歷年全國各地中考數學真題壓軸題訓練-幾何圖形的性質專題填空題部分100題

歷年全國各地中考數學真題壓軸題訓練

幾何圖形的性質填空題部分(解析版)

1.(2018?甘肅中考真題)如圖，M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN,連接AC交BN

于點E,連接DE交AM于點F,連接CF,若正方形的邊長為6,則線段CF的最小值是

【答案】3石-3

【解析】

【分析】

先判斷出Rt^ADM篤RQBCN(HL),得出NDAM=/CBN,進而判斷出ADCE畛ABCE(SAS),得出

NCDE=NCBE,即可判斷出NAFD=90,，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OF=,AD=3,

2

利用勾股定理列式求出OC,然后根據三角形的三邊關系可知當O、F、C三點共線時，CF的長度最小.

【詳解】

如圖，

在正方形ABCD中，AD=BC=CD，NADC=NBCD，/DCE=/BCE，

在Rt^ADM和Rt^BCN中，

AD=BC

AM=BN,

Rt^ADM絲RIABCN(HL),

二4AM=/CBN,

在ZiDCE和aBCE中,

BC=CD

</DCE=/BCE,

CE=CE

.-.△DCE名ABCE(SAS),

.?./CDE=/CBE,

^DCM=/CDE,

/ADF+/CDE=/ADC=90,，

/DAM+NADF=90S

NAFD=180-90=90°，

取AD的中點O,連接OF、OC,

在RSODC中，oc=VDO2+DC2=375

根據三角形的三邊關系，OF+CF>OC，

.?.當0、F、C三點共線時，CF的長度最小，

最小值=OC—OF=36—3，

故答案為：3石-3.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的

三邊關系等，綜合性較強，有一定的難度，確定出CF最小時點F的位置是解題關鍵.

2.（2019?遼寧中考真題）如圖，點尸是正方形A5CZ）的對角線延長線上的一點，連接R1,過點P作

交8c的延長線于點E,過點E作EFJ_5產于點尸，則下列結論中：?PA=PE；②CE=丘PD；③8尸-P￡>=g

80;④SMEF=SAADP,正確的是—（填寫所有正確結論的序號）

【答案】①②③.

【解析】

【分析】

試卷第2頁，總119頁

①解法一：如圖1,作輔助線，構建三角形全等和平行四邊形，證明尸G0AEEP(SAS)，得BG=PE,再證明四

邊形ABGP是平行四邊形，可得結論；

解法二：如圖2,連接AE,利用四點共圓證明4APE是等腰直角三角形，可得結論；

②如圖3,作輔助線，證明四邊形DCGP是平行四邊形，可得結論；

③證明四邊形OCGF是矩形，可作判斷；

④證明AAOP也APFE(A4S)，則S'?=S.PEF，可作判斷.

