北師大版初中數(shù)學(xué)初三年級下冊冊全書知識(shí)點(diǎn)講義

北師大版初中數(shù)學(xué)初三下冊全書知識(shí)點(diǎn)講義

銳角三角函數(shù)一知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.結(jié)合圖形理解記憶銳角三角函數(shù)定義；

2.會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值；

3.理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、銳角三角函數(shù)的概念

如圖所示，在RtaABC中，/C=90°,/A所對的邊BC記為a,叫做NA的對邊，也

叫做NB的鄰邊，NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是NA的鄰邊，直角C所對

的邊AB記為c,叫做斜邊.

乙帕勺對邊a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊c

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA,即==2

斜邊C

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=翌,鬻，.

/岫鄰邊b

第*=筆迺,an八幺黑|一

斜邊c斜邊cN硒鄰邊a

要點(diǎn)詮釋：

(1)正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，

是兩條線段的比值.角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成sin,j，

cos?A,

tan?工，不能理解成sin與/A,cos與/A,tan與/A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省

略NA的角的記號(hào)“N”，但對三個(gè)大寫字母表示成的角(如NAEF),其正切應(yīng)寫成“tanN

AEF”，不能寫成

“tanAEF"；另夕卜，(sinj)，(cos/)”(tan/)?常寫成sin?工、cos?/、tan2A-

(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值,不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.

(4)由銳角三角函數(shù)的定義知：

當(dāng)角度在0°<NA<90°間變化時(shí)，0〈sinR<l，0<cos^<btanA>0.

要點(diǎn)二、特殊角的三角函數(shù)值

利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下:

銳角asinacosatana

1

30°邁0

223

45°正正1

60°

22

要點(diǎn)詮釋：

(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60。角的各三角函數(shù)值，它的另一個(gè)應(yīng)用就

是：如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若sin8=亞，

2

則銳角6=45°?

(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

sin30。、sin45°、sin60°的值依次為苴、走、近，而cos30。、cos45°、cos60°

222

的值的順序正好相反，tan30°、tan45°、tan60°的值依次增大，其變化規(guī)律可以總結(jié)為：

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)；

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大).

要點(diǎn)三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°.

(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90°一乙4)=cosB,cosA=sin(90°-乙4)=sin5；

(2)平方關(guān)系：sir?J4+COS2-4=1；

(3)倒數(shù)關(guān)系：tan上■tan(90°-乙4)=1或tan/=—-—；

tan5

(4)商數(shù)關(guān)系：tan/=^H./

COSJ4

要點(diǎn)詮釋：

銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出，常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)

算中，計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡便.

【典型例題】

類型一、銳角三角函數(shù)值的求解策略

1.（2016?安順）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

則NABC的正切值是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理，可得AC、AB的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得答案.

【答案】D.

【解析】

由勾股定理，得_

AC=&,AB=2A/^,BC=A/TO>

/.AABC為直角三角形，

tanZB=-^.=—,

AB2

故選：D.

【總結(jié)升華】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先求出AC、AB的長，再求正切函數(shù).

舉一反三：

【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)高清ID號(hào)：395948

關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（1）-（2）】

【變式】在RtAABC中，zC=90°,若a=3,b=4,則0=，

sinA=,8sA=,sinB=,cosB=

AC

b

3443

【答案】c=5，sinA=-，8sA=—，sinB=-,cosB=

5555

類型二、特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算

2.求下列各式的值：

（1）（2015?茂名校級-一模）6tan230°-V3sin600-2sin45"；

（2）（2015?樂陵市模擬）V2sin60°-4cos2300+sin45°?tan600；

（3）（2015?寶山區(qū)一模）sin60。+tan60?_----_2-----__

COS26002cos450+tan600

【答案與解析】一

解：（1）原式=6X（近）2-^x—-2X—

2

（2）原式=揚(yáng)直-4x（直）2+近x遍

222

=近-3+近

22

近

(3)原式=—a一+V32

(A)2V2+V3

2

=273+73-2他-近）

（V2+V3）（V3~V2）

=3?-25/3+272

=6+20.

【總結(jié)升華】熟記特殊角的三角函數(shù)值或借助兩個(gè)三角板推算三角函數(shù)值，先代入特殊角的

三角函數(shù)值，再進(jìn)行化簡.

