《一元二次方程》名師教案

21.1一元二次方程（王鵬鵬）一、教學(xué)目標(biāo) （一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解一元二次方程的概念.2.理解一般式的概念及其派生的其他概念.3.應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)一元二次方程的有關(guān)概念及其一般形式，并用這些概念解決問題.（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)任務(wù)理解一元二次方程的概念：整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中：二次項(xiàng)為;一次項(xiàng)為;常數(shù)項(xiàng)為c;二次項(xiàng)系數(shù)為a;一次項(xiàng)系數(shù)為b.預(yù)習(xí)自測（1）方程是否是一元二次方程？【知識點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程概念【思路點(diǎn)撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過程】解：此方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為一次，所以不是一元二次方程.【答案】否（2）方程是否是一元二次方程？【知識點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程概念【思路點(diǎn)撥】整式方程中都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，這樣的方程叫做一元二次方程.【解題過程】解：此方程含有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程.【答案】否（3）一元二次方程的一般形式是.【知識點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式：【解題過程】將原方程化簡后整理得，一般形式：【答案】（4）一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是.【知識點(diǎn)】HYPERLINK一元二次方程的一般形式.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式：【解題過程】將原方程化整理成一般形式：，一次項(xiàng)系數(shù)為-2【答案】-2(二)課堂設(shè)計(jì)1.問題探究探究一一元二次方程的概念和一般形式★▲●活動①以舊引新問題：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋長方體盒子.如果要制作的無蓋長方體盒子底面積為3600cm2,那么鐵皮各角應(yīng)切去邊長為多少cm的正方形?請大家根據(jù)題目設(shè)未知數(shù)、列出方程.學(xué)生回答：設(shè)鐵皮各角應(yīng)切去邊長為的正方形，由題意知整理所列方程后觀察：老師問：方程中未知數(shù)的個數(shù)和最高次數(shù)各是多少？學(xué)生回答：方程可化為：.未知數(shù)的個數(shù)是1個，最高次數(shù)是2次.【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)設(shè)未知數(shù)列方程的步驟。通過對舊知識的復(fù)習(xí)，為新知識的學(xué)習(xí)作鋪墊.●活動②大膽猜想，探究新知觀察這兩個方程，小組討論，有何發(fā)現(xiàn)？回答下列問題：上面方程整理后含有幾個未知數(shù)？學(xué)生回答：1個未知數(shù).按照整式中的多項(xiàng)式的規(guī)定，它們最高次數(shù)是幾次？學(xué)生回答：2次有等號嗎？還是與多項(xiàng)式一樣只有式子？學(xué)生回答：是等式【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生充分感受所列方程的特點(diǎn),通過比較，對一元二次方程的概念達(dá)到共識，從而為掌握概念作準(zhǔn)備.●活動③集思廣益，歸納概念老師問：一元二次方程的概念是什么？概念歸納：1.一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．【設(shè)計(jì)意圖】概括歸納出一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式.●活動④掌握一元二次方程的特點(diǎn)提出問題：(1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號的左、右分別是什么？(2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？學(xué)生回答：一元二次方程是整式方程，等號左邊只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.等號右邊為0.學(xué)生回答：若則二次項(xiàng)不存在，所以要限制a≠0，b，c可以為0.學(xué)生回答：一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次項(xiàng)系數(shù)不是1，應(yīng)是-1.老師總結(jié)：一元二次方程特殊形式：；；【設(shè)計(jì)意圖】加深對概念的理解，從而達(dá)到真正理解定義的目的?！窕顒英蓊惐纫辉淮畏匠痰母母拍瞰@得一元二次方程的根的概念一元二次方程的根：老師問：一元一次方程的根是什么？學(xué)生回答：使一元一次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解（或根）.老師問：一元二次方程的根的概念是什么？學(xué)生回答：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.【設(shè)計(jì)意圖】識記、理解相關(guān)概念.通過類比，遷移提高.探究二利用一元二次方程的概念解決簡單的問題.★▲●活動①一元二次方程的概念和一元二次方程的根的概念的應(yīng)用例1.判斷下列方程是否為一元二次方程？【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】（1）不是方程；（2）含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程；（3）整理后二次項(xiàng)系數(shù)為0；（4）不是整式方程；（5）不是整式方程；（6）二次項(xiàng)系數(shù)可能為0.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的特點(diǎn)：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2【答案】（1）否（2）是（3）否（4）否（5）否（6）否【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，掌握一元二次方程的概念.練習(xí)1.在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（）①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1個B．2個C．3個D．