大學(xué)物理答案第3章

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學(xué)物理答案第3章第三章剛體力學(xué)

3－1一通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動部分以初角速度ω0繞其軸轉(zhuǎn)動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，問：（1）經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解：（1）由題可知：阻力矩M??C?，

又由于轉(zhuǎn)動定理M?J??Jd?dt??C??Jd?dt?d?tC?????dt?0?0Jln?C??t?0J???0e當(dāng)??C?tJ

1J?0時，t?ln2。2Ct（2）角位移???0?dt??Jln2C0?0eC?tJdt?1J?0，

2C所以，此時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為n?J?0??。2?4?C3－2質(zhì)量為M，半徑為R的均勻圓柱體放在粗糙的斜面上，斜面傾角為?，圓柱體的外面繞有輕繩，繩子跨過一個很輕的滑輪，且圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行，如此題圖所示，求被懸掛物體的加速度及繩中張力

解：由牛頓其次定律和轉(zhuǎn)動定律得

mg?T?ma

2TR?Mgsinα.R?Jα

3TTMR22Mm8m?4Msinα聯(lián)立解得a?g?mg

3M?8m(3?4sinα)MT?mg

3M?8m3－3一平板質(zhì)量M1，受水平力F的作用，沿水平面運(yùn)動，

如此題圖所示，板與平面間的摩擦系數(shù)為μ，在板上放一質(zhì)量為M2的實(shí)心圓柱體，此圓柱體在板上只滾動而不滑動，求板的加速度。

由平行軸定理J?解：設(shè)平板的加速度為a。該平板水平方向受到拉力F、平面施加的摩擦力f1和圓柱體施加的摩擦力f2，根據(jù)牛頓定律有，F(xiàn)?f1?f2?M1a。

1

設(shè)圓柱體的質(zhì)心加速度為aC，則f2?M2aC

12遵守轉(zhuǎn)動定理，f2R?J??M2R?

2又由于圓柱體無滑滾動a?aC?R?且f1??(M1?M2)g

解以上各方程得a?M1M2習(xí)題3－3圖

FF?μ(M1?M2)g

1M1?M233－4質(zhì)量面密度為?的均勻矩形板，試證其對與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為J??ab(a2?b2)。其中a，b為矩形板的長，寬。12證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dm??dxdy，對與板面

垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為dJ?r2dm

y?b0admx???ab22ab??22?(x2?y2)?dxdy

?12ab(a2?b2)

證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒dm??bdx，對通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)

動慣量為

1dm?b2，根據(jù)平行軸定理，對與板12y面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為

dJ?1adm?b2?dm(?x)2b1221a??b3dx??b(?x)2dx12211?J??dJ??b3a??ba31212ab(a2?b2)

0admx??123－5質(zhì)量為m1和m2的兩物體A、B分別懸掛在如此題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪

的半徑分別為R和r，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1和J2，輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩中的張力。

解：分別對兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律，有

m1g?T1?m1a1T2?m2g?m2a

2

又由于組合輪的轉(zhuǎn)動慣量是兩輪慣量之和，根據(jù)轉(zhuǎn)動定理有

T1R?T2r?(J1?J2)?

而且，a1?R?，a2?r?，

?a1?m1R?m2rgR22J1?J2?m1R?m2rm1R?m2rgr

J1?J2?m1R2?m2r2

a2?T2T1?J1?J2?m2r?m2Rrm1g

J1?J2?m1R2?m2r22Bm2ga2T1a1AJ1?J2?m1R2?m1RrT2?m2g22J1?J2?m1R?m2rm1g3－6如此題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m1和m2的物體A、B。A置于傾角為θ的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為μ。若B向下作加速運(yùn)動時，求：（1）其下落加速度的大??；（2）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有T1?m1gsin??f?m1a1

Nm2g?T2?m2a2

對滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律有T2r?T1r?J?

由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動，則a1?a2?r??a1?a2?AfT1a1T2?m1gBm2ga2m2g?m1gsin???m1gcos?2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?(sin???cos?)m1gJr2T1?2m1?m2?Jrm1m2g(1?sin???cos?)?m2gJr2T2?m1?m2?Jr23－7如此題圖所示，質(zhì)量為M長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn)o的水平軸轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖示，若M=6m，求質(zhì)點(diǎn)與桿分別作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。

3

解：（1）質(zhì)點(diǎn)與桿完全彈性碰撞，則能量守恒

12112mv?J?2?mv1222oMmv習(xí)題3-7圖

又由于角動量守恒Lmv?Lmv1?J?

12且J?ML，M?6m

32v???

3L(2)完全非彈性碰撞，角動量守恒Lmv?Lmv2?J?又v2??L???Lv3L3－8一半徑為R、質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤，以角速度ω繞其中心軸轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為μ。（1）求圓盤所受的摩擦力矩。（2）問經(jīng)過多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能中止？解：（1）如圖，在圓盤上距盤心r處取寬度為dr的圓環(huán)為微元，該圓環(huán)所受的摩擦力與半

???徑垂直，所以摩擦力矩dM?r?df沿轉(zhuǎn)動軸方向，且

dM?rdf?r?(dm)g

Rdrr?dfm?r?(2?rdr)g

?R2?M?dM

?2?mgR2rdr2?0R2??mgR

312（2）圓盤角動量J?mR

2d?轉(zhuǎn)動定理M??J???J

dtMt?0????J??t?J?3?R?M4?g3－9一質(zhì)量為M，半徑為R，并以角速度ω旋轉(zhuǎn)著的飛輪(可看做均質(zhì)圓盤)，在某一

瞬間突然有一質(zhì)量為m的碎片從輪的邊緣飛出，如此題圖所示。假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上，求：(1)碎片所能上升的高度；(2)余下部分的角動量。

4

解：（1）碎塊拋出時的初速度為v0??R

2v0?2R2?豎直上拋能達(dá)到的高度h?2g2g（2）圓盤裂開過程中角動量守恒，設(shè)裂開前圓盤角動量為L0，碎塊角動量為L?，余下部分角動量為L，則L?L0?L?。

習(xí)題3－9圖

L0?J??1MR2?2L??mR2?

1?L?(M?m)R2?

23－10如此題圖所示，半徑分別為r1、r2的兩個薄傘形輪I和Ⅱ，它們各自對通過盤心且垂直盤面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J1和J2。開始時輪Ⅰ以角速度ω0轉(zhuǎn)動，問與輪Ⅱ成正交嚙合后，兩輪的角速度分別為多大？

解：設(shè)相互作用力為F，嚙合時間為?t，根據(jù)角動量定理有?Fr1?t?J1(?1??0)Fr2?t?J2?2

嚙合后兩輪具有一致的線速度，即r1?1?r2?2

J1?0r1r2J1?0r22????1?，22222J1r2?J2r1J1r2?J2r1習(xí)題3－10圖

3－11一質(zhì)量為20.0kg的小孩，站在一半徑為3.0m、轉(zhuǎn)動慣量為450kg·m2的靜止水平

轉(zhuǎn)臺的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺可繞通過轉(zhuǎn)臺中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺與軸間的摩擦不計(jì)。假使此小孩相對轉(zhuǎn)臺以1.0m/s的速率沿轉(zhuǎn)臺邊緣行走，