舉一反三：

【高清課程名稱：銳角三角函數(shù)高清ID號(hào)：395948

關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例1（3）-（4）］

【變式】在RtAABC中，zC=90°,若/A=45°,則NB=

sinA=,cosA=,sinB=cosB=

【答案】NB=45°,sinA=—,cosA=—,sinB=—,cosB=—.

2222

類型三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

3.(2015?河北模擬)已知(3ABC中的EIA與I3B滿足(1-tanA)2+|sinB-^=0

(1)試判斷(3ABC的形狀.

(2)求(1+sinA)2-2VcosB-(3+tanC)°的值.

【答案與解析】_

解：(1)0|1-tanA)2+|sinB-近|=0,

回tanA=l,sinB=近

2

0aA=45°,EIB=60°,回C=180°-45°-60°=75°,

麗ABC是銳角三角形；

(2)03A=45°,0B=60°,EIC=180°-45°-60°=75°,

回原式=(1+汐地7

—,1—.

2

【總結(jié)升華】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題

的關(guān)鍵.

類型四、銳角三角函數(shù)的拓展探究與應(yīng)用

C*如圖所示，AB是(D0的直徑，且AB=10,CD是。0的弦，AD與BC相交于點(diǎn)P,

若弦CD=6,試求cosNAPC的值.

A

【答案與解析】

連結(jié)AC,：AB是。。的直徑，；./ACP=90°,

又":ZB=ZD,ZPAB=ZPCD,APCD^APAB,

.PCCD

"~PA~~AB'

又：CD=6,AB=10,

在RtAPAC中，

PCCD63

cosZ.APC

~PAAB10-5

【總結(jié)升華】直角三角形中，銳角的三角函數(shù)等于兩邊的比值，當(dāng)這個(gè)比值無法直接求解，

可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，利用對應(yīng)線段成比例轉(zhuǎn)換，間接地求出這個(gè)比值.

銳角的三角函數(shù)是針對直角三角形而言的，故可連結(jié)AC,由AB是。。的直徑得/ACB

PC

=90°,cosNAPC=—，PC,PA均為未知，而已知CD=6,AB=10,可考慮利用APCD

PA

saPAB得°PC==CD.

PAAB

.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值

相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形中建立

邊角之間的聯(lián)系.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖1①，

在△ABC中，AB=AC,頂角A的正對記作sadA,這時(shí)sadA=年空=.容易知道一個(gè)

腰AB

角的大小與這個(gè)角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題:

(1)sad60°=.

(2)對于0<A<180°,/A的正對值sadA的取值范圍是.

3

(3)如圖1②，已知sinA=-，其中NA為銳角，試求sadA的值.

5

圖1

【答案與解析】

(1)1；(2)0<sadA<2；

(3)如圖2所示，延長AC到D,使AD=AB,連接BD.

圖2

Be3

設(shè)AD=AB=5a,由sinA=---=—得BC=3a,

AB5

??.AC=J(5a)2-(3〃)2=4a,

CD=5a-4a=a,BD—y]a24-(3a)2=\/10a,

sadA^Vio

-

ADI

【總結(jié)升華】(1)將60°角放在等腰三角形中，底邊和腰相等，故sadA=l；(2)在圖①中設(shè)

想AB=AC的長固定，并固定AB讓AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)NA接近0°時(shí)，BC接近0,

則sadA接近0但永遠(yuǎn)不會(huì)等于0,故sadA>0,當(dāng)NA接近180°時(shí)，BC接近2AB,

則sadA接近2但小于2,故sadA<2；(3)將/A放到等腰三角形中，如圖2所示，

根據(jù)定義可求解.

銳角三角函數(shù)一鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題

1.(2016?樂山)如圖，在RtZ\ABC中，ZBAC=90",ADJ_BC于點(diǎn)D,則下列結(jié)論不正

2.(2015?山西)如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上，則NABC

的正切值是()

D,2

3.已知銳角a滿足sin25°=cosa,則a=()

A.25°B.55°C.65°D.75°

4.如圖所示，直徑為10的。A經(jīng)過點(diǎn)C(0,5)和點(diǎn)0(0,0),B是y軸右側(cè)OA優(yōu)弧上一點(diǎn),

則NOBC的余弦值為（）

24

A.B.2D.

