南通市啟東市啟東中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析江蘇省啟東中學(xué)2019—2020學(xué)年度第一學(xué)期期終考試高二數(shù)學(xué)考試時間：120分鐘；試卷分值：150分一、單選題（本題共8小題,每小題5分，共40分）1。圓和圓的位置關(guān)系是（)A.內(nèi)切 B。外切 C.相交 D。外離【答案】C【解析】【分析】把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心的距離d，然后求出R﹣r和R+r的值，判斷d與R﹣r及R+r的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系．【詳解】把圓x2+y2﹣2x＝0與圓x2+y2+4y＝0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，故圓心坐標(biāo)分別為(1，0）和(0，﹣2）,半徑分別為R＝2和r＝1，∵圓心之間的距離，則R+r＝3，R﹣r＝1,∴R﹣r＜d＜R+r，∴兩圓的位置關(guān)系是相交．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，比較兩圓的圓心距，兩圓的半徑之和，之差的大小是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2。“”是“為2與8的等比中項(xiàng)”的(）A.充分不必要條件 B。必要不充分條件C.充要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等比中項(xiàng)公式及充分必要條件判斷求解．【詳解】解:是兩個正數(shù)2和8的等比中項(xiàng)，．故是的充分不必要條件，即“”是“為2與8的等比中項(xiàng)"的充分不必要條件,故選．【點(diǎn)睛】本題考查兩個正數(shù)的等比中項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題,解題時要注意兩個正數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個．3。下列命題中，不正確的是(）A。若，，則 B。若，則C。若,則 D。若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、特殊值法可判斷出各選項(xiàng)中不等式的正誤?！驹斀狻繉τ贏選項(xiàng)，，,又，由不等式的性質(zhì)得，A選項(xiàng)中的不等式正確；對于B選項(xiàng)，若，則,，B選項(xiàng)中的不等式正確;對于C選項(xiàng)，取，則,C選項(xiàng)中的不等式不成立；對于D選項(xiàng)，，，則，則,,D選項(xiàng)中的不等式正確.故選C。【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，常見的方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法、比較法，在判斷時可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法，考查推理能力，屬于中等題.4.在等差數(shù)列中,首項(xiàng)，公差，前n項(xiàng)和為，且滿足，則的最大項(xiàng)為(）A. B。 C。 D。【答案】C【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得,，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，,結(jié)合已知可得，，即可判斷．【詳解】解：等差數(shù)列中，且滿足,∴，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,,∵首項(xiàng)，公差,∴，∴，，則的最大項(xiàng)為．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．5.若兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式有解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(）A B。C. D。【答案】B【解析】【分析】利用“1”的代換的思想進(jìn)行構(gòu)造，運(yùn)用基本不等式求解最值，最后解出關(guān)于的一元二次不等式的解集即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立,∵有解，∴，∴，即，解得，或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查“1”的代換,屬于基礎(chǔ)題．6。在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC＝90°,D、E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB＝AC＝1，PA＝2，則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為（)A. B。 C. D.【答案】C【解析】試題分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知:A(0，0，0）,B（1，0,0），P(0,0，2），，，設(shè)是平面DEF的一個法向量，則即，取x＝1，則，設(shè)PA與平面DEF所成的角為,則sinθ＝．考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系,角的計算．點(diǎn)評:典型題，立體幾何題,是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計算．在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”．利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計算"的步驟,利用向量則簡化了證明過程．7。雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,若這兩曲線的一個交點(diǎn)滿足軸，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程得點(diǎn)坐標(biāo)，得；根據(jù)軸可知既是拋物線通徑長的一半，又是雙曲線通徑長的一半,從而可得的關(guān)系；通過構(gòu)造出關(guān)于的方程,解方程求得結(jié)果?！驹斀狻坑深}意得:，即軸為拋物線通徑長的一半又為雙曲線通徑長的一半，即由得：，解得:(舍）或本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。8。已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn),點(diǎn)，則的最大值為A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，由已知條件推導(dǎo)出，利用Q,，P共線,可得取最大值．【詳解】由題意,點(diǎn)F為橢圓的左焦點(diǎn),，點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為，

