大學(xué)物理答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學(xué)物理答案其次章牛頓定律

2-1如圖(a)所示,質(zhì)量為m的物體用平行于斜面的細(xì)線聯(lián)結(jié)置于光滑的斜面上,若斜面向左方作加速運(yùn)動(dòng),當(dāng)物體剛脫離斜面時(shí),它的加速度的大小為()

(A)gsinθ(B)gcosθ(C)gtanθ(D)gcotθ

分析與解當(dāng)物體離開斜面瞬間,斜面對物體的支持力消失為零,物體在繩子拉力FＴ(其方向仍可認(rèn)為平行于斜面)和重力作用下產(chǎn)生平行水平面向左的加速度a,如圖(b)所示,由其可解得合外力為mgcotθ,應(yīng)選(D)．求解的關(guān)鍵是正確分析物體剛離開斜面瞬間的物體受力狀況和狀態(tài)特征．

2-2用水平力FN把一個(gè)物體壓著靠在粗糙的豎直墻面上保持靜止．當(dāng)FN逐漸增大時(shí),物體所受的靜摩擦力Ff的大小()

(A)不為零,但保持不變(B)隨FN成正比地增大

(C)開始隨FN增大,達(dá)到某一最大值后,就保持不變(D)無法確定

分析與解與滑動(dòng)摩擦力不同的是,靜摩擦力可在零與最大值μFN范圍內(nèi)取值．當(dāng)FN增加時(shí),靜摩擦力可取的最大值成正比增加,但具體大小則取決于被作用物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．由題意知,物體一直保持靜止?fàn)顟B(tài),故靜摩擦力與重力大小相等,方向相反,并保持不變,應(yīng)選(A)．

2-3一段路面水平的馬路,轉(zhuǎn)彎處軌道半徑為R,汽車輪胎與路面間的摩擦因數(shù)為μ,要使汽車不至于發(fā)生側(cè)向打滑,汽車在該處的行駛速率()

(A)不得小于μgR(B)必需等于μgR

(C)不得大于μgR(D)還應(yīng)由汽車的質(zhì)量m決定

分析與解由題意知,汽車應(yīng)在水平面內(nèi)作勻速率圓周運(yùn)動(dòng),為保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)不側(cè)向打滑,所需向心力只能由路面與輪胎間的靜摩擦力提供,能夠提供的最大向心力應(yīng)為μFN．由此可算得汽車轉(zhuǎn)彎的最大速率應(yīng)為v＝μRg．因此只要汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的實(shí)際速率不大于此值,均能保證不側(cè)向打滑．應(yīng)選(C)．

2-4一物體沿固定圓弧形光滑軌道由靜止下滑,在下滑過程中,則()(A)它的加速度方向永遠(yuǎn)指向圓心,其速率保持不變(B)它受到的軌道的作用力的大小不斷增加(C)它受到的合外力大小變化,方向永遠(yuǎn)指向圓心(D)它受到的合外力大小不變,其速率不斷增加

分析與解由圖可知,物體在下滑過程中受到大小和方向不變的重力以及時(shí)刻指向圓軌道中心的軌道支持力FN作用,其合外力方向并非指向圓心,其大小和方向均與物體所在位置有關(guān)．重力的切向分量(mgcosθ)使物體的速率將會(huì)不斷增加(由機(jī)械能守恒亦可判斷),則物體作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力(又稱法向力)將不斷增大,由軌道法向方向上的動(dòng)力學(xué)方程

v2FN?mgsinθ?m可判斷,隨θ角的不斷增大過程,軌道支持力FN也將不斷增大,由此可

R見應(yīng)選(B)．

2-5圖(a)示系統(tǒng)置于以a＝1/4g的加速度上升的升降機(jī)內(nèi),A、B兩物體質(zhì)量一致均為m,A所在的桌面是水平的,繩子和定滑輪質(zhì)量均不計(jì),若忽略滑輪軸上和桌面上的摩擦,并不計(jì)空氣阻力,則繩中張力為()

(A)58mg(B)12mg(C)mg(D)2mg

分析與解此題可考慮對A、B兩物體加上慣性力后,以電梯這個(gè)非慣性參考系進(jìn)行求解．此時(shí)A、B兩物體受力狀況如圖(b)所示,圖中a′為A、B兩物體相對電梯的加速度,ma′為慣性力．對A、B兩物體應(yīng)用牛頓其次定律,可解得FＴ＝5/8mg．應(yīng)選(A)．