24c25

第4題第5題

5.如圖，在aABC中，ZA=120°，AB=4,AC=2,則sinB的值是（）

5近V21

14

6.在RtZ\ABC中，ZC=90°,若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則/A的正弦值（）

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍D.不變

7.如圖所示是教學(xué)用具直角三角板，邊AC=30cm,ZC=90°,tanZBAC=息,則邊BC

3

的長為（）

A.30^/3cmB.206cmC.10百cmD.5百cm

第7題第8題

8.如圖所示，在RtZXABC中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,若AC=后，BC=2,則

sin/ACD的值為（）

752#）八非2

A.---B.----C.---D.一

3323

二、填空題

9.（2016?臨夏州）如圖，點(diǎn)A（3,t）在第一象限，OA與x軸所夾的銳角為a,tana=W,

2

則t的值是

10.用不等號(hào)連接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tanl8°tan21

11.在△ABC中，若=0,NA、/B都是銳角，則/C的度數(shù)

為.

12.如圖所示，AABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=.

13.已知：正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP=1,則tan/BPC的值是

第15題

14.如果方程d-4x+3=0的兩個(gè)根分別是RtZ\ABC的兩條邊，aABC的最小角為A,那

么tanA的值為.

15.如圖所示，^ABC的內(nèi)心在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2),直線

AC的解析式為y=則tanA的值是一

16.(2014?高港區(qū)二模)若a為銳角，且cosa=3巴則m的取值范圍是

三、解答題

17.如圖所示，Z^ABC中，D為AB的中點(diǎn)，DCXAC,,@.ZBCD=30°,

求NCDA的正弦值、余弦值和正切值.

18.計(jì)算下列各式的值.

⑴(2015?普陀區(qū)一模)4sin30°-&cos45°+&tan60

(2)(2015?常州模擬)亞sin45°+tan45°-2cos60°.

(3)(2015?奉賢區(qū)一模)-----2s.in30---------2cos60°.

2sin600-tan45°2

19.如圖所示，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC,DF1AE,垂足為F,連接DE.

(1)求證:AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tanNEDF的值.

20.如圖所示，已知。。的半徑為2,弦BC的長為26,點(diǎn)A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)

(B、C兩點(diǎn)除外).

(1)求/BAC的度數(shù)；

(2)求4ABC面積的最大值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】C.

【解析】在RtZkABC中,ZBAC=90°,sinB=組,

BC

VAD±BC,

sinB=-^5.,

AB

sinB=sinZDAC=.52.,

AC

綜上，只有C不正確

故選：C.

2.【答案】D；

【解析】如圖：由勾股定理得，

AC=^2，AB=2^2，BC=410,

/.△ABC為直角三角形，

.,.tanZB=—=A,

AB2

故選：D.

3.【答案】C；

【解析】由互余角的三角函數(shù)關(guān)系，cosa=sin(90°-a),sin25°-sin(90°-a),

即90°-a=25°,，a=65°.

4.【答案】C；

【解析】設(shè)。A交x軸于另一點(diǎn)D,連接CD,根據(jù)已知可以得到0C=5,CD=10,

OD=V102-52=5G，:ZOBC=NODC,

cosZOBC=cosZOPC=—==—.

CD102

5.【答案】D:

【解析】如圖所示，過點(diǎn)C作CDJ_AB于D,/BAC=120°,二/CAD=60°,

又；AC=2,AD=1,CD=g,

BD=BA+AD=5,在Rt/XBCD中，BC=\IBD2+CD2=728=277,

6.【答案】D；

【解析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)邊的比，與邊的長度無關(guān),

而只與邊的比值或角的大小有關(guān).

7.【答案】C；

(解析】由tanABAC=生=E,BC=^AC=—x30=10^

AC333

8.【答案】A；

AC_亞

【解析】VAB=yjAC2+BC2=3,:.sinZACDsinZ.B

AB-V

二、填空題

9.【答案】2.

2

【解析】過點(diǎn)A作ABJ_x軸于B,

?.?點(diǎn)A(3,t)在第一象限，

AB=t,OB=3,

又tana=-^-=—=A,

OB32

?.?ti—_—9?

2

故答案為：1.

