1）

3,則

仔+32+52+…+Q上一+Q上+1>=；上（4/-1）+（2化+19

一4斤3+12發(fā)2+11先+3_4k+2無+1）+4（無2+2〃+1）—（［+1）

33

11,

=耳依+1）［4堆+1）+4（上+1）-1］=l（無+1）［4痣+I）2-1］

所以，當然=兀+1時，等式也成立。

根據(jù)（1）和（2）,可知等式對任何都成立。

例2、設(shè)％6曾，求證：

1-(?2-l)+21(?2-22)+-+?(?2-/)=小二以竺2

4

證明：(1)當為=1時，左=0,右=0,二花=1時等式成立。

(2)假設(shè)川=七(七21，上6加時，等式成立，即

1■(/-1)+2,-2?)+…+嗯-=’,二I

4

當然=上+1時，

左邊=「K上+1)2-1]+2.[佐+1)2_2〃+…+/+1)[依+l)2_g+l)2]

=1-[^2-l]+2.[^2-22]+-+^.[A;2-^]+(2?t+l)[l+2+.-+^+

(k+1)[體+*-3+1力=2嶼二以")1+她業(yè)辿

42

_冷+1)[無(左一1)+2(2k+1)]_冷+1)2也+2)

44~

_痣+1)2[g+1)-邛(發(fā)+1)+1].i+i

4'”時等式成立。

根據(jù)（1）、（2）可得，時等式成立。

說明：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時，在遞推過程中應(yīng)注意等式左右的項數(shù)的變化,

由"=無至脾=氏+1時項數(shù)的增加量可能多于一項，各項也因同值的變化而變化，

因此要仔細分析項數(shù)及各項的情況。

四、能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)與式的整除問題

例1、求證：三個連續(xù)自然數(shù)立方和可以被9整除。

證明:⑴F+2?+33=36=4x9,則能被9整除。

(2)設(shè)有自然數(shù)兄321)滿足.+(11)3+(12)3=9/(Me孫

3+1)3+伏+2)3+/+3)3—好—伉+1)3-3+2)3=(上+m3_妙

=9尚+業(yè)+3)是9的倍數(shù)。

二.(上+以+(左+2)3+(上+3)3=伉3+/+1)3+3+2)3]+KY+3)3-爐]為兩個g

的倍數(shù)的和。能被9整除。

由(1)、(2)知命題成立。

說明：本例的證明過程中采用了相減法，運用了整數(shù)整除的性質(zhì)：若aW，a|c,

則a19士c)(其中凡及ceZ),a伊表示』能被5整除。

例2、求證：當浮為正奇數(shù)時，工+沙能被工+y整除。

證明：(1)當"=i時，*+川命題成立。

（2）假設(shè)力=2k-1,依eN）命題成立，即一修+/1能被x+y整除。當

%=2k+1,依e切時，/M+y2"i=

產(chǎn)I??+產(chǎn)I=/（產(chǎn)-I+/-I）+產(chǎn)-匕+?r）

由歸納假設(shè)知：（"川（產(chǎn)1+產(chǎn)），；（X+刈/（產(chǎn)+產(chǎn)），

又S+?。﹟-y）（x+#,「.（x+y）|熾加+*"），即雙=2尢+1時，命題成立。

由（1）、（2）知對全體正奇數(shù)命題成立。

說明：本題推理過程中采用了補項法，充分利用%=2無T成立的歸納假設(shè)條件。

要注意步驟（2）中不能假設(shè)%=2上+1,依e⑼成立，再推證”=2無+3,ReN）成

立。

易錯題例析

示例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

nw+1

sin.cosr

cosa+cos2c?+…+cosner=----------------（0<勸

sin—

2

（1986年廣東省高考題）

錯證：（1）冏=1時，左邊=cos&,右邊=cosa,二%=1時，等式成立。

（2）設(shè)"=尢時，上述等式成立，即有

k改k+1

sin——'cos----女

cos北+cos2上？+???+coskaf=--------------

sin——

2，當衣=上+1時,

化+1上+2

sin-----#cos-------改

cos矣+cos2tr+???+cos上北+cos(A:+1)次=------------------------

e?