探討對于習(xí)題2-5這種類型的物理問題,往往從非慣性參考系(此題為電梯)觀測到的運(yùn)動(dòng)圖像較為明確,但由于牛頓定律只適用于慣性參考系,故從非慣性參考系求解力學(xué)問題時(shí),必需對物體加上一個(gè)虛擬的慣性力．如以地面為慣性參考系求解,則兩物體的加速度aA和aB均應(yīng)對地而言,此題中aA和aB的大小與方向均不一致．其中aA應(yīng)斜向上．對aA、aB、a和

a′之間還要用到相對運(yùn)動(dòng)規(guī)律,求解過程較繁．有興趣的讀者不妨自己嘗試一下．

2-6圖示一斜面,傾角為α,底邊AB長為l＝2.1m,質(zhì)量為m的物體從題2-6圖斜面頂端由靜止開始向下滑動(dòng),斜面的摩擦因數(shù)為μ＝0.14．試問,當(dāng)α為何值時(shí),物體在斜面上下滑的時(shí)間最短？其數(shù)值為多少？

分析動(dòng)力學(xué)問題一般分為兩類：(1)已知物體受力求其運(yùn)動(dòng)狀況；(2)已知物體的運(yùn)動(dòng)狀況來分析其所受的力．當(dāng)然,在一個(gè)具體題目中,這兩類問題并無截然的界限,且都是以加速度作為中介,把動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來．此題關(guān)鍵在列出動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程后,解出傾角與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系α＝f(t),然后運(yùn)用對t求極值的方法即可得出數(shù)值來．

解取沿斜面為坐標(biāo)軸Ox,原點(diǎn)O位于斜面頂點(diǎn),則由牛頓其次定律有

mgsinα?mgμcosα?ma(1)

又物體在斜面上作勻變速直線運(yùn)動(dòng),故有

l11?at2?g?sinα?μcosα?t2cosα22則t?2l(2)

gcosα?sinα?μcosα?dt?0,由式(2)有dα為使下滑的時(shí)間最短,可令

?sinα?sinα?μcosα??cosα?cosα?μsinα??0

則可得tan2α??1o,??49μ此時(shí)t?2l?0.99s

gcosα?sinα?μcosα?2-7工地上有一吊車,將甲、乙兩塊混凝土預(yù)制板吊起送至高空．甲塊質(zhì)量為m1＝2.00×102kg,乙塊質(zhì)量為m2＝1.00×102kg．設(shè)吊車、框架和鋼絲繩的質(zhì)量不計(jì)．試求下述兩種狀況下,鋼絲繩所受的張力以及乙塊對甲塊的作用力：(1)兩物塊以10.0m·ｓ-2的加速度上升；

(2)兩物塊以1.0m·ｓ-2的加速度上升．此后題的結(jié)果,你能體會(huì)到起吊重物時(shí)必需緩慢加速的道理嗎？

分析預(yù)制板、吊車框架、鋼絲等可視為一組物體．處理動(dòng)力學(xué)問題尋常采用“隔離體〞的方法,分析物體所受的各種作用力,在所選定的慣性系中列出它們各自的動(dòng)力學(xué)方程．根據(jù)連接體中物體的多少可列出相應(yīng)數(shù)目的方程式．結(jié)合各物體之間的相互作用和聯(lián)系,可解決物體的運(yùn)動(dòng)或相互作用力．

解按題意,可分別取吊車(含甲、乙)和乙作為隔離體,畫示力圖,并取豎直向上為Oy軸正方向(如下圖)．當(dāng)框架以加速度a上升時(shí),有

FＴ-(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a(1)

FN2-m2g＝m2a(2)

解上述方程,得

FＴ＝(m1＋m2)(g＋a)(3)FN2＝m2(g＋a)(4)

(1)當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a＝10m·ｓ-2上升時(shí),由式(3)可得繩所受張力的值為

FＴ＝5.94×103N

乙對甲的作用力為

F′N2＝-FN2＝-m2(g＋a)＝-1.98×103N

(2)當(dāng)整個(gè)裝置以加速度a＝1m·ｓ-2上升時(shí),得繩張力的值為

FＴ＝3.24×103N

此時(shí),乙對甲的作用力則為

F′N2＝-1.08×103N

由上述計(jì)算可見,在起吊一致重量的物體時(shí),由于起吊加速度不同,繩中所受張力也不同,加速度大,繩中張力也大．因此,起吊重物時(shí)必需緩慢加速,以確保起吊過程的安全．