【詳解】

①解法一：如圖1,在所上取一點G,使FG=EP,連接BG、PG,

圖1

■:EFLBP,

：.ZBFE=90°,

??,四邊形ABC。是正方形，

：.ZFBC=ZABD=45°,

：.BF=EF,

在△BFG和aEF尸中，

BF=EF

???<NBFG=ZEFP,

FG=FP

.?.△BFG四△EFP(SAS),

:.BG=PE,NPEF=NGBF,

'：ZABD=ZFPG=45°,

J.AB//PG,

?CAPLPE,

：.ZAPE=NAPF+NFPE=NFPE+NPEF=90°,

NAPF=NPEF=NGBF,

J.AP//BG,

四邊形ABGP是平行四邊形，

：.AP=BG,

：.AP=PE；

解法二：如圖2,連接AE,VZABC=ZAPE=90°,

圖2

???4、B、E、尸四點共圓，

；,/EAP=NPBC=45°,

VAP±PE,

AZAPE=90°,

???△APE是等腰直角三角形，

：.AP=PE,

故①正確；

②如圖3,連接CG,由①知：PG//AB,PG=ABf

圖3

?：AB=CD,AB//CD,

：.PG//CDfPG=CD,

???四邊形DCG尸是平行四邊形,

:.CG=PD,CG//PD,

■:PD工EF,

：.CGA.EF,即NCGE=90°,

VZCEG=45°,

???CE=y/2CG=yf2PD^

故②正確；

試卷第4頁，總119頁

③如圖4,連接AC交8。于0,由②知：NCGF=NGFD=90°,

圖4

:四邊形A8CD是正方形，

：.AC±BD,

：.ZCOF=90°,

四邊形OCGF是矩形，

：.CG=OF=PD,

：.-BD=OB=BF-OF=BF-PD,

2

故③正確；

④如圖4中，在△40P和△「/王中，

NAOP=NEFP=90

'：＜ZAPF=NPEF,

AP=PE

.?.△AOP絲△PFE(AAS),

?q=v

??4APEF，

S.AOPVSAAOP-sJEF,

故④不正確；

本題結論正確的有：①②③，

故答案為：①②③.

【點睛】

此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質，正方形的性質，平行四邊形和矩形的判定和性

質，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵.

3.(2016?青海中考真題)如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點，且NEDF=45。,

將△DAE繞點D逆時針旋轉90。，得到ADCM.若AE=L則FM的長為一.

【解析】

試題分析：:△DAE逆時針旋轉90。得到△DCM,/.ZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

，F(xiàn)、C、M三點共線，；.DE=DM,ZEDM=90°,/EDF+NFDM=90°,VZEDF=45°,AZFDM=ZEDF=45°,

(DE=DM

在aDEF和ADMF中，\^EDF=/.FDM,.,.△DEF絲△DMF(SAS),；.EF=MF,設EF=MF=x,

(DF=DF

VAE=CM=1,且BC=3,，BM=BC+CM=3+1=4,；.BF=BM-MF=BM-EF=4-x,

VEB=AB-AE=3-1=2,在RtAEBF中，由勾股定理得EB^BP=EF2,即22+(4-x)2=x2,

解得:x=|,；.FM=|.

考點：1.旋轉的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.正方形的性質.

4.(2018?廣東中考真題)如圖，矩形ABC。中，8c=4,CD=2,以AO為直徑的半圓。與相切于點E,

連接8D，則陰影部分的面積為一.（結果保留團

【答案】n.

【解析】

【分析】

如圖所示，連接OE交8力于點凡利用切線的性質得。D=2,OE±BC,易得四邊形。ECO為正方形，再證

△OFD,即可將陰影部分面積轉化為扇形OEO的面積，最后利用扇形面積公式求解即可得出答案.

【詳解】

如圖所示，連接OE交8。于點F,

；以AD為直徑的半圓O與3C相切于點E,

：.OD=2,OELBC,

試卷第6頁，總119頁

：.OE^OD=2,ZOEC=90°,

在矩形ABC。中，

-：AC=90°,ZODC=90°,

四邊形OECD為正方形,

：.CE=0D=2,Z.DOE=90°,

：.BE=BC-CE=2,

：.BE=DO,

'：ADIIBC,

ZEBF=AODF,ABEF=/.DOF,

EFB且4OFD,

90X2TF

，陰影部分的面積=心的￡力=

180

故答案為兀.

【點睛】

本題考查了切線的性質、矩形的性質、正方形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、扇形的面積公式等知識.

正確添加輔助線、仔細識圖從中得到陰影部分面積的求法是解題的關鍵.

5.（2012?貴州中考真題）以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于

A、B兩點，則線段AB的最小值是.

【答案】V2

【解析】

【分析】

iiEACOA^ADOB,推出等腰直角三角形AOB,求出AB=J^OA,得出要使AB最小，只要OA取最小值即可,

當OALCD時，OA最小，求出OA的值即可.

【詳解】

解：如圖，

?.,四邊形CDEF是正方形,

AZOCD=ZODB=45°,ZCOD=90°,OC=OD,

VA010B,

???ZAOB=90°,

AZCAO+ZAOD=90°,ZAOD+ZDOB=90°,

，ZCOA=ZDOB,

???在△COADOB中

ZOCA=ZODB

<OC=OD,

ZAOC=ZDOB

AACOA^ADOB,

.\OA=OB,

ZAOB=90°,

AAAOB是等腰直角三角形，

由勾股定理得：AB=7OA2+OB2=V2OA,

要使AB最小，只要OA取最小值即可，

根據垂線段最短，OAJ_CD時，OA最小，

?.,正方形CDEF,

AFC1CD,OD=OF,

，CA=DA,

1

，OA=-CF=1,

2

即AB=V2

【點睛】

本題考查了勾股定理，全等三角形的性質和判定，正方形的性質，垂線段最短等知識點的應用，關鍵是求出AB=&

OA和得出OAJ_CD時OA最小，題目具有一定的代表性，有一定的難度.