2

10.【答案】⑴<；(2)<；

【解析】當(dāng)a為銳角時(shí)，其余弦值隨角度的增大而減小，cos500<cos20°；

當(dāng)a為銳角時(shí)、其正切值隨角度的增大而增大，tanl8°<tan210.

11.【答案】105°；

sinA.也小

【解析】：+----cosB=0,

2

sin/1--=0,--cosB=0

22

即sinA=立,c°sB=?

22

又；NA、/B均為銳角，NA=45°,/B=30°,

在aABC中，ZA+ZB+ZC=180°,，ZC=105°.

12.【答案】y-；

【解析】假設(shè)每一個(gè)小正方形的邊長為1,利用網(wǎng)格，從C點(diǎn)向AB所在直線作垂線CU.垂

足為H,

則/A在直角△ACH中，利用勾股定理得AC=Jf=2行，

AC2755

2

13.【答案】2或W

3

【解析】此題為無圖題，應(yīng)根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，由于點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn),

所以點(diǎn)P既可以在邊CD上，也可以在CD的延長線上，

當(dāng)P在邊CD上時(shí)，tanABPC=—=2；當(dāng)P在CD延長線上時(shí),

PC

14.【答案】-或；

34

【解析】由爐―4x+3=0得％=1,%=3,①當(dāng)3為直角邊時(shí)，最小角A的正切值

為tanA=,；②當(dāng)3為斜邊時(shí)，另一直角邊為J匯了=2及，；.最小角A的

3

正切值為12114=」尸=也.

2V24

1萬

故應(yīng)填上或上.

34

15.【答案】-；

3

【解析】由aABC的內(nèi)心在y軸上可知0B是/ABC的角平分線，則N0BA=45°,

易求AB與x軸的交點(diǎn)為(-2,0),所以直線AB的解析式為：y=x+2,

y=x+2

聯(lián)立|1

可求A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-6,-4),

y=-x-1

/.AB—JAD2+BD2-6A/2,又0C=0B=2,

BC2A/21

BC=2&.在RtZXABC中，tanA

~AB~6y/2~3'

16.【答案】一

33

【解析】V0<cosa<1,

A0<1~3?.<1,

2

解得-［〈鵬工

33

三、解答題

17.【答案與解析】

過D作DE〃AC,交BC于點(diǎn)E.

,/AD=BD,；.CE=EB,；.AC=2DE.

又：DC±AC,DE〃AC,

DC±DE,即/CDE=90°.

又：/BCD=30°,EC=2DE,DC=囪DE.

設(shè)DE=k,貝!|CD=G左，AC=2k.

在Rt^ACD中，AD=ylAC2+CD2=y/lk.

Ar2k_2幣CDy/3kV21

sinNCD4=——cosZCDA

AD7茄一麻一〒

18.【答案與解析】

解：(1)原式=4X,-④乂乎+遙X返

=1+3亞-

(2)原式=&X及+1-2X1

22

=1+1-1

=1.

24

(3)原式=?

2X^-114

=遙+1_3

24

273-1

4--

19.【答案與解析】

(1)證明：；四邊形ABCD是矩形,

:.AD〃BC,AD=BC

???ZDAF=ZAEB

又,:AE=BC,

???AE=AD

又,:ZB=ZDFA=90°,

/.AEAB^AADF.

???AB=DF.

(2)解：在RtZ\ABE中，BE=ylAE2-AB2=V102-62=8

△EAB^AADF,

DF=AB=6,AF=EB=8,

EF=AE-AF=10-8=2.

EF21

tanNEDF=----=—=—

DF63

20.【答案與解析】

(1)連接BO并延長，交。0于點(diǎn)D,連接CD.

BD是直徑，BD=4,ZDCB=90°.

在RtZXDBC中，sinZ.BDC=——=

BO42)

ZBDC=60°,ZBAC=ZBDC=60°.

(2)因?yàn)?ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)，4ABC的面積最大，此時(shí)

點(diǎn)A應(yīng)落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處.

過0作OELBC于點(diǎn)E,延長E0交。。于點(diǎn)A,則A為優(yōu)孤BC的中點(diǎn).連結(jié)AB,AC,

則AB=AC,ZBAE=-ZBAC=30°.

2

在RtZ\ABE中，BE=A/3,/BAE=30°,

__B_E__=&=3

AE=

tan30。一耳―

3

/.S^ABC=5X2A/^X3=3>/^.