2-8如圖(a)所示,已知兩物體A、B的質(zhì)量均為m＝3.0kg物體A以加速度a＝1.0m·ｓ-2運(yùn)動(dòng),求物體B與桌面間的摩擦力．(滑輪與連接繩的質(zhì)量不計(jì))

分析該題為連接體問題,同樣可用隔離體法求解．分析時(shí)應(yīng)注意到繩中張力大小四處相等是有條件的,即必需在繩的質(zhì)量和伸長可忽略、滑輪與繩之間的摩擦不計(jì)的前提下成立．同時(shí)也要注意到張力方向是不同的．

解分別對物體和滑輪作受力分析［圖(b)］．由牛頓定律分別對物體A、B及滑輪列動(dòng)力學(xué)方程,有

mAg-FＴ＝mAa(1)F′Ｔ1-Fｆ＝mBa′(2)F′Ｔ-2FＴ1＝0(3)

考慮到mA＝mB＝m,FＴ＝F′Ｔ,FＴ1＝F′Ｔ1,a′＝2a,可聯(lián)立解得物體與桌面的摩擦力

Ff?mg??m?4m?a?7.2N

2

探討動(dòng)力學(xué)問題的一般解題步驟可分為：(1)分析題意,確定研究對象,分析受力,選定坐標(biāo)；(2)根據(jù)物理的定理和定律列出原始方程組；(3)解方程組,得出文字結(jié)果；(4)核對量綱,再代入數(shù)據(jù),計(jì)算出結(jié)果來．

2-9質(zhì)量為m′的長平板A以速度v′在光滑平面上作直線運(yùn)動(dòng),現(xiàn)將質(zhì)量為m的木塊B輕輕平穩(wěn)地放在長平板上,板與木塊之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,求木塊在長平板上滑行多遠(yuǎn)才能與板取得共同速度？

分析當(dāng)木塊B平穩(wěn)地輕輕放至運(yùn)動(dòng)著的平板A上時(shí),木塊的初速度可視為零,由于它與平板之間速度的差異而存在滑動(dòng)摩擦力,該力將改變它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)．根據(jù)牛頓定律可得到它們各自相對地面的加速度．換以平板為參考系來分析,此時(shí),木塊以初速度-v′(與平板運(yùn)動(dòng)速率大小相等、方向相反)作勻減速運(yùn)動(dòng),其加速度為相對加速度,按運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解得．

該題也可應(yīng)用第三章所陳述的系統(tǒng)的動(dòng)能定理來解．將平板與木塊作為系統(tǒng),該系統(tǒng)的動(dòng)能由平板原有的動(dòng)能變?yōu)槟緣K和平板一起運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能,而它們的共同速度可根據(jù)動(dòng)量定理求得．又由于系統(tǒng)內(nèi)只有摩擦力作功,根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)能定理,摩擦力的功應(yīng)等于系統(tǒng)動(dòng)能的增

量．木塊相對平板移動(dòng)的距離即可求出．

解1以地面為參考系,在摩擦力Fｆ＝μmg的作用下,根據(jù)牛頓定律分別對木塊、平板列出動(dòng)力學(xué)方程

Fｆ＝μmg＝ma1F′ｆ＝-Fｆ＝m′a2

a1和a2分別是木塊和木板相對地面參考系的加速度．若以木板為參考系,木塊相對平板的加速度a＝a1＋a2,木塊相對平板以初速度-v′作勻減速運(yùn)動(dòng)直至最終中止．由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有

-v′2＝2as

由上述各式可得木塊相對于平板所移動(dòng)的距離為

m?v?2s?2μg?m??m?解2以木塊和平板為系統(tǒng),它們之間一對摩擦力作的總功為

W＝Fｆ(s＋l)-Fｆl＝μmgs

式中l(wèi)為平板相對地面移動(dòng)的距離．

由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力,當(dāng)木塊放至平板上時(shí),根據(jù)動(dòng)量守恒定律,有

m′v′＝(m′＋m)v″

由系統(tǒng)的動(dòng)能定理,有

μmgs?由上述各式可得

11m?v?2??m??m?v??222m?v?2s?2μg?m??m?2-10如圖(a)所示,在一只半徑為R的半球形碗內(nèi),有一粒質(zhì)量為m的小鋼球,當(dāng)小球以角速度ω在水平面內(nèi)沿碗內(nèi)壁作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),它距碗底有多高？

分析維持鋼球在水平面內(nèi)作勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),必需使鋼球受到一與向心加速度相對應(yīng)的力(向心力),而該力是由碗內(nèi)壁對球的支持力FN的分力來提供的,由于支持力FN始終垂直于碗內(nèi)壁,所以支持力的大小和方向是隨ω而變的．取圖示Oxy坐標(biāo),列出動(dòng)力學(xué)方程,即可求解鋼球距碗底的高度．

解取鋼球?yàn)楦綦x體,其受力分析如圖(b)所示．在圖示坐標(biāo)中列動(dòng)力學(xué)方程

FNsinθ?man?mRω2sinθ(1)

FNcosθ?mg(2)

?R?h?(3)

且有cosθ?R由上述各式可解得鋼球距碗底的高度為

h?R?可見,h隨ω的變化而變化．

gω22-11火車轉(zhuǎn)彎時(shí)需要較大的向心力,假使兩條鐵軌都在同一水平面內(nèi)(內(nèi)軌、外軌等高),這個(gè)向心力只能由外軌提供,也就是說外軌會(huì)受到車輪對它很大的向外側(cè)壓力,這是很危險(xiǎn)的．因此,對應(yīng)于火車的速率及轉(zhuǎn)彎處的曲率半徑,必需使外軌適當(dāng)?shù)馗叱鰞?nèi)軌,稱為外軌超高．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的火車,以速率v沿半徑為R的圓弧軌道轉(zhuǎn)彎,已知路面傾角為θ,試求：(1)在此條件下,火車速率v0為多大時(shí),才能使車輪對鐵軌內(nèi)外軌的側(cè)壓力均為零？(2)假使火車的速率v≠v0,則車輪對鐵軌的側(cè)壓力為多少？

分析如題所述,外軌超高的目的欲使火車轉(zhuǎn)彎的所需向心力僅由軌道支持力的水平分量FNsinθ提供(式中θ角為路面傾角)．從而不會(huì)對內(nèi)外軌產(chǎn)生擠壓．與其對應(yīng)的是火車轉(zhuǎn)彎時(shí)必需以規(guī)定的速率v0行駛．當(dāng)火車行駛速率v≠v0時(shí),則會(huì)產(chǎn)生兩種狀況：如下圖,如v＞v0時(shí),外軌將會(huì)對車輪產(chǎn)生斜向內(nèi)的側(cè)壓力F1,以補(bǔ)償原向心力的不足,如v＜v0時(shí),則內(nèi)軌對車輪產(chǎn)生斜向外的側(cè)壓力F2,以抵消多余的向心力,無論哪種狀況火車都將對外軌或內(nèi)軌產(chǎn)生擠壓．由此可知,鐵路部門為什么會(huì)在每個(gè)鐵軌的轉(zhuǎn)彎處規(guī)定時(shí)速,從而確保行車安全．

解(1)以火車為研究對象,建立如下圖坐標(biāo)系．據(jù)分析,由牛頓定律有

v2FNsinθ?m(1)

RFNcosθ?mg?0(2)

解(1)(2)兩式可得火車轉(zhuǎn)彎時(shí)規(guī)定速率為

v0?gRtanθ

(2)當(dāng)v＞v0時(shí),根據(jù)分析有

v2FNsinθ?F1cosθ?m(3)

RFNcosθ?F1sinθ?mg?0(4)

解(3)(4)兩式,可得外軌側(cè)壓力為

?v2??F1?m?cosθ?gsinθ?R?

??當(dāng)v＜v0時(shí),根據(jù)分析有

v2FNsinθ?F2cosθ?m(5)

RFNcosθ?F2sinθ?mg?0(6)

解(5)(6)兩式,可得內(nèi)軌側(cè)壓力為

??v2?F2?m?gsinθ?cosθ??R??2-12一雜技演員在圓筒形建筑物內(nèi)表演飛車走壁．設(shè)演員和摩托車的總質(zhì)量為m,圓筒半徑為R,演員騎摩托車在直壁上以速率v作勻速圓周螺旋運(yùn)動(dòng),每繞一周上升距離為h,如下圖．求壁對演員和摩托車的作用力．

分析雜技演員(連同摩托車)的運(yùn)動(dòng)可以看成一個(gè)水平面內(nèi)的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和一個(gè)豎直向上勻速直線運(yùn)動(dòng)的疊加．其旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋線軌跡展開后,相當(dāng)于如圖(b)所示的斜面．把演員的運(yùn)動(dòng)速度分解為圖示的v1和v2兩個(gè)分量,顯然v1是豎直向上作勻速直線運(yùn)動(dòng)的分速度,而v2則是繞圓筒壁作水平圓周運(yùn)動(dòng)的分速度,其中向心力由筒壁對演員的支持力FN的水平分量FN2提供,而豎直分量FN1則與重力相平衡．如圖(c)所示,其中φ角為摩托車與筒壁所夾角．運(yùn)用牛頓定律即可求得筒壁支持力的大小和方向

解設(shè)雜技演員連同摩托車整體為研究對象,據(jù)(b)(c)兩圖應(yīng)有

FN1?mg?0(1)

FN2v2?m(2)

Rv2?vcosθ?v2πR?2πR?2?h2(3)

22FN?FN1?FN2(4)

以式(3)代入式(2),得

FN2m4π2R2v24π2Rmv2??(5)R4π2R2?h24π2R2?h2將式(1)和式(5)代入式(4),可求出圓筒壁對雜技演員的作用力(即支承力)大小為

?4πRv?222?FN?FN?F?mg?1N2?4π2R2?h2????與壁的夾角φ為

222FN24π2Rv2?arctan?arctan222FN14πR?hg??探討表演飛車走壁時(shí),演員必需控制好運(yùn)動(dòng)速度,行車路線以及摩托車的方位,以確保三者之間滿足解題用到的各個(gè)力學(xué)規(guī)律．

2-13一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng),其受力如下圖,設(shè)t＝0時(shí),v0＝5m·ｓ-1,x0＝2m,質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m＝1kg,試求該質(zhì)點(diǎn)7ｓ末的速度和位置坐標(biāo)．

分析首先應(yīng)由題圖求得兩個(gè)時(shí)間段的F(t)函數(shù),進(jìn)而求得相應(yīng)的加速度函數(shù),運(yùn)用積分方法求解題目所問,積分時(shí)應(yīng)注意積分上下限的取值應(yīng)與兩時(shí)間段相應(yīng)的時(shí)刻相對應(yīng)．

解由題圖得

0?t?5s?2t,F?t???5s?t?7s?35?5t,由牛頓定律可得兩時(shí)間段質(zhì)點(diǎn)的加速度分別為

a?2t,0?t?5sa?35?5t,5s?t?7s

對0＜t＜5ｓ時(shí)間段,由a?dv得dt?再由v?vv0dv??adt

0t2積分后得v?5?t

dx得dt?3積分后得x?2?5t?t

xx0dx??vdt

0t13將t＝5ｓ代入,得v5＝30m·ｓ-1和x5＝68.7m對5ｓ＜t＜7ｓ時(shí)間段,用同樣方法有

?再由

vv0dv??a2dt

5st2得v?35t?2.5t?82.5t

?xx5dx??vdt

5st

得

x＝17.5t2-0.83t3-82.5t＋147.87

將t＝7ｓ代入分別得v7＝40m·ｓ-1和x7＝142m

2-14一質(zhì)量為10kg的質(zhì)點(diǎn)在力F的作用下沿x軸作直線運(yùn)動(dòng),已知F＝120t＋40,式中F的單位為N,t的單位的ｓ．在t＝0時(shí),質(zhì)點(diǎn)位于x＝5.0m處,其速度v0＝6.0m·ｓ-1．求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和位置．

分析這是在變力作用下的動(dòng)力學(xué)問題．由于力是時(shí)間的函數(shù),而加速度a＝dv/dt,這時(shí),動(dòng)力學(xué)方程就成為速度對時(shí)間的一階微分方程,解此微分方程可得質(zhì)點(diǎn)的速度v(t)；由速度的定義v＝dx/dt,用積分的方法可求出質(zhì)點(diǎn)的位置．

解因加速度a＝dv/dt,在直線運(yùn)動(dòng)中,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律有

120t?40?mdvdt依據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件,即t0＝0時(shí)v0＝6.0m·ｓ-1,運(yùn)用分開變量法對上式積分,得

?dv???12.0t?4.0?dt

v00vtv＝6.0+4.0t+6.0t2

又因v＝dx/dt,并由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件：t0＝0時(shí)x0＝5.0m,對上式分開變量后積分,有

?dx???6.0?4.0t?6.0t?dt

xt2x00x＝5.0+6.0t+2.0t2+2.0t3

2-15輕型飛機(jī)連同駕駛員總質(zhì)量為1.0×103kg．飛機(jī)以55.0m·ｓ-1的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始制動(dòng),若阻力與時(shí)間成正比,比例系數(shù)α＝5.0×102N·ｓ-1,空氣對飛機(jī)升力不計(jì),求：(1)10ｓ后飛機(jī)的速率；(2)飛機(jī)著陸后10ｓ內(nèi)滑行的距離．

分析飛機(jī)連同駕駛員在水平跑道上運(yùn)動(dòng)可視為質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)．其水平方向所受制動(dòng)力F為變力,且是時(shí)間的函數(shù)．在求速率和距離時(shí),可根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,采用分開變量法求解．

解以地面飛機(jī)滑行方向?yàn)樽鴺?biāo)正方向,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律及初始條件,有

dv??αtdtvtαtdv???v0?0mdtα2t得v?v0?2mF?ma?m因此,飛機(jī)著陸10ｓ后的速率為

v＝30m·ｓ-1

又

α2??dx?v?dt??x0?0?02mt??xt故飛機(jī)著陸后10ｓ內(nèi)所滑行的距離

s?x?x0?v0t?α3t?467m6m2-16質(zhì)量為m的跳水運(yùn)動(dòng)員,從10.0m高臺(tái)上由靜止跳下落入水中．高臺(tái)距水面距離為h．把跳水運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),并略去空氣阻力．運(yùn)動(dòng)員入水后垂直下沉,水對其阻力為bv2,其中b為一常量．若以水面上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為Oy軸,求：(1)運(yùn)動(dòng)員在水中的速率v與y的函數(shù)關(guān)系；(2)如b/m＝0.40m-1,跳水運(yùn)動(dòng)員在水中下沉多少距離才能使其速率v減少到落水速率v0的1/10？(假定跳水運(yùn)動(dòng)員在水中的浮力與所受的重力大小恰好相等)

分析該題可以分為兩個(gè)過程,入水前是自由落體運(yùn)動(dòng),入水后,物體受重力P、浮力F和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一變力,因此,物體作變加速運(yùn)動(dòng)．雖然物體的受力分析比較簡單,但是,由于變力是速度的函數(shù)(在有些問題中變力是時(shí)間、位置的函數(shù)),對這類問題列出動(dòng)力學(xué)方程并不繁雜,但要從它計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的位置和速度就比較困難了．尋常需要采用積分的方法去解所列出的微分方程．這也成了解題過程中的難點(diǎn)．在解方程的過程中,特別需要注意到積分變量的統(tǒng)一和初始條件的確定．

解(1)運(yùn)動(dòng)員入水前可視為自由落體運(yùn)動(dòng),故入水時(shí)的速度為

v0?2gh

運(yùn)動(dòng)員入水后,由牛頓定律得

P-Fｆ-F＝ma

由題意P＝F、Fｆ＝bv2,而a＝dv/dt＝v(dv/dy),代入上式后得

-bv2＝mv(dv/dy)

考慮到初始條件y0＝0時(shí),v0?t2gh,對上式積分,有

vdv?m??dy???0??v0v?b?v?v0e?by/m?2ghe?by/m

(2)將已知條件b/m＝0.4m-1,v＝0.1v0代入上式,則得

y??mvln?5.76mbv0*2-17直升飛機(jī)的螺旋槳由兩個(gè)對稱的葉片組成．每一葉片的質(zhì)量m＝136kg,長l＝3.66m．求當(dāng)它的轉(zhuǎn)速n＝320r/min時(shí),兩個(gè)葉片根部的張力．(設(shè)葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片)

分析螺旋槳旋轉(zhuǎn)時(shí),葉片上各點(diǎn)的加速度不同,在其各部分兩側(cè)的張力也不同；由于葉片的質(zhì)量是連續(xù)分布的,在求葉片根部的張力時(shí),可選取葉片上一小段,分析其受力,列出動(dòng)力學(xué)方程,然后采用積分的方法求解．