3

6.（2019?河南中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=1,BC=a,點E在邊BC上，S.BE=-a.連接AE,

將AABE沿AE折疊，若點B的對應點*落在矩形ABCD的邊上，則a的值為.

試卷第8頁，總119頁

D

B'

BEC

【答案】*或好

33

【解析】

【分析】

分兩種情況：①點B'落在AD邊上，根據矩形與折疊的性質易得AB=8E，即可求出a的值；②點￡落在CD邊

上，證明AADB'uAB'CE，根據相似三角形對應邊成比例即可求出a的值.

【詳解】

解：分兩種情況：

①當點?落在AD邊上時，如圖1.

???四邊形ABCD是矩形，

/BAD=NB=90°，

將MBE沿AE折疊，點B的對應點8’落在AD邊上,

1。

NBAE=NBAE=—ZBAD=45,

2

AB=BE，

-ci=1，

5

5

ci——；

3

D

：\泄

B"'"EC

圖2

②當點燈落在CD邊上時，如圖2.

??,四邊形ABCD是矩形，

:./BAD=NB=NC=ND=90°，AD=BC=a.

將ZVLBE沿AE折疊，點B的對應點8,落在CD邊上，

3

.?.NB=NAB'E=90°，AB=ABEB=EB=-a,

______________39

DB=y/BA'-AD2=yjl-a2,ECBC-BE=a--a=-.

在AAOB與ABTE中，

ZB'AD=ZEB'C=90°-NAB'D

ZD=NC=90°

MDB2ABeE，

變=/即年鼠;

CEBE—a

解得4=t，a,=。（舍去）.

13

綜上，所求a的值為3或更

33

故答案為2或好.

33

【點睛】

本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應

邊和對應角相等.也考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質.進行分類討論與數形結合是解題的

關鍵.

7.（2014?江蘇中考真題）如圖，直線1與半徑為4的。O相切于點A,P是。O上的一個動點（不與點A重合），

過點P作PBLL垂足為B,連接PA.設PA=x,PB=y,貝U（x-y）的最大值是.

試卷第10頁，總119頁

【答案】2

【解析】

【詳解】

解：連AC,并延長AO交。0于點C,連CP

二ZCPA=90°

又；AB是切線

；.CA_LAB,

VPB±1

；.AC〃PB

二ZCAP=ZAPB

/.△APC^APBA

...—AF=—BP,

ACAP

??.x_—y—

8x

.*.x-y=x-—x2=-—x2+x=-—(x-4)2+2,

888

因此當x=4時，x-y有最大值是2,

考點：1.切線的性質；2.相似三角形的判定與性質；3.二次函數的最值.

8.(2011?廣東中考真題)RtAABC中，已知NC=90。，ZB=50°,點。在邊BC上，BO=2C0(如圖).把AA3C

繞著點。逆時針旋轉機(0</n<180)度后，如果點8恰好落在初始R3A8C的邊上，那么機=.

【答案】80?；?20°

【解析】

【分析】

本題可以圖形的旋轉問題轉化為點B繞D點逆時針旋轉的問題，故可以D點為圓心，DB長為半徑畫弧，第一次與

原三角形交于斜邊AB上的一點B，，交直角邊AC于B",此時DB，=DB,DB"=DB=2CD,由等腰三角形的性質求旋

轉角NBDB，的度數，在RtAB"CD中，解直角三角形求/CDB",可得旋轉角/BDB”的度數.

【詳解】

解：如圖，在線段AB取一點B，，使DB=DB\在線段AC取一點B",使DB=DB",

①旋轉角m=ZBDB，=180。-NDB，B-NB=180°-2ZB=80°,

②在RtAB'CD中，VDB"=DB=2CD,

，NCDB"=60。，

旋轉角NBDB”=1800-NCDB"=120°.

故答案為80。或120°.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、

后的圖形全等.運用含30度的直角三角形三邊的關系也是解決問題的關鍵.

