必修5解三角形和數(shù)列測試題及答案

必修五解三角形和數(shù)列綜合練習解三角形一、選擇題1．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b2＋c2－a2＝bc，則角A等于()(A) (B) (C) (D)2．在△ABC中，給出下列關(guān)系式：①sin(A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③其中正確的個數(shù)是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)33．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a＝3，sinA＝，sin(A＋C)＝，則b等于()(A)4 (B) (C)6 (D)4．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝3，b＝4，sinC＝，則此三角形的面積是()(A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，則此三角形的形狀是()(A)直角三角形 (B)正三角形(C)腰和底邊不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形二、填空題6．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝，b＝2，B＝45°，則角A＝________.7．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝2，b＝3，c＝，則角C＝________.8．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝，則此三角形的面積為________.9．已知△ABC的頂點A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，則cosA＝________.10．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么邊BC上的中線AD的長為________.三、解答題11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a＝3，b＝4，C＝60°.(1)求c；(2)求sinB.12．設(shè)向量a，b滿足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.(1)求〈a，b〉；(2)求|a－b|.13．設(shè)△OAB的頂點為O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA于D.(1)求高線BD的長；(2)求△OAB的面積.14．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＞sin2C，求證：C為銳角.(提示：利用正弦定理，其中R為△ABC外接圓半徑)15．如圖，兩條直路OX與OY相交于O點，且兩條路所在直線夾角為60°，甲、乙兩人分別在OX、OY上的A、B兩點，|OA|＝3km，|OB|＝1km，兩人同時都以4km/h的速度行走，甲沿方向，乙沿方向.問：(1)經(jīng)過t小時后，兩人距離是多少(表示為t的函數(shù))？(2)何時兩人距離最近？16．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.(1)求角B的值；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面積.

14．某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進一艘漁船，用于捕撈，第一年需各種費用12萬元，從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加4萬元，該船每年捕撈的總收入為50萬元.(1)寫出該漁船前四年每年所需的費用(不包括購買費用)；(2)該漁船捕撈幾年開始盈利(即總收入減去成本及所有費用為正值)？(3)若當盈利總額達到最大值時，漁船以8萬元賣出，那么該船為漁業(yè)公司帶來的收益是多少萬元？15．已知函數(shù)f(x)＝(x＜－2)，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝f(－)(n∈N*).(1)求an；(2)設(shè)bn＝a＋a＋…＋a，是否存在最小正整數(shù)m，使對任意n∈N*有bn＜成立？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.16．已知f是直角坐標系平面xOy到自身的一個映射，點P在映射f下的象為點Q，記作Q＝f(P).設(shè)P1(x1，y1)，P2＝f(P1)，P3＝f(P2)，…，Pn＝f(Pn－1)，….如果存在一個圓，使所有的點Pn(xn，yn)(n∈N*)都在這個圓內(nèi)或圓上，那么稱這個圓為點Pn(xn，yn)的一個收斂圓.特別地，當P1＝f(P1)時，則稱點P1為映射f下的不動點.若點P(x，y)在映射f下的象為點Q(－x＋1，y).(1)求映射f下不動點的坐標；(2)若P1的坐標為(2，2)，求證：點Pn(xn，yn)(n∈N*)存在一個半徑為2的收斂圓.

解三角形1．B2．C3．D4．C5．B提示：5．化簡(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理，得cosA＝，所以∠A＝60°.因為sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.所以sin(B－C)＝0，故B＝C.故△ABC是正三角形.二、填空題6．30°7．120°8．9．10．三、解答題11．(1)由余弦定理，得c＝；(2)由正弦定理，得sinB＝.12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；(2)由向量減法幾何意義，知|a|，|b|，|a－b|可以組成三角形，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝7，故|a－b|＝.13．(1)如右圖，由兩點間距離公式，得，同理得.由余弦定理，得所以A＝45°.故BD＝AB×sinA＝2.(2)S△OAB＝·OA·BD＝··2＝29.14．由正弦定理，得.因為sin2A＋sin2B＞sin2C，所以，即a2＋b2＞c2.所以cosC＝＞0，由C∈(0，π)，得角C為銳角.15．(1)設(shè)t小時后甲、乙分別到達P、Q點，如圖，則|AP|＝4t，|BQ|＝4t，因為|OA|＝3，所以t＝h時，P與O重合.故當t∈[0，]時，|PQ|2＝(3－4t)2＋(1＋4t)2－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60°；當t＞h時，|PQ|2＝(4t－3)2＋(1＋4t)2－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.故得|PQ|＝(t≥0).(2)當t＝時，兩人距離最近，最近距離為2km.16．(1)由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.所以等式可化為，即，2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，因為A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，故cosB＝－，所以B＝120°.(2)由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－2ac×cos120°，即a2＋c2＋ac＝13又a＋c＝4，解得，或.所以S△ABC＝acsinB＝×1×3×＝.數(shù)列一、選擇題1．B2．A3．A4．D5．C二、填空題6．3·2n－37．1808．a(chǎn)n＝9．10．a(chǎn)n＝(n∈N*)提示：10．由(n＋1)a－na＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0，因為an＞0，所以(n＋1)an＋1－nan＝0，即，所以.三、解答題11．S13＝156.12．(1)∵點(an，an＋1＋1)在函數(shù)f(x)＝2x＋1的圖象上，∴an＋1＋1＝2an＋1，即an＋1＝2an.∵a1＝1，∴an≠0，∴＝2，∴{an}是公比q＝2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1.(2)Sn＝.(3)∵cn＝Sn＝2n－1，∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)－n＝＝2n＋1－n－2.13．當n＝1時，由題意得S1＝3a1＋2，所以a1＝－1；當n≥2時，因為Sn＝3an＋2，所以Sn－1＝3an－1＋2；兩式相減得an＝3an－3an－1，即2an＝3an－1.由a1＝－1≠0，得an≠0.所以(n≥2，n∈N*).由等比數(shù)列定義知數(shù)列{an}是首項a1＝－1，公比q＝的等比數(shù)列.所以an＝－()n－1．14．(1)設(shè)第n年所需費用為an(單位萬元)，則a1＝12，a2＝16，a3＝20，a4＝24．(2)設(shè)捕撈n年后，總利潤為y萬元，則y＝50n－[12n＋×4]－98＝－2n2＋40n－98．由題意得y＞0，∴2n2－40n＋98＜0，∴10－＜n＜10＋.∵n∈N*，∴3≤n≤17，即捕撈3年后開始盈利.(3)∵y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102，∴當n＝10時，y最大＝102．即經(jīng)過10年捕撈盈利額最大，共盈利102＋8＝110(萬元).15．(1)由an＝f(－)，得(an＋1＞0)，∴{}為等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)·4．∵a1＝1，∴an＝(n∈N*).(2)由，得bn－bn＋1＝∵n∈N*，∴bn－bn＋1＞0，∴bn＞bn＋1(n∈N*)，∴{bn}是遞減數(shù)列.∴bn的最大值為.若存在最小正整數(shù)m，使對任意n∈N*有bn＜成立，只要使b1＝即可，∴m＞.∴對任意n∈N*使bn＜成立的最小正整數(shù)m＝8．16．(1)解：設(shè)不動點的坐標為P0(x0，y0)，由題意，得，解得，y0＝0，所以此映射f下不動點為P0(，0).(2)證明：由Pn＋1＝f(Pn)，得，所以xn＋1－＝－(xn－)，yn＋1＝y(tǒng)n.因為x1＝2，y1＝2，所以xn－≠0，yn≠0，所以.由等比數(shù)列定義，得數(shù)列{xn－}(