孫會(huì)元固體物理基礎(chǔ)第四章晶格振動(dòng)和晶體的熱性質(zhì)47非簡(jiǎn)諧效應(yīng)課件

4.7非簡(jiǎn)諧效應(yīng)一、晶體的熱傳導(dǎo)本節(jié)主要內(nèi)容:二、晶體的熱膨脹4.7非簡(jiǎn)諧效應(yīng)

在簡(jiǎn)諧近似的情況下，晶格原子振動(dòng)可描述為3N個(gè)線性獨(dú)立的諧振子的迭加，各振子間不發(fā)生作用，也不交換能量；晶體中某種聲子一旦產(chǎn)生，其數(shù)目就一直保持不變，既不能把能量傳遞給其他聲子，也不能使自己處于熱平衡狀態(tài)。也就是說(shuō),在簡(jiǎn)諧晶體中,聲子態(tài)是定態(tài),攜帶熱流的聲子分布一旦建立,將不隨時(shí)間變化(表明弛豫時(shí)間為無(wú)窮大),這意味著無(wú)限大的熱導(dǎo)率.所以，用簡(jiǎn)諧近似理論不能解釋晶體的熱膨脹和熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。實(shí)際上，原子間的相互作用力(恢復(fù)力)并非嚴(yán)格地與原子的位移成正比。當(dāng)在晶體的勢(shì)能展開(kāi)式中，考慮3次方及其以上的高次項(xiàng)時(shí)，則晶格振動(dòng)就不能描述為一系列嚴(yán)格線性獨(dú)立的諧振子.通常把3次方及其以上的高次項(xiàng)稱(chēng)為非簡(jiǎn)諧項(xiàng)。如果原子的位移相當(dāng)小，則非簡(jiǎn)諧項(xiàng)和簡(jiǎn)諧項(xiàng)(2次方項(xiàng))相比為一小量，則可把非簡(jiǎn)諧項(xiàng)看成微擾項(xiàng)。一、

晶體的熱傳導(dǎo)1.

N過(guò)程和U過(guò)程把聲子看成準(zhǔn)粒子后，非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的微擾作用，可導(dǎo)致聲子態(tài)之間的躍遷。這種聲子態(tài)之間的躍遷常稱(chēng)為聲子-聲子相互作用，或聲子之間的碰撞或散射。聲子間的相互作用遵循能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。非簡(jiǎn)諧作用中的勢(shì)能三次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)于三聲子過(guò)程，如兩個(gè)聲子碰撞產(chǎn)生另一個(gè)聲子或一個(gè)聲子劈裂成兩個(gè)聲子；非簡(jiǎn)諧作用中的勢(shì)能四次方項(xiàng)對(duì)應(yīng)于四聲子過(guò)程。三聲子過(guò)程(勢(shì)能展開(kāi)取到3次方項(xiàng))

四聲子過(guò)程

(勢(shì)能展開(kāi)取到4次方項(xiàng))

兩個(gè)聲子通過(guò)非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的作用,產(chǎn)生了第三個(gè)聲子,這可以看成是兩個(gè)聲子碰撞之后變成了第三個(gè)聲子.聲子的這種相互作用可以理解為:一個(gè)聲子的存在將在晶體中引起周期性的彈性應(yīng)變,由于非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的影響,晶體的彈性模量不是常數(shù),而受到彈性應(yīng)變的調(diào)制.由于彈性模量的變化，將使第二個(gè)聲子受到散射而產(chǎn)生第三個(gè)聲子。該過(guò)程遵循能量守恒和準(zhǔn)動(dòng)量守恒。設(shè)兩個(gè)相互碰撞的聲子的頻率和波矢分別為1、q1和2、q2；而第三個(gè)聲子的頻率和波矢為3、q3，對(duì)于該三聲子過(guò)程，則有:兩個(gè)聲子的碰撞過(guò)程也可以滿足稱(chēng)為倒逆過(guò)程(Umldappprocess)或U過(guò)程，也叫反轉(zhuǎn)過(guò)程。顯然對(duì)于三聲子碰撞過(guò)程來(lái)說(shuō)，N過(guò)程意味著波矢q1+q2=q3始終在第一布里淵區(qū)內(nèi)，且方向大致相同，因而不改變熱流的基本方向.而U過(guò)程則要求波矢q1+q2在第一布里淵區(qū)以外，導(dǎo)致q3幾乎與q1+q2方向相反.

N過(guò)程U過(guò)程反常過(guò)程可以認(rèn)為是碰撞的同時(shí)發(fā)生了布拉格反射的結(jié)果，它是產(chǎn)生熱阻的一個(gè)重要機(jī)制。2.晶格的熱傳導(dǎo)和熱導(dǎo)率我們?cè)诘谝徽乱呀?jīng)討論過(guò)金屬的熱傳導(dǎo)，金屬主要是自由電子氣體對(duì)熱能的輸運(yùn)。對(duì)于晶格而言，我們可以認(rèn)為晶格中存在大量的聲子氣體，聲子是熱能的攜帶者。聲子屬于波色子，滿足波色統(tǒng)計(jì)，即顯然溫度高的地方，聲子數(shù)目就多；溫度低的地方，聲子數(shù)目就少。從而由于溫度梯度的存在，將導(dǎo)致聲子從高溫向低溫的擴(kuò)散，形成熱流。這是熱傳導(dǎo)的準(zhǔn)經(jīng)典解釋。

類(lèi)似于第一章，晶格的熱導(dǎo)率滿足聲子數(shù)目可由波色統(tǒng)計(jì)給出。高溫時(shí)，聲子數(shù)目滿足

:所以,高溫時(shí),聲子數(shù)目與溫度成正比,從而導(dǎo)致聲子的平均自由程隨溫度升高而變小,即

T-1。我們知道在高溫時(shí),也就是溫度遠(yuǎn)高于德拜溫度時(shí),晶格比熱容CV是一個(gè)與溫度無(wú)關(guān)的常數(shù)。

因此T>>ΘD時(shí)，晶格的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而變小，滿足

T-1。

所以，聲子數(shù)目隨溫度的升高成指數(shù)規(guī)律變小，從而導(dǎo)致聲子的平均自由程隨溫度升高而成指數(shù)規(guī)律變大，即

eA/T。低溫下，T<<ΘD時(shí)，聲子數(shù)目滿足此外，T<<ΘD時(shí)，晶格比熱容CV滿足德拜三次方定律，即CVT3。所以，T<<ΘD時(shí)，晶格熱導(dǎo)率滿足

T3eA/T。顯然T→0時(shí)，聲子的平均自由程→∞，從而導(dǎo)致晶格熱導(dǎo)率→∞。

對(duì)于完整的晶體，即不存在雜質(zhì)和缺陷的晶體，則聲子的平均自由程等于晶體的線度D，是一個(gè)常數(shù)。實(shí)際上熱導(dǎo)系數(shù)并不會(huì)趨向無(wú)窮大，因?yàn)樵趯?shí)際晶體中存在雜質(zhì)和缺陷，聲子的平均自由程不會(huì)非常大。

所以T<<ΘD時(shí)，對(duì)于線度為D的完整晶體，其熱導(dǎo)率主要依賴(lài)于晶格的比熱容，亦即，熱導(dǎo)率

T3。熱膨脹：在不施加壓力的情況下，晶體體積隨溫度變化的現(xiàn)象稱(chēng)為熱膨脹。假設(shè)有兩個(gè)原子，一個(gè)在原點(diǎn)固定不動(dòng)，另一個(gè)在平衡位置R0附近作振動(dòng)，離開(kāi)平衡位置的位移用表示，勢(shì)能在平衡位置附近展開(kāi)：01.物理圖象R0R0二、晶體的熱膨脹（1）簡(jiǎn)諧近似

RU(r)R0簡(jiǎn)諧近似下，溫度升高，導(dǎo)致振幅變大，但位移的平均值為零，所以?xún)稍娱g距不變，無(wú)熱膨脹現(xiàn)象。展開(kāi)式中取前兩項(xiàng)：（2）非簡(jiǎn)諧效應(yīng)展開(kāi)式中取前三項(xiàng)：非簡(jiǎn)諧近似下，溫度升高，導(dǎo)致振幅變大，位移的平均值不再為零，兩原子間距增大，有熱膨脹現(xiàn)象。晶格自由能F1=Uequ(V),F2由統(tǒng)計(jì)物理知道：Z是晶格振動(dòng)的配分函數(shù)。頻率為s的格波，配分函數(shù)為：由晶格振動(dòng)決定的內(nèi)能T=0時(shí)晶格的內(nèi)能若能求出晶格振動(dòng)的配分函數(shù),即可求得熱振動(dòng)自由能。按照自由能的定義,晶格自由能可表示如下：忽略晶格之間的相互作用能,總配分函數(shù)為：對(duì)于簡(jiǎn)諧晶體,與體積無(wú)關(guān);對(duì)于非簡(jiǎn)諧晶體,由于非線性振動(dòng),格波頻率s也是宏觀量V的函數(shù).采用準(zhǔn)簡(jiǎn)諧近似,亦即體系能量仍由簡(jiǎn)諧近似給出,但隨體積變化,代表非簡(jiǎn)諧效應(yīng),所以:為晶格振動(dòng)總能量。對(duì)于大多數(shù)固體,體積的變化不大,因此可將在晶體的平