9.（2018?山東中考真題）如圖,在矩形A1?：。中,48=2,BC=4,點E、F分另U在BC、CD上，若AE=V^,NEAF=45。,

【答案】平

【解析】

試卷第12頁，總119頁

分析：取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設DF=DN=x,則NF=0x,再利用矩形的性質和已知

條件證明AAMES^FNA,利用相似三角形的性質：對應邊的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用

勾股定理即可求出AF的長.

詳解：取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設DF=DN=x,

?.?四邊形ABCD是矩形，

.?.ND=/BAD=NB=90。，AD=BC=4,

.?.NF=V5X,AN=4-x,

VAB=2,

.\AM=BM=1,

VAE=V5，AB=2,

；.BE=1,

ME=y]BM2+BE2=V2，

'：ZEAF=45°,

.\ZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

ZMEA=ZNAF,

AAAME^AFNA,

.AMME

4

解得：x=—

3

???AF=^AD2+DF2=

3

故答案為生叵.

3

點睛：本題考查了矩形的性質、相似三角形的判斷和性質以及勾股定理的運用，正確添加輔助線構造相似三角形是

解題的關鍵，

10.（2018?遼寧中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E是CD的中點，將ABCE沿BE折疊后得到ABEF、且點

F在矩形ABCD的內部，將BF延長交AD于點G.若空=',則處=_.

GA7AB

【答案】＞/2

【解析】

【分析】

連接GE,根據中點定義可得DE=CE,再根據翻折的性質可得DE=EF,ZBFE=90°,利用“HL”證明

DGi

RtAEDG^RtAEFG,根據全等三角形對應邊相等可得FG=DG,根據——=一，設DG=FG=a，則AG=7a,故

GA7

AD=BC=8a,則BG=BF+FG=9a,由勾股定理求得AB=4"z，再求比值即可.

【詳解】

連接GE,

??,點E是CD的中點，...EC=DE,

；將ABCE沿BE折疊后得到aBEF、且點F在矩形ABCD的內部，

；.EF=DE,ZBFE=90°,

GE=GE

在RtAEDG和RtAEFG中〈，

DE=EF

.?.RtAEDG^RtAEFG(HL),

AFG=DG,

?.DG1

?——，

GA7

.?.設DG=FG=a,則AG=7a,故AD=BC=8a,貝ijBG=BF+FG=9a,

???AB二=4缶，

AD8。rr

故----=-1=~=v2,

AB4夜。

故答案為血.

試卷第14頁，總119頁

【點睛】

本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，以及翻折變換的性質，熟記性質并作輔助線

構造出全等三角形是解題的關鍵.

11.（2019?四川中考真題）如圖，正五邊形ABCDE中，對角線AC與BE相交于點F,則NAFE=_______度.

【答案】72.

【解析】

【分析】

根據五邊形的內角和公式求出NE4B，根據等腰三角形的性質，三角形外角的性質計算即可.

【詳解】

解：,五邊形ABCDE是正五邊形,

=108°,

-,-BA=BC,

NBAC=NBCA=36，

同理NABE=36°,

ZAFE=ZABF+ZBAF^36°+36°=72°.

故答案為：72

【點睛】

本題考查的是正多邊形的內角與外角，掌握正多邊形的內角的計算公式、等腰三角形的性質是解題的關鍵.

12.（2011?遼寧中考真題）如圖所示，ZE=ZF=90°,ZB=ZC,AE=AF,結論：①EM=FN；②AF

〃EB；③NFAN=NEAM；④ZkACN0/iXABM其中正確的有.

EC

M

D

【答案】①③④

【解析】

【分析】

由NE=NF=90。，ZB=ZC,AE=AF,利用“AAS”得到△ABE與△ACF全等，根據全等三角形的對應邊相等且對應

角相等即可得到/EAB與NFAC相等,AE與AF相等,AB與AC相等，然后在等式NEAB=NFAC兩邊都減去NMAN,

得到/EAM與NFAN相等，然后再由NE=/F=90。，AE=AF,ZEAM=ZFAN,利用25人”得到4人￡1\1與4人取

全等,利用全等三角形的對應邊相等,對應角相等得到選項①和③正確;然后再/C=/B,AC=AB,ZCAN=ZBAM,

利用“ASA”得到△ACN與△ABM全等，故選項④正確；若選項②正確，得到NF與NBDN相等，且都為90。，而

NBDN不一定為90。，故②錯誤.