解設(shè)葉片根部為原點(diǎn)O,沿葉片背離原點(diǎn)O的方向?yàn)檎?距原點(diǎn)O為r處的長為dr一小段葉片,其兩側(cè)對它的拉力分別為FＴ(r)與FＴ(r＋dr)．葉片轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),該小段葉片作圓周運(yùn)動(dòng),由牛頓定律有

dFT?FT?r??FT?r?dr??由于r＝l時(shí)外側(cè)FＴ＝0,所以有

m2ωrdrl?tFT?r?dFT??lrmω2rdrlmω2222πmn222FT?r???l?r??l?r

2ll????上式中取r＝0,即得葉片根部的張力

FＴ0＝-2.79×105N

負(fù)號(hào)表示張力方向與坐標(biāo)方向相反．

2-18一質(zhì)量為m的小球最初位于如圖(a)所示的A點(diǎn),然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑．試求小球到達(dá)點(diǎn)C時(shí)的角速度和對圓軌道的作用力．

分析該題可由牛頓其次定律求解．在取自然坐標(biāo)的狀況下,沿圓弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,與其相對應(yīng)的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而與法向加速度an相對應(yīng)的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcosα．由此,可分別列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man．由于小球在滑動(dòng)過程中加速度不是恒定的,因此,需應(yīng)用積分求解,為使運(yùn)算簡便,可轉(zhuǎn)換積分變量．倡該題也能應(yīng)用以小球、圓弧與地球?yàn)橄到y(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比較簡便．但它不能直接給出小球與圓弧表面之間的作用力．

解小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力P和圓軌道對它的支持力FN．取圖(b)所示的自然坐標(biāo)系,由牛頓定律得

Ft??mgsinα?mdv(1)dtmv2Fn?FN?mgcosα?m(2)

R由v?行積分,有

dsrdαrdα?,得dt?,代入式(1),并根據(jù)小球從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的始末條件,進(jìn)dtdtv?得v?則小球在點(diǎn)C的角速度為

vv0vdv??α90o??rgsinα?dα

2rgcosα

ω?v?2gcosα/rrmv2?mgcosα?3mgcosα由式(2)得FN?mr由此可得小球?qū)A軌道的作用力為

???FN??3mgcosαFN負(fù)號(hào)表示F′N與en反向．

2-19光滑的水平桌面上放置一半徑為R的固定圓環(huán),物體緊貼環(huán)的內(nèi)側(cè)作圓周運(yùn)動(dòng),其摩擦因數(shù)為μ,開始時(shí)物體的速率為v0,求：(1)t時(shí)刻物體的速率；(2)當(dāng)物體速率從v0減少到12v0時(shí),物體所經(jīng)歷的時(shí)間及經(jīng)過的路程．

分析運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系是以加速度為橋梁的,因而,可先分析動(dòng)力學(xué)問題．物體在作圓周運(yùn)動(dòng)的過程中,促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的是圓環(huán)內(nèi)側(cè)對物體的支持力FN和環(huán)與物體之間的摩擦力Fｆ,而摩擦力大小與正壓力FN′成正比,且FN與FN′又是作用力與反作用力,這樣,就可通過它們把切向和法向兩個(gè)加速度聯(lián)系起來了,從而可用運(yùn)動(dòng)學(xué)的積分關(guān)系式求解速率和路程．

解(1)設(shè)物體質(zhì)量為m,取圖中所示的自然坐標(biāo),按牛頓定律,有

mv2FN?man?

RFf??mat??dvdt由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN,由上述各式可得

v2dvμ??Rdt取初始條件t＝0時(shí)v＝v0,并對上式進(jìn)行積分,有

?t0dt??Rvdv

μ?v0v2v?Rv0

R?v0μt(2)當(dāng)物體的速率從v0減少到1/2v0時(shí),由上式可得所需的時(shí)間為

t??Rμv0

物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程

s??vdt??0t?t?0Rv0dt

R?v0μts?Rln2μ2-20質(zhì)量為45.0kg的物體,由地面以初速60.0m·ｓ-1豎直向上發(fā)射,物體受到空氣的阻力為Fr＝kv,且k＝0.03N/(m·ｓ-1)．(1)求物體發(fā)射到最大高度所需的時(shí)間．(2)最大高度為多少？

分析物體在發(fā)射過程中,同時(shí)受到重力和空氣阻力的作用,其合力是速率v的一次函數(shù),動(dòng)力學(xué)方程是速率的一階微分方程,求解時(shí),只需采用分開變量的數(shù)學(xué)方法即可．但是,在求解高度時(shí),則必需將時(shí)間變量通過速度定義式轉(zhuǎn)換為位置變量后求解,并注意到物體上升至最大高度時(shí),速率應(yīng)為零．