sin一

2

所以對一切自然數(shù)，等式成立

［失誤辨析］上述（2）的“證明”，其實只是把"=女+】代入要證的等式，而沒

有證明該等式成立，即作為數(shù)學(xué)歸納法來證明等式，第（2）步驟全沒有做。

正確的證明：（1）同上。

k改小+1

sin——?cos-----英

coscos2#+???+cos4=—Z--------Z—,?e陰

sin——

（2）假設(shè)弘=上時,有2

當.?.力=尢+1時,

.k女上+1

sin——，cos：--s-+--sin—cos(k+1)&

COSe?+COS2e?+???+COS歸北+COS(上+1)北=22

sin——

2

2k+3.上+1k+2

sin-------tr-sin—sin------trcos-------支

22_22

2sin—sin—

22,：4=氏+1時等式成立。

由（1）、（2）知對一切自然數(shù)”，等式成立。

示例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明

(1-23-2-3*2)+(3-42-4-52)+…+[(2?-1)(2?)2-2?(2?+1)2]=-n[n+1)(4%+3)

（1989年全國高考題）

［失誤辯析］步驟不完整的證明:

(1)當福=1時，左邊=74,右邊=747=-14,所以"=1時等式成立。

(2)假設(shè)〃=無時，等式成立，即

(12a-23a)+(3-42-4-52)+-+[(2A;-l)(2jt)2-2H+1)」=-k(k+l)(4i+3)

當浮=女+1時，"22-2,3?)+…+[(2左-1)(2左y-2上傳+Ip]+

+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2]=-k(k+1)(依+3)+

+[(2上+1)(2上+2>-(2k+2)(2無+3)a]=-(k+1)[(上+1)+l][4(i+1)+3]

所以，"=攵+1時也成立。

步驟(2)的證明過程中，省去了關(guān)鍵性的推理過程，事實上，當〃=兌+1時，

2

應(yīng)寫完整步驟，左邊=…=-依X+1)(4發(fā)+3)+[(2k+1)(2巾+2尸-(2發(fā)+2)(2出+3)]

=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)[(2^+l)(2i+2)-(2k+3)2]

=-k(k+1)(4左+3)+2a+1)(-6無-7)=-(左+T)[4k2+3左+12上+14]

=~(k+1)(4無+7)&+2)=-(k+1)[3+1)+l][4(Jt+1)+3]

閥=上+1時也成立。

正確解答(略)。

練習(xí)

A組

1、用數(shù)學(xué)歸納法證下列等式

1o￡?(?+1)n(n+1)(?+2)/

I+3+6+???+-------=—-----------AT)

(l)26

I222?2n(n+1)/g

—+----+???+----------------------------{ne

(2)I'33,5(2%-1)(2〃+1)2(2?+1)

.nx(n+l)x

sin—cos--------

cosx+cos2x+???+cos?x=-------------------

x

sin—

(3)2

2、用數(shù)學(xué)歸納法證明下列數(shù)與式的整除問題

(1)叱+吐】能被133整除;

(2)一(3+X)"能被"2整除。

B組

1二+2=+...+(_i)i'=￡ioq^,(“小

1、求證：2482*49,2*T

、設(shè)=巴$22222222

2S]2=1+2+1,^3=1+2+3+2+1,-

S*=儼+2?+3?+…+/+…+毛+2?+F,,用數(shù)學(xué)歸納法證明公式

S_%(2/+1)

「一3―,對所有自然數(shù)咒都成立。

3、求證：/一."1+伽-1)/能被q_。)2整除。

第二部分怎樣解有關(guān)數(shù)列和數(shù)學(xué)歸納法的綜合問題

數(shù)列與極限、數(shù)學(xué)歸納法是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)密切銜接的內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)

學(xué)教材的重要組成部分，而且是對學(xué)生進行計算和推理訓(xùn)練的重要題材。由于它

們涉及的知識面較廣，綜合性、靈活性、技巧性都較強，是考查學(xué)生能力的重要

手段，因此幾乎每年都有數(shù)列與極限、數(shù)學(xué)歸納法，作為綜合題目出現(xiàn)在高考試

卷中。

1.利用明與%的關(guān)系解有關(guān)數(shù)列問題

例1.設(shè)數(shù)列?｝的前n項的和為凡=步+2%+4,冊物，

(1)寫出這個數(shù)列的前三項°1-2，。3；

(2)證明：數(shù)列｛怎｝除去首項后所成數(shù)列叼，。3，。3,…是等差數(shù)列。

(1986年上海高考試題)