，，，即最大值為5，此時Q，，P共線,故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和簡單的幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想以及推理與運(yùn)算能力．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9。在下列函數(shù)中,最小值是2的函數(shù)有(）A. B。C。 D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件,可分別判斷四個選項(xiàng)是否滿足最小值為2.【詳解】對于A,且,滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以A正確;對于B,，且。滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知。當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,因?yàn)樗匀〔坏降忍枺碆錯誤；對于C,，，且.滿足都是正數(shù)且乘積為定值。由基本不等式可知.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，因?yàn)榉匠虩o解,所以取不到等號，即C錯誤；對于D，且，滿足都是正數(shù)且乘積為定值。由基本不等式可知。當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以D正確;綜上可知最小值是2的函數(shù)有AD故答案為：AD【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)基本不等式求函數(shù)的最值,注意”一正二定三相等”的成立條件,屬于基礎(chǔ)題.10.下面命題正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B。命題“任意，則”的否定是“存在，則”.C.設(shè)，則“且”是“"的必要而不充分條件D.設(shè)，則“"是“”的必要不充分條件【答案】ABD【解析】【分析】分別判斷充分性與必要性,即可得出選項(xiàng)ACD的正誤；根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,判斷選項(xiàng)B的正誤．【詳解】解：對于A，或，則“"是“”的充分不必要條件，故A對；對于B，全稱命題的否定是特稱命題，“任意，則"的否定是“存在,則”，故B對；對于C，“且”“”，“且”是“”的充分條件，故C錯;對于D，,且，則“”是“”的必要不充分條件，故D對；故選:ABD．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題真假的判斷,考查充分條件與必要條件的判斷,考查不等式的性質(zhì)與分式不等式的解法,屬于易錯的基礎(chǔ)題．11.如圖,在棱長均相等的四棱錐中，為底面正方形的中心，,分別為側(cè)棱，的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有：（）A?！纹矫?B.平面∥平面C.直線與直線所成角的大小為 D?！敬鸢浮緼BD【解析】【分析】選項(xiàng)A,利用線面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)B,先利用線面平行的判定定理證明CD∥平面OMN，再利用面面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)C，平移直線,找到線面角，再計算;選項(xiàng)D,因?yàn)镺N∥PD，所以只需證明PD⊥PB,利用勾股定理證明即可.【詳解】選項(xiàng)A，連接BD,顯然O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以∥ON，由線面平行的判定定理可得,∥平面；選項(xiàng)B,由,分別為側(cè)棱，的中點(diǎn),得MN∥AB,又底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又選項(xiàng)A得∥平面,由面面平行的判定定理可得，平面∥平面;選項(xiàng)C,因?yàn)镸N∥CD，所以∠PDC為直線與直線所成的角，又因?yàn)樗欣忾L都相等,所以∠PDC=,故直線與直線所成角的大小為;選項(xiàng)D，因底面為正方形，所以，又所有棱長都相等，所以,故，又∥ON,所以，故ABD均正確.【點(diǎn)睛】解決平行關(guān)系基本問題的3個注意點(diǎn)(1）注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視．(2）結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷．（3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確．12。將個數(shù)排成行列的一個數(shù)陣，如下圖:該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列（其中）.已知，，記這個數(shù)的和為.下列結(jié)論正確的有（)A。 B.C. D?！敬鸢浮緼CD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)中的數(shù)陣，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案。【詳解】由題意,該數(shù)陣第一列的個數(shù)從上到下構(gòu)成以為公差的等差數(shù)列，每一行的個數(shù)從左到右構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，且，，可得,，所以，解得或（舍去），所以選項(xiàng)A是正確的；又由，所以選項(xiàng)B不正確；又由，所以選項(xiàng)C是正確的；又由這個數(shù)的和為，則，所以選項(xiàng)D是正確的，故選ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的求解,以及等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,其中解答中合理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題。三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13。命題“?x0∈R，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】由題得“x0∈R,”為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.【詳解】由題得“x0∈R，”為真命題，所以，所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題否定,考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14.點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡為__________,離心率為________．【答案】（1).橢圓（2)?！窘馕觥俊痉治觥恐苯痈鶕?jù)橢圓的第二定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵,∴點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為,∴點(diǎn)的軌跡為橢圓，其離心率為，故答案為:橢圓，．