晶格振動(dòng)和晶體的熱力學(xué)性質(zhì)

晶格振動(dòng)和晶體的熱力學(xué)性質(zhì)第1頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第三章晶格振動(dòng)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)在前兩章的討論中,把晶體中的原子視為固定不動(dòng).實(shí)際晶體中的原子、分子都在其平衡位置做微振動(dòng).0K下仍有振動(dòng),零點(diǎn)能.

格波---由于晶體原子間的相互作用,原子的振動(dòng)不是孤立的,而是以波的形式在晶體中傳播,形成所謂的格波.晶格振動(dòng)---晶體可視為一個(gè)相互耦合的振動(dòng)系統(tǒng)，這種運(yùn)動(dòng)就稱為晶格振動(dòng).類比于繩波第2頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格振動(dòng)是原子的熱運(yùn)動(dòng),對(duì)晶體熱學(xué)性能起主要貢獻(xiàn).與比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等晶格振動(dòng)是個(gè)很復(fù)雜問(wèn)題，任何一個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)都會(huì)涉及到大量原子的運(yùn)動(dòng).牽一發(fā)而動(dòng)全身所以,在處理過(guò)程中只能采取一些近似模型.先考慮一維情況，再推廣到三維情況。---簡(jiǎn)諧近似第3頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1一維單原子鏈3.1.1運(yùn)動(dòng)方程考慮由N個(gè)相同的原子組成的一維晶格,原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m.

用xn表示序號(hào)為n的原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移，那么

表示在t時(shí)刻第n個(gè)和第n-1個(gè)原子的相對(duì)位移.

xn-2xn-1

xnxn+1

xn+2第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子a第n+2個(gè)原子第4頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五設(shè)平衡時(shí)兩個(gè)原子間的互作用勢(shì)能為，則產(chǎn)生相對(duì)位移后,相互作用勢(shì)能變成.將在平衡位置作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)上式第一項(xiàng)為常數(shù).

第二項(xiàng)為零(平衡時(shí)勢(shì)能取極小值,f=0).當(dāng)很小,即振動(dòng)很微弱時(shí),可保留到第三項(xiàng).則恢復(fù)力為稱為恢復(fù)力常數(shù)---可見(jiàn)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)---簡(jiǎn)諧近似第5頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

xn-2xn-1

xnxn+1

xn+2第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子a第n+2個(gè)原子只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等,第n個(gè)原子受到的力為第6頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為對(duì)于每個(gè)原子都有一個(gè)這樣類似的方程,3.1.2格波頻率與波矢的關(guān)系以上方程組解的形式為A為振幅

為圓頻率q為波矢方程數(shù)目和原子數(shù)目相同.簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程的解位相因子波矢第7頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五如果第個(gè)原子和第n個(gè)原子的位相差為的整數(shù)倍,即s為整數(shù)這表明第個(gè)原子和第n個(gè)原子的距離為的整數(shù)倍時(shí),原子因振動(dòng)產(chǎn)生的位移相等.晶格中原子振動(dòng)是以角頻率為的平面波形式存在，波長(zhǎng)這種波稱為格波.第8頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五格波的意義連續(xù)介質(zhì)中的機(jī)械波格波方程晶體中的格波——格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式第9頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1.3晶格振動(dòng)的色散關(guān)系將代入得第10頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五幾列波在媒質(zhì)中傳播，它們的頻率不同，傳播速度亦不同，這種現(xiàn)象叫色散.---色散關(guān)系由色散關(guān)系式可畫(huà)圖如下:

0m

q第11頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

0m

q(1)偶函數(shù)(2)周期函數(shù)注:(3)幾個(gè)特殊點(diǎn)常放在一個(gè)周期中研究(4)波速格波的(相)速度不再是常數(shù) (與機(jī)械波不同)由于原子的不連續(xù)性.第12頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

0m

q長(zhǎng)波近似

頻率與波矢為線性關(guān)系.常數(shù)有連續(xù)介質(zhì)中彈性波的特性第13頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五連續(xù)介質(zhì)中彈性波的特性在長(zhǎng)波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)()，格波可視為彈性波。Y--彈性模量

–介質(zhì)密度其波速為聲速,故單原子鏈中傳播的長(zhǎng)格波叫聲波.長(zhǎng)波近似下格波機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中傳播形成的波稱為彈性波

第14頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.1.4周期邊界條件前面所得的運(yùn)動(dòng)方程只適用于無(wú)限單原子鏈的情況,但實(shí)際上晶體是有限大的，邊界上（兩端）的原子所受到的作用與內(nèi)部原子不同，其運(yùn)動(dòng)方程式應(yīng)有不同，使問(wèn)題變復(fù)雜.為解決這一問(wèn)題，需要引入玻恩–馮.卡門(mén)邊界條件.

N個(gè)原子頭尾相接形成環(huán)鏈,這時(shí)每個(gè)原子都是等價(jià)的.則所以第15頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五晶格振動(dòng)波矢只能取分立的值,即是量子化的.(共N個(gè)值)波矢

也只能取N個(gè)不同的值,波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目為了保證xn的單值性,限制q在一個(gè)周期內(nèi)取值即,N個(gè)獨(dú)立的格波，也即N個(gè)不同頻率,或者說(shuō)有N個(gè)獨(dú)立的振動(dòng)模式(簡(jiǎn)振模)第16頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2一維雙原子鏈3.2.1運(yùn)動(dòng)方程大多數(shù)晶體的晶胞中都包含不止一種原子,這就是復(fù)式格子.最簡(jiǎn)單的復(fù)式格子為一維雙原子鏈.考慮兩種不同原子所構(gòu)成的一維無(wú)限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。2n2n-12n+12n+22n-2

mM(晶格常量為2a)質(zhì)量為M的原子編號(hào)為2n-2、2n、2n+2、···

質(zhì)量為m的原子編號(hào)為2n-1、2n+1、2n+3、···

第17頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五x2n

x2n-1

x2n+1

x2n+2

x2n-2

類似與求解一維單原子鏈的運(yùn)動(dòng)方程,可得

即認(rèn)為同種原子的振幅相同，只有位相上存在差別(2nq)，不同原子的振幅可以不同.第18頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.2.2色散關(guān)系將解代入第19頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程欲使A，B有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即:推導(dǎo)略第20頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五---光學(xué)支格波---聲學(xué)支格波(1)偶函數(shù)(2)周期函數(shù)注:在一個(gè)周期內(nèi)折合質(zhì)量AcousticsOptics第21頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五在長(zhǎng)波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似,所以我們稱之為聲學(xué)波.聲學(xué)波當(dāng)波矢時(shí),推導(dǎo)略級(jí)數(shù)展開(kāi)第22頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五相鄰原子的振幅之比對(duì)于聲學(xué)支格波:聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的.由右圖可知所以第23頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五當(dāng)波矢時(shí),長(zhǎng)聲學(xué)波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng).因此，可以說(shuō)，長(zhǎng)聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng).第24頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五所以光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的.當(dāng)波矢時(shí),對(duì)于光學(xué)支格波:第25頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

長(zhǎng)光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng).所以定性地說(shuō)，長(zhǎng)光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng).

光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的.

聲學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相同的.1第26頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五為了保證xn的單值性,限制q在一個(gè)周期內(nèi)取值3.2.3周期邊界條件由玻恩---卡門(mén)邊界條件，設(shè)晶體有N個(gè)原胞，則：有(共有N個(gè)值)

由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動(dòng)模式)數(shù)目為2N。第27頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一維雙原子鏈，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，晶體的自由度數(shù)是2N.晶格振動(dòng)的波矢數(shù)=晶體的原胞數(shù)晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)的自由度數(shù)晶格振動(dòng)頻率(振動(dòng)模式)數(shù)=晶體的自由度數(shù)上述結(jié)論可以推廣到m維(如二維或三維)復(fù)式晶格情況.如果一個(gè)m維復(fù)式晶格原胞數(shù)為N,每個(gè)原胞含n個(gè)不等效的原子,則:晶格振動(dòng)的波矢數(shù)=N

晶體中格波的支數(shù)=nm，m(聲學(xué)支)+m(n-1)

(光學(xué)支)晶格振動(dòng)頻率(振動(dòng)模式)數(shù)=nmN第28頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五2n2n-12n+12n+22n-21mM兩種不同原子所構(gòu)成的一維無(wú)限長(zhǎng)原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。設(shè)晶格常數(shù)為a,相鄰兩個(gè)原子之間的距離為b,恢復(fù)力系數(shù)為交替等于1和2.試找出色散關(guān)系.ab思考題:2第29頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第30頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五整理得欲使A，B有非零解，其系數(shù)行列式應(yīng)為零，即:解得第31頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3晶格振動(dòng)的量子化和聲子在簡(jiǎn)諧近似下，晶體中存在3pN個(gè)獨(dú)立的簡(jiǎn)諧格波，晶體中任一原子的實(shí)際振動(dòng)狀態(tài)由這3pN個(gè)簡(jiǎn)諧格波共同決定.晶格振動(dòng)的系統(tǒng)能量是否可表示成3pN個(gè)獨(dú)立諧振子能量之和嗎？3.3.1格波的量子理論首先以單原子為例波矢為q的格波引起的第n個(gè)原子的位移為格波不同引起的原子位移一般也不同第32頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第n個(gè)原子的總位移應(yīng)為所有格波引起位移的迭加將和Aq寫(xiě)在同一表達(dá)式中其中按經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為動(dòng)能和勢(shì)能之和包含交叉項(xiàng)第33頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五這對(duì)建立物理模型和數(shù)學(xué)處理都帶來(lái)困難.用坐標(biāo)變換的方法消去交叉項(xiàng),即將本來(lái)存在相互耦合的原子振動(dòng)轉(zhuǎn)換成在另一坐標(biāo)體系中相互獨(dú)立的諧振子.簡(jiǎn)正變換:上式實(shí)際上是代表在q空間的傅里葉變換.推導(dǎo)略式中稱為簡(jiǎn)正坐標(biāo).

第34頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五廣義動(dòng)量經(jīng)典諧振子能量簡(jiǎn)正坐標(biāo)由N個(gè)原子組成的一維晶體，其晶格振動(dòng)能量可看成N個(gè)諧振子的能量之和.廣義坐標(biāo)第35頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五按照量子力學(xué)，獨(dú)立的簡(jiǎn)諧振子的能量所以一維晶格振動(dòng)的總能量晶格振動(dòng)的能量是量子化的，能量的增減以計(jì)量.當(dāng)n=0時(shí)---零點(diǎn)能上述方法可以推廣到三維晶格,設(shè)每個(gè)原胞中含p個(gè)原子第36頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.3.2聲子光子1905年愛(ài)因斯坦在研究光電效應(yīng)時(shí)提出光子的概念.光是運(yùn)動(dòng)著的粒子流→光子每個(gè)光子的能量為對(duì)照光子的概念,我們將格波的能量量子稱為聲子.注:(1)聲子是準(zhǔn)粒子.光子是真實(shí)粒子,可在真空中存在.聲子是人們?yōu)榱烁美斫夂吞幚砭Ц窦w振動(dòng)而設(shè)想的一種粒子,不能游離于固體之外.第37頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(2)聲子自身不攜帶動(dòng)量,具有準(zhǔn)動(dòng)量.各種微觀粒子(電子、光子等)與晶格的相互作用,可以看成這些粒子與能量為,動(dòng)量為的粒子相互作用.服從能量守恒和動(dòng)量守恒熱傳導(dǎo)---聲子的擴(kuò)散實(shí)例:熱阻---聲子被散射一維單原子鏈為例:推導(dǎo)第38頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五(3)聲子具有等價(jià)性.當(dāng)q增加一個(gè)周期時(shí)不變即具有相同的性質(zhì).(4)聲子是玻色子.各個(gè)格波可能具有不同的聲子數(shù)，在一定溫度的熱平衡態(tài)，頻率為的格波的平均聲子數(shù)服從玻色—愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)推導(dǎo)略對(duì)于頻率為的格波，忽略零點(diǎn)能情況下，其能量為其能量恰為ni個(gè)聲子所攜帶第39頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.4晶格的比熱固體的定容熱容E—固體的平均內(nèi)能按照經(jīng)典能量均分理論,每個(gè)自由度的平均能量---能均定理N個(gè)原子三維運(yùn)動(dòng)的晶體，總能量第40頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五熱容是一個(gè)與溫度和材料無(wú)關(guān)的常數(shù).---杜?。晏娑蓪?shí)驗(yàn)表明在低溫時(shí)熱容量隨溫度迅速趨于零!3.4.1比熱的量子理論根據(jù)量子理論,在簡(jiǎn)諧近似下,晶體的能量為第41頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五熱容與晶格振動(dòng)頻率和溫度都有關(guān)

高溫極限忽略－－－與杜?。晏娑上喾?2頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五低溫極限與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符頻率的計(jì)算比較復(fù)雜,在一般討論中，常用愛(ài)因斯坦模型和德拜模型.關(guān)鍵第43頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.4.2愛(ài)因斯坦模型1907年愛(ài)因斯坦采用了非常簡(jiǎn)單的假設(shè)：假設(shè)晶體中的原子振動(dòng)是相互獨(dú)立的，所有原子都具有同一頻率0.

---愛(ài)因斯坦熱容函數(shù)第44頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五令---愛(ài)因斯坦溫度溫度較高時(shí)

——與杜隆—珀替定律相符溫度非常低時(shí)第45頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五——按溫度的指數(shù)形式降低這是經(jīng)典理論所不能得到的結(jié)果，解決了長(zhǎng)期以來(lái)困擾物理學(xué)的一個(gè)疑難問(wèn)題.

金剛石的熱容實(shí)驗(yàn)表明:溫度很低時(shí)---愛(ài)因斯坦模型過(guò)于簡(jiǎn)單,忽略了各格波之間的頻率差別.紅外光頻率

低溫下,晶體熱容主要由頻率較低的聲學(xué)支格波決定,而愛(ài)因斯坦模型只考慮了光學(xué)支格波對(duì)熱容的貢獻(xiàn).第46頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五頻率為的格波地平均熱振動(dòng)能：

格波的振動(dòng)能與頻率的關(guān)系曲線

1、頻率越高，其熱振動(dòng)能越小2、當(dāng)溫度很低時(shí)，低頻格波的振動(dòng)能占整個(gè)晶格振動(dòng)能的９９％以上說(shuō)明，要在甚低溫下使理論與實(shí)驗(yàn)相符，應(yīng)主要考慮長(zhǎng)聲學(xué)格波的貢獻(xiàn)。第47頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.4.3德拜模型德拜于1912年提出了另一個(gè)簡(jiǎn)化模型,考慮了格波的的頻率分布.

(1)把晶體視為連續(xù)介質(zhì),即把格波看作是彈性波.(2)假定橫波和縱波的波速相等.低溫時(shí)，只有長(zhǎng)聲學(xué)波被激發(fā)，對(duì)比熱容產(chǎn)生影響，所以實(shí)際上，德拜模型考慮的正是長(zhǎng)聲學(xué)波對(duì)比熱的影響.