4個【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】①3x2+7=0是②ax2+bx+c=0二次項(xiàng)系數(shù)可能為0，所以不是一元二次方程③（x-2）（x+5）=x2-1整理后二次項(xiàng)系數(shù)為0，所以不是一元二次方程④3x2-=0不是整式方程，所以不是一元二次方程【思路點(diǎn)撥】判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．【答案】A例2．下面哪些數(shù)是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，0．【知識點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過程】將x=-4代入原方程，，不是將x=-3代入原方程，，是將x=-2代入原方程，，是將x=0代入原方程，，不是【思路點(diǎn)撥】判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．【答案】-3，-2練習(xí)2.已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根是x=0，則a的值為_________【知識點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過程】把x=0代入原方程得，【思路點(diǎn)撥】把所給方程的根代入原方程，再解方程求出所含字母的值【答案】-1【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)，掌握一元二次方程的根的概念.●活動2一元二次方程的一般形式的應(yīng)用例3.判斷下列方程是不是關(guān)于x的一元二次方程，如果是，寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).（1）3x(x+2)=4(x-1)+7（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)【知識點(diǎn)】一元二次方程的一般形式.【解題過程】（1）原方程整理得：，二次項(xiàng)系數(shù)為3、一次項(xiàng)系數(shù)為2，常數(shù)項(xiàng)為-3.（2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程.【思路點(diǎn)撥】將方程化成一般形式，再根據(jù)其一般形式確定它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）是一元二次方程；3；2；-3（2）不是一元二次方程.練習(xí)3.把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)：方程一般形式二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3x2=5x-1(x+2)(x-1)=6【知識點(diǎn)】一元二次方程的一般形式.【解題過程】將3x2=5x-1化為一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)為3、常數(shù)項(xiàng)為1.將(x+2)(x-1)=6化為一般形式，二次項(xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為-8.【思路點(diǎn)撥】將方程化成一般形式，再確定二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）3；1（2）1；-8【設(shè)計(jì)意圖】理解一元二次方程的一般形式，及其二次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)和一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).例4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的取值范圍.【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】原方程整理得，因其是一元二次方程，∴m-20,∴m2.【思路點(diǎn)撥】先將原方程化為一般形式，再根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，求出m的范圍.【答案】m2練習(xí)4.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，求m的值.【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】是關(guān)于x的一元二次方程【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式為.【答案】【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對一元二次方程的概念的理解，不能忽略a0這一隱含條件.●活動3綜合應(yīng)用例5.已知關(guān)于x的方程（1）k為何值時(shí)，此方程為一元二次方程？并寫出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng).（2）k為何值時(shí)，此方程為一元一次方程?【知識點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念.【解題過程】（1）是一元二次方程該方程的二次項(xiàng)系數(shù)為、一次項(xiàng)系數(shù)為k+1、常數(shù)項(xiàng)為-2.（2）是一元一次方程【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】(1)k1，，k+1，-2；（2）k=1練習(xí)5.已知關(guān)于x的方程當(dāng)_____________時(shí)，是一元二次方程當(dāng)_____________時(shí)，是一元一次方程【知識點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過程】是一元二次方程是一元一次方程【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念分別列不等式（組）求解.【答案】【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對一元二次方程和一元一次方程概念的理解例6.已知方程x2+bx+a=0有一根為-a，（a≠0）則下列代數(shù)式的值恒為常數(shù)的是（）A.abB.C.a+bD.a-b【知識點(diǎn)】一元二次方程的根的概念【解題過程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根代入原方程.【答案】D練習(xí)6．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）(1)滿足a+b+c=0時(shí)，有根x=_________.(2)滿足a-b+c=0時(shí)，有根x=_________.(3)滿足c=0時(shí)，有根x=_________.【知識點(diǎn)】一元二次方程的根的概念【解題過程】（1）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a+b+c=0時(shí)，有根x=1.（2）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足a-b+c=0時(shí)，有根x=-1.（3）當(dāng)時(shí)，一元二次方程ax2+bx+c=0可化為，因此滿足c=0時(shí)，有根x=0.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程.【答案】（1）；（2）；（3）【設(shè)計(jì)意圖】加強(qiáng)對一元二次方程的根的概念的理解和應(yīng)用.2.課堂總結(jié)知識梳理一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng).一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解（或根）.重難點(diǎn)歸納一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，其一般形式為：.2.一元二次方程特殊形式有：；；3.判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項(xiàng)，但是化簡后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程．4.只有一元方程的“解”可以說成“根”.5.判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等．6.一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），當(dāng)a+b+c=0時(shí)，有根x=1；當(dāng)a-b+c=0時(shí)，有根x=-1；當(dāng)c=0時(shí)，有根x=0.（三）課后作業(yè)?基礎(chǔ)型自主突破1．下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c=0 B．x2+2x=x2﹣1 C．3（x+1）2=2（x+1） D．﹣2=0【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】A.可能，不是一元二次方程.B.化成一般形式，不是一元二次方程.C.化成一般形式，是一元二次方程.D.不是整式方程.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的特點(diǎn)：首先它是整式方程，然后未知數(shù)的個數(shù)是1，最高次數(shù)是2.【答案】C2.一元二次方程的一般形式是（）A.ax2＋bx＋c＝0 B.ax2＋bx＋c(a≠0)C.ax2＋bx＋c＝0(a≠0) D.ax2＋bx＋c＝0(b≠0)【知識點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過程】一元二次方程的一般形式【思路點(diǎn)撥】提示：抓住一元二次方程的三個特征：①整式方程；②只含一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.【答案】C3.若px2－3x＋p2－p＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A.p＝1 B.p＞0 C.p≠0 D.p為任意實(shí)數(shù)【知識點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過程】一元二次方程的一般形式【思路點(diǎn)撥】二次項(xiàng)系數(shù)不為0.【答案】C4.關(guān)于x的一元二次方程（3－x）（3＋x）－2a（x＋1）＝5a的一次項(xiàng)系數(shù)為（）A.8a B.－8a C.2a D.7a－9【知識點(diǎn)】一元二次方程的一般形式【解題過程】首先把方程整理為一般形式為x2＋2ax＋7a－9＝0，其中一次項(xiàng)系數(shù)為2a.【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式【答案】C5.若方程（m2－4）x2＋3x－5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則（）A.m≠2 B.m≠－2 C.m≠－2，或m≠2 D.m≠－2，且m≠2【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】二次項(xiàng)系數(shù)m2－4≠0【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的一般形式【答案】D6.已知0是關(guān)于x的方程（m＋3）x2－x＋9－m2＝0的根，則m＝.【知識點(diǎn)】方程的根【數(shù)學(xué)思想】分類討論【解題過程】【思路點(diǎn)撥】此題分兩種考慮.當(dāng)m＋3＝0時(shí)，方程化為一元一次方程；當(dāng)m＋3≠0時(shí)，方程化為一元二次方程.【答案】能力型師生共研7.當(dāng)m時(shí)，方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0是關(guān)于x的一元一次方程；當(dāng)m時(shí)，上述方程才是關(guān)于x的一元二次方程.【知識點(diǎn)】一元二次方程和一元一次方程的概念【解題過程】一元一次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0一元二次方程（m－1）x2－(2m－1)x＋m＝0【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的概念列方程或不等式求解.【答案】8.已知x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一個根，且a≠b，求的值.【知識點(diǎn)】一元二次方程的根的概念和分式的化簡求值【數(shù)學(xué)思想】整體思想【解題過程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程。【答案】20探究型多維突破9．若b（b≠0）是方程x2+cx+b=0的根，則b+c的值為（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【知識點(diǎn)】一元二次方程的根【解題過程】有一根為【思路點(diǎn)撥】一元二次方程的根就是使原方程成立的未知數(shù)的值，所以將根帶回原方程.【答案】B10.關(guān)于x的一元二次方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一個根為0，則2m2-4m+3=_________?！局R點(diǎn)】一元二次方程的根，代數(shù)式求值.【解題過程】有一根為【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)一元二次方程的根的概念求出m的值，再求出代數(shù)式的值.【答案】3自助餐1．若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m＝_______.【知識點(diǎn)】一元二次方程的概念【解題過程】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元二次方程的概念列不等式組求解?！敬鸢浮縨=22．若關(guān)于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一個解為2，則