【詳解】

解：在AABE和AACF中，

ZE=ZF=90°,AE=AF,ZB=ZC,

.,?△ABE^AACF,

AZEAB=ZFAC,AE=AF,AB=AC,

ZEAB-ZMAN=ZFAC-ZNAM,即/EAM=/FAN,

在^AEM和^AFN中，

ZE=ZF=90°,AE=AF,ZEAM=ZFAN,

.'.△AEM名△AFN,

/.EM=FN,ZFAN=ZEAM,故選項①和③正確；

在4人。^和4ABM中，

NC=NB,AC=AB,ZCAN=ZBAM（公共角），

.,.△ACN四△ABM,故選項④正確；

若AF〃EB,ZF=ZBDN=90°,而NBDN不一定為90。，故②錯誤，

則正確的選項有：①③④.

故答案為①③④

13.（2015?遼寧中考真題）如圖，AABC,ZC=90°,AC=BC=a,在△ABC中截出一個正方形AIBICIDI,使點

Ai,Di分別在AC,BC邊上，邊BiCi在AB邊上；在△BGDi在截出第二個正方形A2B2c2D2,使點A2,D2分別

在BCi,DiCi邊上，邊B2c2在BDi邊上；…，依此方法作下去，則第n個正方形的邊長為.

試卷第16頁，總119頁

【解析】

【詳解】

設正方形AiBtCiDi的邊長為x,

?.?△CAQ/tUAA1B1都是等腰直角三角形,

/y

??A]C=———%,AAi—yp2.x?

x+>/2x=a

2

解得x=^a,即第1個正方形的邊長為受a，

33

設正方形A2B2C2D2的邊長為y,

?.?△C2DQ2和△GA2D2都是等腰直角三角形，

/.CiD2=-^-y,DID2=5/2y,

.V2/T-V2

??-^-y+yJ2y=—^-a，

解得y=（半）%,

即第2個正方形的邊長為（拳）2〃................

同理可得第3個正方形的邊長為（變）3。，

...第n個正方形的邊長為（牛）％?

故答案為（坐）"a.

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.等腰直角三角形；3.正方形的性質：4.規(guī)律型；：.綜合題.

14.（2018?貴州中考真題）如圖拋物線y=x2+2x-3與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點P是拋物線對稱軸

上任意一點，若點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，連接DE,DF,則DE+DF的最小值為

【答案】辿

2

【解析】

【分析】

連接AC,與對稱軸交于點P,此時DE+DF最小，求解即可.

【詳解】

連接AC,與對稱軸交于點P,

此時DE+DF最小，

?.?點D、E、F分別是BC、BP、PC的中點，

:.DE=-PC,DF=-PB,

22

在二次函數y=x?+2x-3中，當尤=（）時，y=-3,

當y=0時，%=一3或x=L

即A（-3,0）,B（l,0）,C（0,-3）.

試卷第18頁，總119頁

OA=OC=3,

AC=，32+32=3夜,

點P是拋物線對稱軸上任意一點,

貝I]PA=PB,

PA+PC=AC,

PB+PC=3>/2,

DE+DF的最小值為：；（PB+PC）=±f

故答案為￡1.

2

【點睛】

考查二次函數圖象上點的坐標特征，三角形的中位線，勾股定理等知識點，找出點P的位置是解題的關鍵.

15.（2019?山東中考真題）如圖，在矩形紙片A8C。中，將A8沿8M翻折，使點A落在3c上的點N處，BM為

折痕，連接MN；再將。。沿CE翻折，使點。恰好落在MN上的點E處，CE為折痕，連接EF■并延長交8M于

點P,若AD=8,AB=5,則線段PE的長等于.

【解析】

【分析】

根據折疊可得是正方形，CD=CF=5,ND=NCFE=9（T，ED=EF，可求出三角形FWC的三邊為

3,4,5,在心AMEF中，由勾股定理可以求出三邊的長，通過作輔助線，可證"TVCsAPGE,三邊占比為3：

4：5,設未知數，通過PG=HN,列方程求出待定系數，進而求出尸”的長，然后求PE的長.

