幾何條件代數化與代數運算幾何化

幾何條件代數化與代數運算幾何化

幾何條件代數化與代數運算幾何化——突破解析幾何難點之兩方法⑴找k⑴找k,k關找解題方向;系，設直線方程；（2）找xx關系，l=J

U=i（3）找所設兩變量關系（如找七與關系，找l=J

U=i與xx關系等），進行消元。方法：代數運算幾何12化。幾何條件代數化：把題目中的幾何條件轉化為代數關系（一般是坐標關系）。i=j

l==ii=j

l==i其它重要意識：幾何條件代數化；一般問題特殊化；最值問題多樣化；去除思維模式化。下面以春期周考數學理科解析幾何題來說明。1、（第一次周考）

21.設橢圓C：蘭+蘭-1(a>b>21.設橢圓C：蘭+蘭-1(a>b>0)的右焦點為F，過點a2b2F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點，直線l的傾斜角為60o,AF—2FB?(1)求橢圓C的離心率；(2)如果IABI=4raj15,求橢圓c的方程.分析：1、幾何條件代數化:征：F,A,B且本質特|AF—2IfB；代數關系：一y—2y或c—x—2(x—c)?1 1 1 12 12IABI=15代數關系：弦長公式。4解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。⑵)解：設A(x,y),B(x,y)，由題意知yVO,y>112212(I)直線1的方程為y-\'3(x—c)，其中c-\.；a2—b2e聯立<(I)直線1的方程為y-\'3(x—c)，其中c-\.；a2—b2e聯立<y-羽(x—c),得x2 y2——+———1、a2 b2(3a2+b2)y2+2^3b2cy一3b4-0解得y—-耳3b2(c

y1-—*3b2(c-2a)+2a)3a2+b2 '2 3a2+b2因為AF-2FB，所以2- yi - 2 y即\3b2(c+2a) —\3b2(c—2a)—2?—■3a2+b2得離心率c2e———a33a2+b26分(II)因為期=冋憶—yj,所以2gab2_15.由

一? J33a2+b2 4c2得5.—— b—aac2得5.—— b—aa3 3所以5a=15,4 4得a=3,b=躬-橢圓C的方程為12分乂+蘭—1?9 52、（第二次周考）21^設A（珥，",B（X2,『2）知向量m（xy）m—（十，f）,ban—（二,辿，若m?n-0ba是橢圓y2工=i（a>b>o）上的兩點，已Q2b2且橢圓的離心率e晅，短軸2~（1）若直線AB過橢圓的焦點F（0,c）（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值。（2）試問：mob的面積是否為定值？如果是,請給予證明；如果不是，請說明理由。分析：1、幾何條件代數化：平面向量條件m?n—0本質特征：m與?垂直；代數關系：XX2+娛-0.--沁的面積代數關系：弦長公式和點到直線的距離公式。2、一般問題特殊化直線AB分斜率存在與不存在討論。b--沁的面積代數關系：弦長公式和點到直線的距離公式。2、一般問題特殊化直線AB分斜率存在與不存在討論。3、代數運算幾何化利用2b2—k2+4,,把二元轉化為一元。解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。21.⑴ 2b—2,.?.b—1,e—C——3，解得a=2,aa 2所求橢圓的方程為,2+x2_14知C—朽設直線AB的方程為y—+角，與橢圓方程聯立，得消元，得y—kx+J3,程聯立，得消元，得21+x2-1,I4(k2+4)x2+2j3kx—1—0,A(x,y),B(x,y)貝1 1 2 2-2^/3k —1。x+x— ,xx—1 2k2+4 12k2+4由已知0得+丄厶=xx+-(kx+J3)(kx+J3)=(1+—)xx+上逖(x+x)+—b2a2 124 1 2 4124124=屮(-丄)+竿(-冬)+孑=0,解得k二土邁TOC\o"1-5"\h\z4k2+4 4k2+4 4(2)①當直線AB斜率不存在時，即xxy丫則x1=x2,Ly2，聯立，得m.n=0整理，得x2-畧=0又點A(x,y)在橢圓1 4 ii上，故x2+22—1，解得IxI-2,|yl-\21一4_ 121面^積1 1AAOB S—-IxIIy—yI—-IxIx2IyI—12112211②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為