分析由條件給出數(shù)列(%｝中j的表達式，因此與與斯之間有如下關(guān)系：

=$1

[%=$*-s*]%=2,3,4……

利用這個關(guān)系解數(shù)列的通項公式，然后再證明(2)

⑴[%=5=12+2xl+4=7,劭=$2=22+2X2+4-7=5,

22

a3=s3-s2=3+2X3+4-(2+2X2+4)=7

22

(2)當%>2時,a*=sx-sxA=n+2n+4-[(?-1)+2(?-1)+4]=2w+1

解：從而限一%=2(%+1)+1—伽+1)=2,(?>2)

數(shù)列W從第二項起，即知，&，4…構(gòu)成公差是2的等差數(shù)列。

說明：本題不能誤認為1J的通項公式就是4=2抬+177不滿足上式，。

實際上本題數(shù)列｛外｝的通項公式是：

P(?=l)

龍2?+1(?>2)

例2.設(shè)數(shù)列勺百金，.…%…前%項的和s*與即的關(guān)系是s*=-+1(其中K是

與n無關(guān)的實數(shù)，且K-l)

（1）試寫出由n、K表示的外的表達式;

（2）若11ms*=L,求K的取值范圍。

（1987年全國高考文科試題）

,,1

八...a.=ka.+1,a,=-----

分析由條件給出了與=總x+l，，可求出1-^0

由由即+1=S/1-S「她+1-3!,即得到*+1左-1"'再求即的表達式。

解(1)V4+1=%+i-s*=(Ki+1)-伏%+1)=包+「kax,(weAT)

即k1"包，?.?…解得…①

%+1_卜

若"0,則由題設(shè)知的R°,由①易知即=（n>l）,所以，4化-1。故

k

該數(shù)列是公比為E的等比數(shù)列，其首項為劭=邑=

為+1,即％=二，二,即②

k-

當A=0時，由①知a*=0（n>l）,即在n>l時，*伏一般成立，所以即的

aK=-------（?>1,?€AQ.

表達式為依-D*

1）

\n>2,?e拉）

其中由總等于1",?1

_妙-1

=nlim-----=0,

凡=1lim(以+1)=1,kak'-

(2)右龍T9：即XT9貝|JXT9n,即…依77

—<0

klr上-1

lim0<1,-1<—-<1,

?->?>F71k-1Jo

凌-1

即

k<-

解得2

說明：由%-%7=樂求通項公式要注意條件n22,本題由%+「％=即+1不能直

接得到通項公式的表達式，而且得到%必與樂的關(guān)系式，應(yīng)根據(jù)%與許+1的關(guān)系

再判斷數(shù)列的通項公式。

2.用遞推的方法求某些數(shù)列的通項公式

=4=13_=2

例3已知數(shù)列卜J其中的一弓'的一§,且當n23時，即"一E

(1)求數(shù)列tJ的通項公式；

,、山n&

(2)求龍T8o

(1986年全國文科高考試題)

解⑴設(shè)4f-匹伍仁葡)，則有“降陽且瓦"-的=§。

1+1

11L1(i?-(ir

_—b=—'I—=一

,數(shù)列囪》是以5公比，§為首項的等比數(shù)列，.??*9(3)[3i

F[、2F[I?/]

。2一的=孑；a3-a2=~；……即-外-1=T，

/.0J(3J(3J將上述n-1個式子相加,

得

(weN)

3

⑵蚣?！蛤綢2

說明：通過換“元”構(gòu)造一個等差或等比的新數(shù)列，然后用等差或等比數(shù)列知識

解決問題。即“輔助數(shù)列法”，是求數(shù)列通項公式的一種常用方法。

本例也可用“歸納、猜想、證明”方法求得許；

41+3131+3+3?、401+3+3'+3'

3-~3~'叼一§-§(4%-?1)=—=^3

_1+3+32+...+3M

猜想樂F。數(shù)學(xué)歸納法證明略,

在歸納過程中如何將已知各項血，町，。3)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一形式是一個關(guān)鍵。

,,1

sn=~ban+1-f----廠，

例4.設(shè)數(shù)列…的前n項的和與和許的關(guān)系是U+1,

其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b*—l。

(1)求即和的關(guān)系式；

(2)寫出用n和b表示外的表達式;

lims

(3)當OVbVl時，求極限—》"o

(1987年全國高考題)

分析根據(jù)即與J的關(guān)系求得即與4T關(guān)系式再用/與的關(guān)系式遞推出

斯的表達式。

S