【詳解】

過點P作PGLFN,PH工BN,垂足為G、H,

由折疊得：是正方形，AB=BN=NM=MA=5,

CD=CF=5,ND=NCFE=90，ED=EF，

NC=MD=8—5=3,

在RMNC中，F(xiàn)N=A/52-33=4，

ME=5—4=1,

在RtAMEF中,設EF=x,則ME=3—無，由勾股定理得，

I2+(3-x)2=x2,

解得：x=』，

3

,?*ZCFN+Z.PFG=90，4PFG+NFPG=90°，

/."NCs"GF,

，F(xiàn)G:PG:PF=NC:FN:FC=3:4:5,

設FG=3，〃，則PG=4m,PF=5m,

：.GN=PH=BH=4-3m,“N=5-(4-3m)=l+3m=PG=4加，

解得：m—i,

：.PF=5m=5,

【點睛】

考查折疊軸對稱的性質，矩形、正方形的性質，直角三角形的性質等知識，知識的綜合性較強，是有一定難度的題

目.

16.（2019?甘肅中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=10,AD=6,E為BC上一點，把4CDE沿DE折疊，

使點C落在AB邊上的F處，則CE的長為.

R￡

-

U

C

試卷第20頁，總119頁

【解析】

【分析】

設CE=x,則BE=6-x由折疊性質可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=10,所以AF=8,BF=AB-AF=10-8

=2,在Rt/SBEF中，BE2+BF2=EF2,即（6-x）2+22=x2,解得x=W.

3

【詳解】

解：設CE=x,則BE=6-x由折疊性質可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=10,

在RtaDAF中，AD=6,DF=10,

.\AF=8,

/.BF=AB-AF=10-8=2,

在RL^BEF中，BE2+BF2=EF2,

即（6-X）2+2』X2,

解得X=?，

故答案為7,

【點睛】

本題考查了矩形，熟練掌握矩形的性質以及勾股定理是解題的關鍵.

17.（2019?遼寧中考真題）如圖，直線y=；x+l與x軸交于點M,與y軸交于點4,過點A作AB_LAM，交X

軸于點B,以A8為邊在A8的右側作正方形A3C4,延長4C交x軸于點為，以為邊在4國的右側作正方

形4BGA2…按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，每個小正

方形的每條邊都與其中的一條坐標軸平行，正方形ABC41,4BC/2,…，中的陰影部分的面積分

【解析】

【分析】

因為所有的正方形都相似，所以只要求出第一個陰影正方形的面積和第二個陰影正方形與第一個陰影正方形的相似

0A|

比即可依此規(guī)律求解.根據題意和正方形的性質可得NOA3=NAMO,所以它們的正切相等，等于——=—,據

0M3

此可求出08的長，再用0A-0B即為第一個陰影正方形的邊長，于是S可得；同理可求得Ad與AB的關系，進

而可求得與與5的關系；以此規(guī)律類推可求得5“與多的關系，整理即得答案.

【詳解】

解：在直線y=；x+l中，當x=0時，y=l；當y=0時，x=—3；

CM=1,OM=3,：.tanZAMO=-

3

<-,ZOAB+ZOAM=90°，ZAMO+ZOAM=90°，

...ZOAB=ZAMO,

tanNOAB==—,OB=—.

OA33

；正方形A8c4中的四個小正方形都與△AOB全等,

12

,第一個陰影正方形的邊長為：1--=一，

33

同理—廣箓3皿61

一,

3

,B]C^BC=^CMB,

4

AlBl=—AB,

4

同理可得S3x—二

9

故答案為:

試卷第22頁，總119頁

【點睛】

本題是一次函數與正方形的規(guī)律探求綜合題，主要考查了一次函數與坐標軸的交點、正方形的性質、銳角三角函數

和相似多邊形的性質，難度較大，解答時需充分理解題意、注意知識的前后聯(lián)系，解答的關鍵是找出解題的規(guī)律，

正確得出Sn與Si的關系.