y=kx+b，聯立，得vP=尬+y=kx+b，聯立，得vy2——+X2=1,I4，由得yy(k2+4)x2+2kbx+b2—4=0’m-n=0xx+yi人=0,124即xx+1理(kx+b)(kx+b)c，將 —即xx+1理1 2 =0 x+x= ,xx=4 一f1 2k2+4 12k2+42b2=k2+4, A2b2=k2+4, AAOB=Ib丨J4k2—4b2+16Ib丨J8b2—4b2 =Ib丨J4k2—4b2+16Ib丨J8b2—4b2 “==1k2+4 2b2..三角形的面積為定值1。2、（第三次周考）20?已知o為坐標原點，F為橢圓C:x2+號=1在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為-邁的直線l與C交與A、B兩點，點P滿足OA+OB+OP二0?⑴證明：點P在C上；⑵設點P關于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上.OP=—(OA+OB)分析：】、幾何條件代數化：OA+OB+OP=OP=—(OA+OB)x3=—(x1+x2)=—T三=—(豊亡_h°A、P、B、Q四點在同一圓上本質特征：找圓心，PQ與AB垂直平分線交于圓心，圓心到四點距離相等；代數關系：找斜率與直線上一

A、P、點。20.(1)F(0,1),l的方程為20.(1)F(0,1),l的方程為y=_払+1，代入x24=1并化簡得4x2—2\2x—1=0.2設A(x1,孚B(x2,y2)，P(x3,y3)，則x1=旦產,x2=三3P2x+x= ,y+y=—*2(x+x)+2=1,1221212由題意得x=-(x+x)=一，y=-(y+y)=-1,所以點P的坐標為(—,-1).3 1 2 2 3 1 2 2經驗證點P的坐標（-￥，-1）滿足方程x2+斗=1，故點P在橢圓C上22⑵由P（子—1）和題設知，Q（字D,PQ的垂直平分線‘1的方程為y"弓x.①設AB的中點為M'則M乎勺，AB的垂直平分線\的方程為y弋x+4-②由①、②得‘1、‘2的交點為n（-28MINP愛-尋+春)2+(-1-1)2=罟'IABH1+(一臥Ix2-卩竽'IAMIIAMI=匹4Imn巳(尋++(1上1)2=疸288INA1=JAM|2+丨MN|2= ，故INPI=INAI又INPI=INQI,INAI=INBI，所8INA1=1NP1=1NB1=1NQI,由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心'NA為半徑的圓上°4、（第四次周考）

20.設橢L:竺+21=1（a,b>0）過M（2，込），N（6，a2b220.設橢1）兩點，O為坐標原點?（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA丄OB?若存在，寫出該圓的方程，并求ABI的取值范圍；若不存在，說明理由.分析：1、幾何條件代數化：平面向量條件OA丄ob本質特征：OA與OB垂直；代數關系：xx+yy=0?12122、 圓的切線圓心到切線的距離等于半徑，找k,m關系。肋1的取值范圍代數關系：弦長公式和范圍問題多樣化。3、 一般問題特殊化分斜率存在與不存在討論。無斜率任何條件時，直線設成y=kx+m?4、 代數運算幾何化利用xx+yy=0找k,m關系,8，3解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。1212m2=8（1+k21212m2=8（1+k2）把二元轉化為一元。42+-a42+-a2b261+-a2b2解得a2二8,b2二4.所以橢圓E的方程為=1.4(2)證明：假設滿足題意的圓存在，其方程為x2+y2二R2，其中0<R<2.設該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x^yjB(x2，y2)兩點，當直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y=kx+m，①將其代入橢圓E的方程并整理得(2k2+1)x2+(2k2+1)x2+4kmx+2m2一8=0.由韋達定理得4kmx+x=- ,x1 2 2k2+112m2-8^②2k2+1*因為OA丄OB③xx+yy=0.1212將①代入③并整理得(1+k2)x聯立②得m2=8(1+k2)④3km(x+x)+m2=01 2因為直線AB和圓相切，因此R=]m|，由④得Ji+k2

