《一元二次方程》名師教案

21.1一元二次方程（王鵬鵬）一、教學(xué)目標(biāo) （一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程的概念.2.理解一般式的概念及其派生的其他概念.3.應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡(jiǎn)單題目.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)一元二次方程的有關(guān)概念及其一般形式，并用這些概念解決問(wèn)題.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)通過(guò)提出問(wèn)題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)理解一元二次方程的概念：整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中：二次項(xiàng)為;一次項(xiàng)為;常數(shù)項(xiàng)為c;二次項(xiàng)系數(shù)為a;一次項(xiàng)系數(shù)為b.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）方程是否是一元二次方程？【知識(shí)點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程概念【思路點(diǎn)撥】整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過(guò)程】解：此方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為一次，所以不是一元二次方程.【答案】否（2）方程是否是一元二次方程？【知識(shí)點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程概念【思路點(diǎn)撥】整式方程中都只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過(guò)程】解：此方程含有兩個(gè)未知數(shù)，所以不是一元二次方程.【答案】否（3）一元二次方程的一般形式是.【知識(shí)點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式：【解題過(guò)程】將原方程化簡(jiǎn)后整理得，一般形式：【答案】（4）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是.【知識(shí)點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式：【解題過(guò)程】將原方程化整理成一般形式：，一次項(xiàng)系數(shù)為-2【答案】-2(二)課堂設(shè)計(jì)1.問(wèn)題探究探究一一元二次方程的概念和一般形式★▲●活動(dòng)①以舊引新問(wèn)題：有一塊矩形鐵皮,長(zhǎng)100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個(gè)正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子.如果要制作的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去邊長(zhǎng)為多少cm的正方形?請(qǐng)大家根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)、列出方程.學(xué)生回答：設(shè)鐵皮各角應(yīng)切去邊長(zhǎng)為的正方形，由題意知整理所列方程后觀察：老師問(wèn)：方程中未知數(shù)的個(gè)數(shù)和最高次數(shù)各是多少？學(xué)生回答：方程可化為：.未知數(shù)的個(gè)數(shù)是1個(gè)，最高次數(shù)是2次.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)設(shè)未知數(shù)列方程的步驟。通過(guò)對(duì)舊知識(shí)的復(fù)習(xí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作鋪墊.●活動(dòng)②大膽猜想，探究新知觀察這兩個(gè)方程，小組討論，有何發(fā)現(xiàn)？回答下列問(wèn)題：上面方程整理后含有幾個(gè)未知數(shù)？學(xué)生回答：1個(gè)未知數(shù).按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？學(xué)生回答：2次有等號(hào)嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？學(xué)生回答：是等式【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分感受所列方程的特點(diǎn),通過(guò)比較，對(duì)一元二次方程的概念達(dá)到共識(shí)，從而為掌握概念作準(zhǔn)備.●活動(dòng)③集思廣益，歸納概念老師問(wèn)：一元二次方程的概念是什么？概念歸納：1.一元二次方程的概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．【設(shè)計(jì)意圖】概括歸納出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.●活動(dòng)④掌握一元二次方程的特點(diǎn)提出問(wèn)題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號(hào)的左、右分別是什么？(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？學(xué)生回答：一元二次方程是整式方程，等號(hào)左邊只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.等號(hào)右邊為0.學(xué)生回答：若則二次項(xiàng)不存在，所以要限制a≠0，b，c可以為0.學(xué)生回答：一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項(xiàng)系數(shù)不是1，應(yīng)是-1.老師總結(jié)：一元二次方程特殊形式：；；【設(shè)計(jì)意圖】加深對(duì)概念的理解，從而達(dá)到真正理解定義的目的?！窕顒?dòng)⑤類比一元一次方程的根的概念獲得一元二次方程的根的概念一元二次方程的根：老師問(wèn)：一元一次方程的根是什么？學(xué)生回答：使一元一次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解（或根）.老師問(wèn)：一元二次方程的根的概念是什么？學(xué)生回答：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.【設(shè)計(jì)意圖】識(shí)記、理解相關(guān)概念.通過(guò)類比，遷移提高.探究二利用一元二次方程的概念解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題.★▲●活動(dòng)①一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用例1.判斷下列方程是否為一元二次方程？【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】（1）不是方程；（2）含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程；（3）整理后二次項(xiàng)系數(shù)為0；（4）不是整式方程；（5）不是整式方程；（6）二次項(xiàng)系數(shù)可能為0.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的特點(diǎn)：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個(gè)數(shù)是1，最高次數(shù)是2【答案】（1）否（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，掌握一元二次方程的概念.練習(xí)1.在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】①3x2+7=0是②ax2+bx+c=0二次項(xiàng)系數(shù)可能為0，所以不是一元二次方程③（x-2）（x+5）=x2-1整理后二次項(xiàng)系數(shù)為0，所以不是一元二次方程④3x2-=0不是整式方程，所以不是一元二次方程【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡(jiǎn)前含有二次項(xiàng)，但是化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．【答案】A例2．下面哪些數(shù)是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，0．【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過(guò)程】將x=-4代入原方程，，不是將x=-3代入原方程，，是將x=-2代入原方程，，是將x=0代入原方程，，不是【思路點(diǎn)撥】判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．【答案】-3，-2練習(xí)2.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是x=0，則a的值為_(kāi)________【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過(guò)程】把x=0代入原方程得，【思路點(diǎn)撥】把所給方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值【答案】-1【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)，掌握一元二次方程的根的概念.●活動(dòng)2一元二次方程的一般形式的應(yīng)用例3.判斷下列方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，如果是，寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的一般形式.【解題過(guò)程】（1）原方程整理得：，二次項(xiàng)系數(shù)為3、一次項(xiàng)系數(shù)為2，常數(shù)項(xiàng)為-3.（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.【思路點(diǎn)撥】將方程化成一般形式，再根據(jù)其一般形式確定它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）是一元二次方程；3；2；-3（2）不是一元二次方程.練習(xí)3.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出它的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-1(x+2)(x-1)=6【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的一般形式.【解題過(guò)程】將3x2=5x-1化為一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)為3、常數(shù)項(xiàng)為1.將(x+2)(x-1)=6化為一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為-8.