18.（2019?遼寧中考真題）如圖，直線h的解析式是y=*x,直線12的解析式是y=點Ai在h上，Ai的

3

橫坐標為二，作4月交L于點B”點B2在L上，以BiA”B1B2為鄰邊在直線h,L間作菱形A1B1B2C1,分別

2

以點Ai,B2為圓心，以AiBi為半徑畫弧得扇形BiAiG和扇形B1B2C1,記扇形BiAiCi與扇形BiB2G重疊部分的

面積為Si；延長B2cl交h于點A2,點B3在12上,以B2A2,B2B3為鄰邊在h,I2間作菱形延B2B3c2,分別以點A2,

B3為圓心，以A2B2為半徑畫弧得扇形B2A2c2和扇形B2B3c2,記扇形B2A2c2與扇形B2B3c2重疊部分的面積為S2……

過Al作，X軸于D,連接B.C.,B2c2,B3c3,B4c4,根據已知條件得到點A，求得,A。=^，

根據勾股定理得到QA=^D2+OD2=J￥+（|J=6求得NAOO=30°，得到NB0O=60°,求

得/4。4=30°,推出△A4G是等邊三角形，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

過Ai作軸于D,連接BiG,B2c2,B3c3,B4c4,

\OD=~,4。=立

22

,?=dAD。+OD。=5

?.在RtV4］。。中，4。=萬04,

?.NA。。=30°，

??直線12的解析式是y=gx,

?.AB.OD=60",

\Z-AXOB}=30,

?.4瓦=-tanNROg=1,

.?A4交12于點Bi,

,.Z-AyByO=60,

?.Z4B,B2=120°,

?.ZB,AC,=60°,

.,四邊形AIBIB2G是菱形，

?.△AgC是等邊三角形，

f60-^-xl2g八兀g

S]=2(S扇形44G-SAQACI____________x1~—______

\3604/32

：\C}//B}B2,

試卷第24頁，總119頁

/.N&AC=幺04=30",

13

A5G=—,=&G+BC=—,ZA52O=60°,

22t2

q)=2x

同理,S2=2(S扇形44G'J&BAC

2222360

325-1)3?"-2

AS.

22>

nv3

故答案為:

32

【點睛】

本題考查了扇形的計算，規(guī)律型：點的坐標，菱形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵.

19.（2019?遼寧中考真題）如圖，直線4的解析式是y=乎無，直線〃的解析式是,=氐，點A在4上，A的

橫坐標為g,作A4，《交〃于點用，點與在上，以44，4鳥為鄰邊在直線/一4間作菱形A4B2G，分別

以點4，層為圓心，以A4為半徑畫弧得扇形44G和扇形與B?G，記扇形44a與扇形重疊部分的面

積為5；延長82G交4于點4,點在4上，以見&,與員為鄰邊在人間作菱形AZ與RG，分別以點4,

員為圓心，以人與為半徑畫弧得扇形與4G和扇形昆星G,記扇形Bz&c?與扇形B283G重疊部分的面積為

......按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則S,=_.（用含有正整數〃的式子表示）

【分析】

過A作4。，X軸于O,連接用G,B2c2,503，B4C4,根據已知條件得到點A（|，乎），求得0。=|,4。=*,

根據勾股定理得到CA=+。獷=J（曰）2+§）2=G,求得幺8=30。，得到40。=60。，求得

幺。4=3。。，推出△A4G是等邊三角形，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

過a作AE>_Lx軸于。，連接瓦G，B2c2，Bg,B4c4,

???點A在4上，A的橫坐標為點當），

OD=—,A.D=,

2"2

04=^02+002=+（|）2=拒，

，在RfAAQ。中，4。=3。4，

.-.ZA,00=30°,

???直線6的解析式是y=后，

NBQD=60。,

.?.幺04=30。，

45=Q4,.tan幺。4=1,

?.?44，4交4于點為，

二幺8。=60°,

試卷第26頁，總119頁

ZA^B2=120°,

=60°,

???四邊形4瓦82G是菱形，

.?.△A4G是等邊三角形，

c\_c(60-^-xl2y]3乃串

,?S|-2(S扇形B,AG_S“0，AG)-2X———XL-~一_—>

\/

,「AG/

/BXB2,

ZA24G="OB[=30°,

13

.?.&G=5，4與=4G+與。1=]，幺芻。=60。，

6022

同理，S2=2(SfflO/UC-SBAyC)=2x[—￡X(-)]=[--X(-)-

2\扇形為為G/L3604、2'J32z!

v/

邑嗎-與x6.

,2n-2

本題考查了扇形面積的計算，規(guī)律型，菱形的性質，直角三角形的性質，等邊三角形的性質以及三角函數的應用,

正確的識別圖形是解題的關鍵.