所以存在圓壯*y28滿足題意.3當切線AB的斜率不存在時，易得圓方程得8圓方程得8yi2=y2=3顯然OA丄OB，綜上所述，存在圓x2*y2-8滿足題意.y3解法一：當切線AB的斜率存在時，由①②④得1AB ；(X1-X2)2*(yi-y2)2—\：'1十k2 (X-X)2—\1十k21：(X十X)2一4XX4km、 .2m2-8 k2十1，‘1十k2：(- )2-4x —4、2；一2k2十1 2k2十1 2k2十1\k2十1，則1門因此 2、 64 3、“t— <t<1 IAB|2—32t(1-—t)—-(t-)2十12.2k2十1 2 3 3 4所以32<|AB12<12,即 <lAB匕山3當切線AB的斜率不存在時，易得］AB|—癥，所3以4^6<1AB1<243.3綜上所述，存在圓心在原點的Ilx綜上所述，存在圓心在原點的Ilx2+y2=8滿足題3意，且4^6mab2込*5、（第五次周考）20?已知橢圓亠,2=>b>0）的離心率為返，且橢圓a2b2 2上任意一點到右焦點F的距離的最大值為邁+1?（1） 求橢圓的方程；（2） 已知點c（m,0）是線段OF上異于O,F的一個定點（O為坐標原點），是否存在過點f且與x軸不垂直的直線1與橢圓交于A,B兩點，使得|AC|=|BC|,請說明理由。分析：1、幾何條件代數化：|AC|=|BC|本質特征：點c在線段ab的垂直平分線上；代數關系：找線段ab的中點與中垂線的斜率.2、代數運算幾何化利用點c（m,0）在x軸上，令y=0,下面就是個范圍問題！點C在線段OF上異于O,F或不在，由m的范圍。范圍問題多樣化。解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。6、（第六次周考）AE20、如圖，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓中心O,且AE■■■■AC?BC二09 |BC|=2AC|‘

（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上兩點p、Q（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上兩點p、Q使ZPCQ的平分線垂直AO，則是否存在實數入使站忑?請說明理由。分析：1、幾何條件代數化：AC.BC=0本質特征:AC丄BC；代數關系：找線段AB的中點與中垂線的斜率.AC|9則|OC|=|AC本質特征：aco是等腰直角三角形；代數關系：由此知點C的坐標，從而求方程； △ZPCQ的平分線垂直AO本質特征：傾斜角互為相反數；代數關系：設一直線斜率為k，另一個為-k；PQ=九AB本質特征：PQAB；代數關系：斜率相等。即證k=k=1，關鍵在于求出P,Q點的坐標PQAB3解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。20解（1）以O為原點，OA所在的直線為x軸建立如圖所示的直角坐標系則A（2,0），設所求橢圓的方程為：節(jié)+養(yǎng)=1（0g,由橢圓的對稱性知IOCI=IOBI,由AC?BC=0得AC丄BC,???|BCI=2ACI,???IOCI=ACI,???△AOC是等腰直角三角形，???C的坐標為（1,1）,?:C點在橢圓上y噸_>x? +右=h??心i，所求的橢圓方程為T+竽Ty噸_>x(2)由于ZPCQ的平分線垂直O(jiān)A(即垂直于x軸)，不妨設直線PC的斜率為無，則直線QC的斜率為次，直線PC的方程為：y=k(x-1)+1,直線QC的方程為y=-k(x-1)+1,由 Jy=k(x-1)+1 得:]x2+3y2-4=0(1+3k2)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0(*) 8分???點C(1,1)在橢圓上，???x=1是方程(*)的一個根,則其另一根為,設的一個根,則其另一根為,設P(xp(xp,yp),1+3k2Q(XQJQ)XP=3k2-6k-1, 同理1+3k2XqXq=3k2+6k-1,1+3k2k(k(3k2-6k-13k2+6k—1)-k(xP+xQ)—2k=? 1+3k2 + 1+3k2 =1…x—x 3k2—6k—13k2+6k—1 3PQ -1+3k2 1+3k2pqy^ziQx-xPQ……10分而由對稱性知〃(-1,-1),又A(2,0)?kAB=13??kPQ=kAB，?:AB與PQ共線，且AB刮,即存在實數九，使P嚴AB 12分7、(第七次周考)20.已知直線1與拋物線x2二4y相切于點P(2,1)

且與X軸交于點A,O為坐標原點。定點B(2,0)，動點Q滿足AB-BQ+間AQ卜0?⑴求動點Q的軌跡C的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，只要該|的切線與動點Q的軌跡C有兩個不同交點M,N，就一定有om?ON=0?若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由。xx+yy=0?1212心到切線的距離等于半徑，找分析：1、幾何條件代數化：OM?ONxx+yy=0?1212心到切線的距離等于半徑，找的切線k,m關系。XX+XX+yiy2=m2=8(1+k2)把二元轉化為一元。3解題方向：聯立直線和橢圓方程解題。同第四次周考題。8、(第八次周考)20?已知橢圓C:乂+蘭=1(a>b〉0)的離心率為1，且橢a2b2 3圓上的點到焦點的最近距離為2,若橢圓C與x軸交AB兩點，M是橢圓C上異于A,B的任意一點:直線MA交直線l:X=9于G點，直線mb交直線/于H點。

（1）求橢圓C的方程；（2）試探求以gh為直徑的圓是否恒經過x軸上的定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由。xx+yy=0?1212心到切線的距離等于半徑，找