【思路點(diǎn)撥】將方程化成一般形式，再確定二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）3；1（2）1；-8【設(shè)計(jì)意圖】理解一元二次方程的一般形式，及其二次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).例4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的取值范圍.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】原方程整理得，因其是一元二次方程，∴m-20,∴m2.【思路點(diǎn)撥】先將原方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，求出m的范圍.【答案】m2練習(xí)4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】是關(guān)于x的一元二次方程【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式為.【答案】【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)一元二次方程的概念的理解，不能忽略a0這一隱含條件.●活動(dòng)3綜合應(yīng)用例5.已知關(guān)于x的方程（1）k為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？并寫(xiě)出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).（2）k為何值時(shí)，此方程為一元一次方程?【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念.【解題過(guò)程】（1）是一元二次方程該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為、一次項(xiàng)系數(shù)為k+1、常數(shù)項(xiàng)為-2.（2）是一元一次方程【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】(1)k1，，k+1，-2；（2）k=1練習(xí)5.已知關(guān)于x的方程當(dāng)_____________時(shí)，是一元二次方程當(dāng)_____________時(shí)，是一元一次方程【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過(guò)程】是一元二次方程是一元一次方程【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)一元二次方程和一元一次方程概念的理解例6.已知方程x2+bx+a=0有一根為-a，（a≠0）則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）A.abB.C.a+bD.a-b【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根的概念【解題過(guò)程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根代入原方程.【答案】D練習(xí)6．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）(1)滿足a+b+c=0時(shí)，有根x=_________.(2)滿足a-b+c=0時(shí)，有根x=_________.(3)滿足c=0時(shí)，有根x=_________.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根的概念【解題過(guò)程】（1）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a+b+c=0時(shí)，有根x=1.（2）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a-b+c=0時(shí)，有根x=-1.（3）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足c=0時(shí)，有根x=0.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程.【答案】（1）；（2）；（3）【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對(duì)一元二次方程的根的概念的理解和應(yīng)用.2.課堂總結(jié)知識(shí)梳理一元二次方程的概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.重難點(diǎn)歸納一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，其一般形式為：.2.一元二次方程特殊形式有：；；3.判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡(jiǎn)前含有二次項(xiàng)，但是化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．4.只有一元方程的“解”可以說(shuō)成“根”.5.判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當(dāng)a+b+c=0時(shí)，有根x=1；當(dāng)a-b+c=0時(shí)，有根x=-1；當(dāng)c=0時(shí)，有根x=0.（三）課后作業(yè)?基礎(chǔ)型自主突破1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=0【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】A.可能，不是一元二次方程.B.化成一般形式，不是一元二次方程.C.化成一般形式，是一元二次方程.D.不是整式方程.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的特點(diǎn)：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個(gè)數(shù)是1，最高次數(shù)是2.【答案】C2.一元二次方程的一般形式是（）A.ax2＋bx＋c＝0 B.ax2＋bx＋c(a≠0)C.ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D.ax2＋bx＋c＝0(b≠0)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過(guò)程】一元二次方程的一般形式【思路點(diǎn)撥】提示：抓住一元二次方程的三個(gè)特征：①整式方程；②只含一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】C3.若px2－3x＋p2－p＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A.p＝1 B.p＞0 C.p≠0 D.p為任意實(shí)數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過(guò)程】一元二次方程的一般形式【思路點(diǎn)撥】二次項(xiàng)系數(shù)不為0.【答案】C4.關(guān)于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A.8a B.－8a C.2a D.7a－9【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過(guò)程】首先把方程整理為一般形式為x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次項(xiàng)系數(shù)為2a.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式【答案】C5.若方程（m2－4）x2＋3x－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A.m≠2 B.m≠－2 C.m≠－2，或m≠2 D.m≠－2，且m≠2【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】二次項(xiàng)系數(shù)m2－4≠0【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式【答案】D6.已知0是關(guān)于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，則m＝.【知識(shí)點(diǎn)】方程的根【數(shù)學(xué)思想】分類討論【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】此題分兩種考慮.當(dāng)m＋3＝0時(shí)，方程化為一元一次方程；當(dāng)m＋3≠0時(shí)，方程化為一元二次方程.【答案】能力型師生共研7.當(dāng)m時(shí)，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是關(guān)于x的一元一次方程；當(dāng)m時(shí)，上述方程才是關(guān)于x的一元二次方程.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過(guò)程】一元一次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0一元二次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念列方程或不等式求解.【答案】8.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個(gè)根，且a≠b，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根的概念和分式的化簡(jiǎn)求值【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過(guò)程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程。【答案】20探究型多維突破9．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，則b+c的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過(guò)程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程.【答案】B10.關(guān)于x的一元二次方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一個(gè)根為0，則2m2-4m+3=_________?！局R(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根，代數(shù)式求值.【解題過(guò)程】有一根為【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)一元二次方程的根的概念求出m的值，再求出代數(shù)式的值.【答案】3自助餐1．若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝_______.【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過(guò)程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的概念列不等式組求解?！敬鸢浮縨=22．若關(guān)于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一個(gè)解為2，則