20.（2019?遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，OA=L以OA為一邊，在第一象限作菱形OAAm,并使

NAOB=60°,再以對角線OAi為一邊，在如圖所示的一側作相同形狀的菱形OA1A2B1,再依次作菱形OA2A3B2,

OA3A4B3,........,則過點B2OI8,B2019?A2019的圓的圓心坐標為.

【答案】S2018,(g)2019)

【解析】

【分析】

過Ai作AiCLx軸于C,由菱形的性質得到OA=AAi=l,ZA,AC=ZAOB=60°,根據勾股定理得到OA|=

《OCrAC?=5求得NA?B|A3=60°,解直角三角形得到BIA3=2?,A2A3=3,OA3=OB1+B1A3=

36=(百)③得到菱形OA2A3B2的邊長=3=(6)2,設B1A3的中點為OI,連接O1A2,OIB2,推出過點BI,

B2,A2的圓的圓心坐標為Oi(0,26)，以此類推，于是得到結論.

【詳解】

解：過Ai作AiCLx軸于C,

?.,四邊形OAAiB是菱形，

.\OA=AAi=l,ZAiAC=ZAOB=60°,

V31

.-.AiC=—,AC=-,

22

3

.?.OC=OA+AC=一，

2

在RtaOAC中，OA尸"g+什=6,

O

?：ZOA2C-ZB|A2O=30,/A3A20=120°,

.?.NA3A2BI=90°,

AZA2BIA3=60°,

B1A3=2-^3,A2A3=3,

.,.OA3=OBI+B|A3=3V3=(6)3

.??菱形OA2A3B2的邊長=3=(6)2,

設B|A3的中點為O,連接AA2,O,B2.

試卷第28頁，總119頁

于是求得，OIA2=OIB2=OIBI=G=（V3）'，

二過點Bi,B2,A2的圓的圓心坐標為OI（0,2百）,

?.?菱形OA3A4B3的邊長為3石=（百）3,

OA4—9—（-^3）”,

設B2A4的中點為。2,

連接02A3,O2B3,

同理可得，02A3=0汨3=。282=3=（百）2,

過點B2,B3,A3的圓的圓心坐標為。2（-3,36），…以此類推，菱形OA2019A2020B20I9的邊長為（百）2019

OA2020=（G）2°20,

設B2018A2020的中點為。2018,連接。201心2019,O2OI3B2OI9,

求得,O20l8A20l9=O2018B2019=C）2018B20l8=（色）2°'8,

工點。2018是過點B2OI8,B20I9,A2019的圓的圓心，

V20184-12=168-2,

...點O2018在射線OB2上,

則點O20I8的坐標為（-（G）238,（6）2019）,

即過點B2018,B20I9,A20I9的圓的圓心坐標為：（-（百）2018,（百）2019）,

故答案為:（-（百）2。18,（52019）.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，解直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

21.（2019?遼寧中考真題）如圖，點A”A2,4…，4,在x軸正半軸上，點G,C2,C3,C.在y軸正半軸上,

點81,此,當….，即在第一象限角平分線OM上,051=5由2=8153=...=&一向=￥-（1,4848心,4252_182c2,

2

A3B31B3C3....A“B“上B￡,,則第〃個四邊形。4紇G的面積是

【解析】

【分析】

過點G作用于點E,過點A作于點F,過點與分別作用"LOG于點H,用NJ.O4于點

N,先證明：AB)WCj=AB,NAl(AAS),再證明：AAGE1絲AA^/(AAS),即可證得：C\E+AiF=F+OF=OB「

進而可得：S四邊形QAMLSAO叫G+5A08出=鏟~，同理可得：S四邊形外生&=鏟-2,s四邊形0Ag=京"-3-，…，

?_322_3〃2a2

)四邊形O44,c“一Wa.〃京一?

【詳解】

如圖，過點Ci作CIELOBI于點E,過點Ai作AF_LOBi于點F,過點Bi分別作BiHLOG于點H,BIN_LOAI于

點N,

?.?/BQCi=/BQA|,

；.B|H=BiN

；NHBIN=NCIBAI=90°

/.ZHBICI-ZNBIAI

VZB|HCi=ZBiNA,=90o

.".△BiHCi^ABiNA,(AAS)

**.BI