答：△ABC面積的最大值是3\^.

解直角三角形及其應(yīng)用一知識(shí)講解

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解解直角三角形的含義，會(huì)綜合運(yùn)用平面幾何中有關(guān)直角三角形的知識(shí)和銳角三角函

數(shù)的定義解直角三角形；

2.會(huì)運(yùn)用有關(guān)解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際生活中存在的解直角三角形問題.

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt^ABC中，ZC=90",NA、ZB./C所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關(guān)系：/+!?=(?(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：NA+/B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

.aba

sin-4=—,cosHA=—,tan-4A=—,

ccb

-b_a_b

sin=一,cos2j——，tan3=-?

cca

①"收?=(45=；°〃，11為斜邊上的高.

要點(diǎn)詮釋：

(D直角三角形中有一個(gè)元素為定值(直角為90°),是已知值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

要點(diǎn)二、解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類⑥7、^.已知條件解法步驟

由tanH=±求NA,

兩

RtAABC兩直角邊(a,b)b

邊

ZB=90°-NA,

B

c=+*

由sin4=±求NA,

c

斜邊，一直角邊（如c,a）ZB=90°-ZA,

口”--b：---

b=―/

ZB=90°-NA,

銳角、鄰邊

b

（如/A,b）d?=6-tan-4?c=

cosA

一直角邊

ZB=90°-NA,

和一銳角

邊銳角、對邊

a,a

（如NA,a）c=-----b=------

sin工,tanA

角

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角（如c,ZA）

a=csmAfb=c-cosA

要點(diǎn)詮釋:

1.在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意

標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的

順序進(jìn)行計(jì)算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少

有一個(gè)條件為邊.

要點(diǎn)三、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際

問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

（1）弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根

據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直

角三角形的問題.

（3）根據(jù)直角三角形（或通過作垂線構(gòu)造直角三角形）元素（邊、角）之間的關(guān)系解有關(guān)的

直角三角形.

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

（1）坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母&表示.

坡度（坡比）：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母i表示，則

i=，=tana,如圖，坡度通常寫成廠而：/的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線

下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①

中，目標(biāo)方向PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，

如圖②中的目標(biāo)方向線0A,OB,0C,0D的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,南偏

西80°,北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,

西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.

要點(diǎn)詮釋：

1.解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角

的大小，最好畫出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三

角形或矩形來解.

3.解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正

確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

【典型例題】

類型一、解直角三角形

e1.在Rt^ABC中，/C=90°,a、b、c分別是/A、ZB./C的對邊，根據(jù)下列條件，

解這個(gè)直角三角形.

(1)ZB=60°,a=4；(2)a=l,百.

【答案與解析】

(l)ZA=90°-ZB=90°-60°=30°.

由tanB=一知，Z?=tz?tanB=4xtan600=4G.

a

,a,a40

由cos3=一知，c=-----=--------=8.

ccosBcos60

(2)由12118=2=6得/8=60°,，ZA=90°-60°=30°.

a

a2+b2—c1,c=\Ja2+b2=>/4=2.

【總結(jié)升華】解直角三角形的兩種類型是：(D已知兩邊；(2)已知一銳角和一邊.解題關(guān)鍵

是正確選擇邊角關(guān)系.常用口訣：有弦(斜邊)用弦(正弦、余弦)，無弦(斜邊)用切

(正切).

(1)首先用兩銳角互余求銳角NA,再利用/B的正切、余弦求b、c的值；

(2)首先用正切求出NB的值，再求NA的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c

的值.

舉一反三：

【高清課程名稱：解直角三角形及其應(yīng)用高清ID號(hào)：395952

關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點(diǎn)名稱)：例1(1)-(3)】

【變式】(1)已知NC=90°,"26，b=2，求NA、NB和c；(2)已知sinA二工，c=6,

3

求a和b；

【答案】(1)c=4；ZA=60°、ZB=30°；(2)a=4；b=2>/i

2.(2015?湖北)如圖，AD是回ABC的中線，tanB=1，cosC=>但，AC=J0求:

32

(1)BC的長；

(2)sinEADC的值.