解(1)物體在空中受重力mg和空氣阻力Fr＝kv作用而減速．由牛頓定律得

?mg?kv?m根據(jù)始末條件對上式積分,有

dv(1)dt?t0dt??m?vv0vdv

mg?kvt?m?kv0??ln?1??6.11s??k?mg?(2)利用

dvdv?v的關(guān)系代入式(1),可得dtdy?mg?kv?mvdvdy分開變量后積分

?故y??y0dy???v00mvdv

mg?kv?m?mg?kv0???ln1??v?0??183m??k?k?mg??2vv探討如不考慮空氣阻力,則物體向上作勻減速運(yùn)動(dòng)．由公式t?0和y?0分別算

g2g得t≈6.12ｓ和y≈184m,均比實(shí)際值略大一些．

2-21一物體自地球表面以速率v0豎直上拋．假定空氣對物體阻力的值為Fr＝kmv2,

其中m為物體的質(zhì)量,k為常量．試求：(1)該物體能上升的高度；(2)物體返回地面時(shí)速度的值．(設(shè)重力加速度為常量．)

分析由于空氣對物體的阻力始終與物體運(yùn)動(dòng)的方向相反,因此,物體在上拋過程中所受重力P和阻力Fr的方向一致；而下落過程中,所受重力P和阻力Fr的方向則相反．又因阻力是變力,在解動(dòng)力學(xué)方程時(shí),需用積分的方法．

解分別對物體上拋、下落時(shí)作受力分析,以地面為原點(diǎn),豎直向上為y軸(如下圖)．(1)物體在上拋過程中,根據(jù)牛頓定律有

?mg?kmv2?m依據(jù)初始條件對上式積分,有

dvvdv?mdtdy?y0dy???0v0vdv

g?kv21?g?kv2??y??ln?2?2k?g?kv0??物體到達(dá)最高處時(shí),v＝0,故有

2?1?g?kv0??ln???2k?g?h?ymax(2)物體下落過程中,有

?mg?kmv2?m對上式積分,有

vdvdy?y0dy???0v0vdv2g?kv?kv2?則v?v0??1?g?????1/2

2-22質(zhì)量為m的摩托車,在恒定的牽引力F的作用下工作,它所受的阻力與其速率的平方成正比,它能達(dá)到的最大速率是vm．試計(jì)算從靜止加速到vm/2所需的時(shí)間以及所走過的路程．

分析該題仍舊是運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方程求解變力作用下的速度和位置的問題,求解方法與前兩題相像,只是在解題過程中必需設(shè)法求出阻力系數(shù)k．由于阻力Fr＝kv2,且Fr又與恒力F的方向相反；故當(dāng)阻力隨速度增加至與恒力大小相等時(shí),加速度為零,此時(shí)速度達(dá)到最大．因此,根據(jù)速度最大值可求出阻力系數(shù)來．但在求摩托車所走路程時(shí),需對變量作變換．

解設(shè)摩托車沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),在牽引力F和阻力Fr同時(shí)作用下,由牛頓定律有

F?kv2?m當(dāng)加速度a＝dv/dt＝0時(shí),摩托車的速率最大,因此可得

dv(1)dtk＝F/vm2(2)

由式(1)和式(2)可得

?v2?dv?(3)F?1??m?v2?dtm??根據(jù)始末條件對式(3)積分,有

?1?t0dt?mF?1vm20?v2???1?v2??dv

m??則t?又因式(3)中mmvmln32Fdvmvdv?,再利用始末條件對式(3)積分,有dtdx?x0dx?mF?1vm20?v2???1?v2??dv

m???122mvm4mvmln?0.144則x?2F3F*2-23飛機(jī)下降時(shí),以v0的水平速度著落后自由滑行,滑行期間飛機(jī)受到的空氣阻力F1

＝-k1v2,升力F2＝k2v2,其中v為飛機(jī)的滑行速度,兩個(gè)系數(shù)之比k1/k2稱為飛機(jī)的升阻比．試驗(yàn)說明,物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí),所受阻力與速度的關(guān)系與多種因素有關(guān),如速度大小、流體性質(zhì)、物體形狀等．在速度較小或流體密度較小時(shí)有F∝v,而在速度較大或流體密度較大的有F∝v2,需要確切計(jì)算時(shí)則應(yīng)由試驗(yàn)測定．此題中由于飛機(jī)速率較大,故取F∝v2作為計(jì)算依據(jù)．設(shè)飛機(jī)與跑道間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,試求飛機(jī)從觸地