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的第二定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)M、N。若以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為________。【答案】【解析】【分析】由題意可得為等腰直角三角形，設(shè)，則,結(jié)合雙曲線的定義可得，再由勾股定理可得離心率．【詳解】解：如圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，由題意可得為等腰直角三角形，為直角三角形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得，，又，∴,∴，則,∴，∴，，在中，由勾股定理可得，即，∴,∴離心率，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查計算能力，屬于中檔題．16。已知圓，點(diǎn)是圓上一動點(diǎn),若在圓上存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的最大值為________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥糠治隹傻脻M足,結(jié)合條件可得圓與圓內(nèi)切，從而可得答案．【詳解】解：要使最大，考慮點(diǎn)在圓外,若在圓上存在點(diǎn)，使得,當(dāng)直線與圓相切時,有最大值，∴，即，則滿足，又點(diǎn)是圓上一動點(diǎn),由圖可知，圓與圓內(nèi)切，∴，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．四、解答題（本題共6小題,共70分）17.已知集合，集合,。(1）若“”是真命題，求實(shí)數(shù)取值范圍;（2）若“”是“”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）（2)【解析】【分析】（1）解不等式即得a的取值范圍；（2）先化簡B，由題得是的真子集,解不等式組得解?！驹斀狻拷猓海?）若“”是真命題，則，得。(2)，若“”是“”的必要不充分條件，則是的真子集，即，即,得,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查元素與集合的關(guān)系，考查充要條件和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18.已知橢圓的長軸長為,短軸長為．(1）求橢圓方程；(2)過作弦且弦被平分，求此弦所在的直線方程及弦長．【答案】（1)；(2)，?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a，b，c即可；（2）設(shè)以點(diǎn)P（2，1)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（x1,y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法求出k，然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組,求出A，B,再求出|AB|．【詳解】(1)由橢圓長軸長為，短軸長為，得，所以，所以橢圓方程為．(2)設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于，則.在橢圓上，所以，,兩式相減可得,所以的斜率為，∴點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為.由，得，所以或，所以．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程，直線方程的求法，弦長公式，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．19.某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備,該套設(shè)備預(yù)計平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤(萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計算這套設(shè)備使用多少年,可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元？【答案】(1），(2)這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤35萬元【解析】【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可以求出年的維護(hù)費(fèi),這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤（萬元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系;（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值?！驹斀狻拷猓海?）由題意知，年總收入萬元年維護(hù)總費(fèi)用為萬元?！嗫偫麧?，即，（2）年平均利潤為∵，∴當(dāng)且僅當(dāng),即時取“”∴答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.【點(diǎn)睛】本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1)證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值?！敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】【分析】(1）利用長方體的性質(zhì),可以知道側(cè)面，利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出之間的關(guān)系,分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角的正弦值.【詳解】證明（1）因?yàn)槭情L方體，所以側(cè)面，而平面，所以又,,平面，因此平面；（2）以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)椋?，所?，設(shè)是平面的法向量,所以，設(shè)是平面的法向量，所以，二面角的余弦值的絕對值為，所以二面角的正弦值為?！军c(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。21.設(shè)數(shù)列、都有無窮項(xiàng)，的前項(xiàng)和為，是等比數(shù)列，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；(2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為?！敬鸢浮?1）；（2）【解析】【分析】(1)由可求出,根據(jù)定義求出數(shù)列的公比,從而可求出；（2)由題意得，再用錯位相減法求和即可．【詳解】解:(1）當(dāng)時,==4；