【答案與解析】

解：過點(diǎn)A作AEE1BC于點(diǎn)E,

回cosC=Y^,

2

aac=45°,

在Rt回ACE中,CE=AC?cosC=l,

團(tuán)AE=CE=1,

在RtElABE中，tanB=J,即例=1,

3BE3

0BE=3AE=3,

0BC=BE+CE=4；

(2)國AD是國ABC的中線，

E)CD=3BC=2,

2

0DE=CD-CE=1,

0AEI3BC,DE=AE,

EfflADC=45°,

0sinfflADC=^.

2

【總結(jié)升華】正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，注意銳角三角函數(shù)的概念的正

確應(yīng)用.

類型二、解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問題中的應(yīng)用

▼3.（2016?鹽城）已知AABC中，tanB==，BC=6,過點(diǎn)A作BC邊上的高，垂足為

3

點(diǎn)D,且滿足BD：CD=2：1,則4ABC面積的所有可能值為.

【思路點(diǎn)撥】分兩種情況，根據(jù)已知條件確定高AD的長，然后根據(jù)三角形面積公式即可求

得.

【答案】8或24.

【解析】

解：如圖1所示：

VBC=6,BD：CD=2：1,

，BD=4,

VAD±BC,tanB=2,

3

?AD=2

.?.AD=2BD=B,

33

二SAABC=LC?AD」X6x窿8；

223

VADIBC,tanB=Z,

3

?AD=2

"BD-T

；.AD=2BD=8,

3

/.SAABC=LBC?AD=Lx6x8=24；

22

綜上，AABC面積的所有可能值為8或24,

故答案為8或24.

【總結(jié)升華】本題考查了解直角三角形，以及三角函數(shù)的定義，三角形面積，分類討論思想

的運(yùn)用是本題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【高清課程名稱：解直角三角形及其應(yīng)用高清ID號(hào)：395952

關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：例2】

【變式】（2015?河南模擬）如圖，在等腰RtHABC中，13c=90。，AC=6,D是AC上一點(diǎn),

若tanl?lDBA=l,則AD的長為多少？

5

【答案與解析】解：作DE團(tuán)AB于E,如圖，

H3C=90°,AC=BC=6,

00ACB為等腰直角三角形，AB=MAC=6圾，

00A=45",

在RtElADE中，設(shè)AE=x,貝IDE=x,AD=-\/2x,

在RtHBED中，tan回DBE=15=L

BE5

0BE=5x,

Elx+5x=6遍，解得x=?,

0AD="\/2XV2=2-

類型三、解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問題中的應(yīng)用

C4.某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面CD的坡度為i=l:百（i

=1:73是指鉛直高度DE與水平寬度CE的比），CD的長為10m,天橋另一斜面AB的坡角

/ABC=45°.

AD

FB

（1）寫出過街天橋斜面AB的坡度;

（2）求DE的長;

（3）若決定對該過街天橋進(jìn)行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其45°坡角改為30°,

方便過路群眾，改建后斜面為AF,試計(jì)算此改建需占路面的寬度FB的長（結(jié)果精確到.0.01

m）.

【答案與解析】

⑴作AG_LBC于G,DE_LBC于E,

在RtZ\AGB中，/ABG=45°,AG=BG.

AB的坡度i'=AGU=i.

BG

(2)在RtZkDEC中，tanZC=——,/.ZC=30°.

EC3

又；CD=10m.DE=—CD=5m.

2

(3)由(1)知AG=BG=5m,在Rt^AFG中,NAFG=30°，

tanZAFG=—,即走=',解得陽=5后一5=3.66(m).

FG3FB+5

答:改建后需占路面的寬度FB的長約為3.66m.

【總結(jié)升華】（1）解梯形問題常作出它的兩條高，構(gòu)造直角三角形求解.（2）坡度是坡面的

鉛直高度與水平寬度的比，它等于坡角的正切值.

Cs.騰飛中學(xué)在教學(xué)樓前新建了一座‘'騰飛”雕塑.為了測量雕塑的高度，小明在二樓

找到一點(diǎn)C,利用三角板測得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30。，底部B點(diǎn)的俯角為45。，小華

在五樓找到一點(diǎn)D,利用三角板測得A點(diǎn)的俯角為60°（如圖所示）.若已知CD為10米，請

求出雕塑AB的高度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)由=1.73）.

【答案與解析】

過點(diǎn)C作CELAB于E.

ND=90°-60°=30°,ZACD=90°-30°=60°,

ZCAD=18