分式的運(yùn)算法則

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分式的運(yùn)算

一.通分的方法:

1.分式通分的涵義和分?jǐn)?shù)通分的涵義有類似的地方;(1)把異分母分式化為同分母分式;

(2)同時(shí)必需使化得的分式和原來(lái)的分式分別相等;

(3)通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì),且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母,否則使運(yùn)算變得煩瑣.

2.求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵,其法則是:(1)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);

(2)凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底的冪的因式都要取;(3)一致字母(或含字母的式子)的冪的因式取指數(shù)最高的.這樣取出的因式的積,就是最簡(jiǎn)公分母.

例1.通分:

3

3

2

解:∵8,12,20的最小公倍數(shù)為120,字母因式x、y、z的最高次冪分別為x、y、z,所以最簡(jiǎn)公分母是120xyz.

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∴.

通分過(guò)程中,假使字母的系數(shù)是負(fù)數(shù),一般先把負(fù)號(hào)提到分式的前面.

例2.通分:

解:將分母分解因式:

a-b=(a+b)(a-b);b-a=-(a-b)∴最簡(jiǎn)公分母為(a+b)(a-b)

2

2

2

∴[分子,分母同乘以(a-b)]

=[分子作整式乘法]

∴

[分子,分母同乘以(a+b)]

=[分子作整式乘法]

∴[分子,分母同乘以(a+b)(a-b)]

=-[分子作整式乘法]

說(shuō)明:(1)分式的通分必需注意整個(gè)分子和整個(gè)分母,分母是多項(xiàng)式時(shí),必需先分解因式,分子是多項(xiàng)式時(shí),要把分母所乘的一致式子與這個(gè)多項(xiàng)式相乘,而不能只同其中某一項(xiàng)相乘。

(2)通分是和約分相反的一種變換.約分是把分子和分母的所有公因式約去.將分式化為較簡(jiǎn)單的形式;通分是分別把每一個(gè)分式的分子分母同乘以一致的因式,使幾個(gè)較簡(jiǎn)單的分式變成分母一致的較繁雜的形式。約分是對(duì)一個(gè)分式而言的;通分則是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的分式來(lái)說(shuō)的。二.分式的乘除法:

1.同分?jǐn)?shù)乘除法類似,分式乘除法的法則用式子表示是：

，其中a、b、c、d可以代表數(shù)也可以代表含有字母的整

式.

2.分式乘除法的運(yùn)算.歸根終究是乘法的運(yùn)算,當(dāng)分子和分母是多項(xiàng)式時(shí),一般應(yīng)先進(jìn)行因式分解,再約分。

3.整式和分式進(jìn)行運(yùn)算時(shí),可以把整式看成分母為1的分式。

4.做分式乘除混合運(yùn)算時(shí),要注意運(yùn)算順序,乘除法是同級(jí)運(yùn)算,要嚴(yán)格依照由左到右的順序進(jìn)行運(yùn)算.切不可打亂這個(gè)運(yùn)算順序。

例如:a÷b·=a··=切不可以:a÷b·=a÷1=a

例1、計(jì)算：（1）（2）÷(-)

解:(1)法(一)分子、分母分別相乘得一個(gè)分式再進(jìn)行約分:

=

法(二)先約分,再相乘

=

(2)÷(-)

=·（-）=-

說(shuō)明①分式的除法,只要將除式的分子和分母顛倒位置,就可以轉(zhuǎn)化為乘法來(lái)做,并注意符號(hào)法則,一般先確定符號(hào),然后演算.②根據(jù)乘法法則,應(yīng)先化成一個(gè)分式后再進(jìn)行約分,如(1)題中的法(一)計(jì)算,但在實(shí)際演算中,這樣的做法就顯得繁瑣,因此往往在運(yùn)算過(guò)程中,先約分,再相乘,所得的結(jié)果是一致的.如(1)題中的法(二)計(jì)算.