基本思想:q空間一維單原子鏈第48頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五把q看作空間的矢量,而周期性邊界條件允許的q值表示這個(gè)空間中的點(diǎn)子.o平均每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)的q空間線度推廣到三維情況q的分布密度V是一個(gè)宏觀的體積，允許的q值在q空間十分密集，可以看作是準(zhǔn)連續(xù)的.在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目第49頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五---單位體積的固體中,頻率在到間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)目.態(tài)密度(頻譜密度)q是準(zhǔn)連續(xù)的,所以頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的.為最大截至頻率在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目第50頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五頻率在之間，振動(dòng)模式數(shù)目考慮到三維情況下有三支聲學(xué)支格波代入熱容公式最大截至頻率的計(jì)算可得第51頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五令---德拜溫度---德拜熱容函數(shù)在高溫極限下第52頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五——與杜?。晏娑梢恢碌蜏貥O限推導(dǎo)略——T3成正比銅熱容的熱容的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和德拜理論值的比較的測(cè)定方法:(a)實(shí)驗(yàn)測(cè)定聲速(b)實(shí)驗(yàn)測(cè)定比熱,由比熱公式反代出.第53頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五德拜模型的缺陷：（2）德拜溫度隨溫度稍有變化（1）實(shí)驗(yàn)和理論不一致原因：（1）忽略了晶體的各向異性（2）忽略了光學(xué)波和高頻聲學(xué)波對(duì)熱容的貢獻(xiàn)第54頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五思考題:求由N個(gè)相同原子組成的一維單原子晶格格波的頻譜分布函數(shù).o平均每個(gè)點(diǎn)子占據(jù)的q空間線度q的分布密度解:那么在dq間隔內(nèi)可以有不同的q值,即有不同的振動(dòng)狀態(tài).第55頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

0q那么在d間隔內(nèi)可以有個(gè)不同的振動(dòng)模式根據(jù)頻譜密度的定義:由一維單原子鏈的色散關(guān)系因?yàn)榈?6頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三維情況在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目考慮到三維情況下有三支聲學(xué)支格波第57頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二維情況在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目在體積元dq中的振動(dòng)數(shù)目考慮到三維情況下有二支聲學(xué)支格波第58頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五附加作業(yè):附加一設(shè)三維晶格一支光學(xué)波在q=0附近,色散關(guān)系為試證明長(zhǎng)光學(xué)波的頻譜密度第59頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五附加二設(shè)有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一價(jià)正負(fù)離子構(gòu)成的一維晶格,正負(fù)離子間距為a,正負(fù)離子的質(zhì)量分別為m+和m_,近鄰兩離子的相互作用勢(shì)為式中e為電子電荷,b和n為參量常數(shù),求(1)參數(shù)b與e,n與a為關(guān)系(2)恢復(fù)力系數(shù)(3)q=0時(shí)的光學(xué)波的頻率(4)長(zhǎng)聲學(xué)波的速度vA(5)假設(shè)光學(xué)支格波的頻率為一常數(shù),即,對(duì)光學(xué)支格波采用愛(ài)因斯坦近似,對(duì)聲學(xué)支格波采用德拜近似,求晶格熱容.第60頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.5非諧效應(yīng)3.5.2非諧效應(yīng)與熱傳導(dǎo)簡(jiǎn)諧近似下，各種格波是相互獨(dú)立的.各個(gè)諧振子之間沒(méi)有相互作用,沒(méi)有能量交換.聲子之間不會(huì)相互碰撞改變能量.原來(lái)處于非平衡態(tài)的體系不會(huì)變成平衡態(tài),即熱平衡.第61頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五3.5.2非諧效應(yīng)與熱膨脹簡(jiǎn)諧近似下，晶體中兩原子作用勢(shì)函數(shù)－－拋物線型（虛線所示）溫度升高時(shí)，兩原子相對(duì)振幅增大，但平衡位置間的距離，即平均距離不變?nèi)詾閞0故晶體不會(huì)膨脹。第62頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第63頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第64頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五第65頁(yè)，共82頁(yè)，2023年，2月20日，星期五泰勒級(jí)數(shù)如果在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有具有各階導(dǎo)數(shù)