例2.計(jì)算:÷(x+3)·

解:÷(x+3)·

=÷(x+3)·(各分子,分母按x降冪排列)

=··（統(tǒng)一為乘法運(yùn)算）

==-

·（約分）

·（分子，分母因式分解）

說(shuō)明:①整式(x+3)可以寫成分式形式:顛倒除式后為.②上例的右側(cè)說(shuō)明

就是乘除混合運(yùn)算的步驟。③要注意運(yùn)算順序,在同級(jí)運(yùn)算中,假使沒(méi)有括號(hào),就應(yīng)依照由左到右的順序進(jìn)行計(jì)算.④當(dāng)分式的分子分母是多項(xiàng)式時(shí),應(yīng)先進(jìn)行因式分解,分解時(shí),應(yīng)先把含有同一個(gè)字母的多項(xiàng)式按降冪(或升冪)排列好,再進(jìn)行分解因式,化成最簡(jiǎn)分式后再進(jìn)行運(yùn)算,這樣就簡(jiǎn)單看出一致的因式,便于約分。三.分式的乘方:

1.分式乘方法則用式子表示是：()=

n

(n是正整數(shù),b≠0)

2.帶有負(fù)號(hào)的分式乘方,其結(jié)果的符號(hào)與負(fù)數(shù)的乘方的規(guī)律一致,即負(fù)數(shù)的偶次方為正,奇次方為負(fù).在演算帶有負(fù)號(hào)的分式乘方時(shí),應(yīng)先決定結(jié)果的符號(hào),再做其它的運(yùn)算。3.分式乘除,乘方混合運(yùn)算時(shí),要先乘方,再化除為乘,最終進(jìn)行約分并把結(jié)果化成最簡(jiǎn)分式或整式。

例1.計(jì)算:(-)·(-

2

)÷(-

3

)

4

解:(-)·(-

2

)÷(-

3

)

4

=(分式乘方法則)

=(統(tǒng)一為乘法運(yùn)算)

=-=-a(約分)

5

(分式乘法及分式變號(hào)法則)

說(shuō)明:上例的右側(cè)說(shuō)明就是乘方,乘除混合運(yùn)算的步驟。

例2.計(jì)算:()·(

2

)÷

3

解:()·(

2

)÷

3

=÷(分式乘方法則)

=·(統(tǒng)一為乘法運(yùn)算)

=·(分子,分母因式分解及分式變號(hào)法則)

=(約分)

=(分子作整式乘法運(yùn)算)

3

3

說(shuō)明:①運(yùn)算時(shí)特別注意符號(hào),在做題時(shí),先判斷符號(hào),如負(fù)數(shù)的奇次方為負(fù),如(-a)=-a,

負(fù)數(shù)的偶次方為正,同號(hào)相乘除為正,如(b-a)=-(a-b)的變形。四.分式的加減法:

3

3

，異號(hào)相乘除為負(fù).②注意

1.分式的加減法,可以依照分?jǐn)?shù)加減法的法則來(lái)進(jìn)行。分為同分母的加減法和異分母的

加減法。而異分母的加減法是通過(guò)\通分\轉(zhuǎn)化為同分母的加減法進(jìn)行運(yùn)算的。2.分母一致的分式的加減法,用式子表示為:3.分母不一致的分式的加減法,用式子表示為:

.

4.當(dāng)一個(gè)分式和一個(gè)整式相加減時(shí),要把這個(gè)整式看作分母為1的式子進(jìn)行通分。

例1.計(jì)算:

解:三個(gè)分式的分母一致,只要對(duì)分子進(jìn)行加減:

=（分母不變，分子相加減）

=（應(yīng)用去括號(hào)法則）

=（分子合并同類項(xiàng)）

=（約分）

說(shuō)明:注意\分子相加減\是指把各個(gè)分式的分子的\整體\相加減.如上例的三個(gè)分子相加減為:(4x+6y)+(2y-3x)-(x+2y),特別是-(x+2y)注意括號(hào)的作用.

例2.計(jì)算: