人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章平面解析幾何重點(diǎn)難點(diǎn)解題方法規(guī)律歸納總結(jié)

第二章平面解析幾何

2.1坐標(biāo)法..................................................................2

2.2直線及其方程............................................................6

2.2.1直線的傾斜角與斜率................................................6

2.2.2直線的方程........................................................11

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系...............................................16

2.2.4點(diǎn)到直線的距離...................................................22

2.3圓及其方程.............................................................26

2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.....................................................26

2.3.2圓的一般方程.....................................................30

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系...............................................34

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系.................................................39

2.4曲線與方程.............................................................43

2.5橢圓及其方程...........................................................49

2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................49

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)...................................................54

2.6雙曲線及其方程.........................................................59

2.6.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.................................................59

2.6.2雙曲線的幾何性質(zhì).................................................65

2.7拋物線及其方程.........................................................71

2.7.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.................................................71

2.7.2拋物線的幾何性質(zhì).................................................77

2.8直線與圓錐曲線的位置關(guān)系..............................................83

2.1坐標(biāo)法

1.平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式

如果數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為即A的坐標(biāo)為xi,記作出3),且3(X2),則向量油

的坐標(biāo)為X2—XI,數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式從8=|贏|=改2—刈.如果M(x)是線段

A3的中點(diǎn)，則疝=凝.數(shù)軸上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式》=若契.

思考：數(shù)軸的概念是什么？數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有怎樣的關(guān)系？

［提示］給定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線是數(shù)軸，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一

一^寸應(yīng)的.

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式

A(xi,yi),B(X2,*),-8=(32—尤1,V2—yi),IABI=IA8=、“X2—尸+(y2—yi',

若M(x,y)是線段AB的中點(diǎn)，則啟=凝，則直角坐標(biāo)系內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x=盤芳,

yi+y2

產(chǎn)丁.

2.坐標(biāo)法

通過建立平面直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后通過代數(shù)運(yùn)算等解

決問題的方法稱為坐標(biāo)法.

重點(diǎn)題型一數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)間的關(guān)系

【例1】(1)若點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(—2),N(3)之間，求x的取值范圍；

(2)試確定點(diǎn)A(a),8(份的位置關(guān)系.

［解］(1)由題意可知，點(diǎn)M(—2)位于點(diǎn)M3)的左側(cè),且點(diǎn)P(x)位于點(diǎn)M(—2),

N(3)之間，所以一2<x<3.

(2)確定兩點(diǎn)的位置關(guān)系，需要討論實(shí)數(shù)a,8的大小關(guān)系：當(dāng)a泌時(shí)，點(diǎn)A(a)位

于點(diǎn)8(。)的右側(cè);當(dāng)a<b時(shí)，點(diǎn)A(a)位于點(diǎn)3(b)的左側(cè);當(dāng)a=b時(shí)，點(diǎn)A(a)與點(diǎn)B(b)

重合.

規(guī)最方法、

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以點(diǎn)的坐標(biāo)的大小決定彼此的相互

位置，顯然右邊的點(diǎn)的坐標(biāo)要大于左邊的點(diǎn)的坐標(biāo).

重點(diǎn)題型二數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離

［探究問題］

1.如果兩點(diǎn)的位置不確定，如何求其距離？

［提示］分類討論.

2.向量的長(zhǎng)度及數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系.

［提示］\AB\=d(A,B)=|XB-XA|,

AB=XB-XA.

【例2】已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)分別為一1,3,x.

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B的距離是點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)光.

［思路探究］數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離。點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。數(shù)軸上的基本公式.

［解］由題意知

\PB\=3\PA\,即一一3|=3|%+1|,

則3(x+l)=x—3,①

或3(x+l)=—(x—3).②

解①得x=-3;解②得x=0.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為-3或0.

I■母題探究］

1.本例中若點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離都是2,求點(diǎn)P的坐標(biāo)x,此時(shí)點(diǎn)P與線

段AB有著怎樣的關(guān)系？

［解］由題意知|網(wǎng)=|PB|=2,

f|x+l|=2,.

即(?-解a得x=l.

l|x-3|=2,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,顯然此時(shí)P為線段AB的中點(diǎn).

2.本例中在線段上是否存在點(diǎn)P(x),使得點(diǎn)尸到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離都是3?

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)x；若不存在，請(qǐng)說明理由.

［解］不存在這樣的點(diǎn)P(x).

因?yàn)閐(A,B)=|3+l|=4,要使點(diǎn)P在線段AB上，且d(P,A)=d(P,8)=3,則

d(A,B)=d(P,A)+d(P,B),這是不可能的.

廠......規(guī)法.........................

數(shù)軸上的基本公式應(yīng)用思路與方法

(1)已知向量還，BC,就中的兩個(gè)的坐標(biāo)，求另外一個(gè)的坐標(biāo)時(shí)，使用/=贏+

正求解.

(2)已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)，求向量坐標(biāo)，使用求解.

(3)已知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離時(shí)，使用4(A,8)=|48|=展一必|求解.

重點(diǎn)題型三兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

【例3】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是4—3,1),8(3,-3),C(l,7).

(1)判斷△ABC的形狀；

(2)求△ABC的面積.

［思路探究］(1)先根據(jù)已知條件，畫出草圖，判斷aABC的大致形狀，然后從邊

著手或從角著手確定其形狀.

(2)結(jié)合三角形形狀求解.

［解］(1),,,\AB\=^/(3+3)2+(-3-1)2=2V13,

1AC|=^(1+3)2+(7-1)2=2g,

又|8C］=^(1-3)2+(7+3)2=2^26,

|AB|2+|4C|2=|BQ2且|A陰=-Cl,

...AABC是等腰直角三角形.

(2)AABC的面積SAABC=；|ACHAB|=gx2仃X2g=26.

(-........規(guī)律＜方法.............................

判斷三角形形狀的方法

(1)采用數(shù)形結(jié)合的方法，大致明確三角形的形狀，以確定證明的方向.

(2)利用兩點(diǎn)間的距離公式，分別計(jì)算△ABC三邊的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形邊的長(zhǎng)度

特征，主要考察邊是否相等或是否滿足勾股定理.

重點(diǎn)題型四坐標(biāo)法的應(yīng)用

【例4】如圖所示，四邊形ABC。為等腰梯形，利用坐標(biāo)法證明梯形A3CO的

對(duì)角線|AC1=|BD|.

［證明］建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)A(0,0),3(a,0),C(b,c),則點(diǎn)。的坐標(biāo)是(a一4

c).

/.|AQ=^(Z?-0)2+(C-0)2=A//?24-C2,

\BD\=^J(a—/?—a)2+(c-0)2=^//>2+c2,

故|AC|=|3D|.

廠......規(guī)律c方法.........

利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟

(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；

(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；

(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；

(4)把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.

2.2直線及其方程

2.2.1直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

(1)傾斜角的定義

一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，如果這條直線與X軸相交，將X軸

繞著它們的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為e,則稱e為

這條直線的傾斜角.

(2)當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定該直線的傾斜角為￡.

(3)傾斜角a的范圍為2。，180。).

2.直線的傾斜角與斜率

一般地，如果A(xi,yi),8(X2,竺)是直線上/兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線/的傾斜角為

0,則:

(1)當(dāng)yi=y2時(shí)(止匕時(shí)必有xi#x2),<9=02.

(2)當(dāng)加=X2時(shí)(此時(shí)必有yiW”)，。=暨.

(3)當(dāng)且yiW”時(shí)，tan8=)?

思考1：當(dāng)且yi=y2時(shí)，(3)式中的式子成立嗎？

［提示］成立.

(4)一般地，如果直線/的傾斜角為仇當(dāng)8W90。時(shí)，稱1=tan。為直線/的斜率,

當(dāng)0=90°時(shí),稱直線/的斜率不存在.

(5)若A(xi,yi),Bg,”)是直線/上兩個(gè)不同的點(diǎn)，當(dāng)汨工短時(shí),直線/的斜率

思考2：運(yùn)用⑸中公式計(jì)算直線AB的斜率時(shí)，需要考慮A、8的順序嗎？

［提示］岫=*二上=總4="二坐,所以直線AB的斜率與A、B兩點(diǎn)的順序無關(guān).

X2~XlXI~X2

思考3：直線的斜率與傾斜角是一一對(duì)應(yīng)的嗎？

［提示］不是，當(dāng)傾斜角為90。時(shí)，直線的斜率不存在.

3.直線的方向向量

(1)一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線/平行或重合,則

稱向量a為直線/的一個(gè)方向向量，記作a〃/.

(2)如果。為直線/的一個(gè)方向向量，那么對(duì)于任意的實(shí)數(shù)/IWO,向量〃都是/

的一個(gè)方向向量，而且直線/的任意兩個(gè)方向向量一定共線.

(3)如果A(x\,yi),8(x2,y2)是直線I上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則A8=(X2—xi,y2-yi)

是直線/的一個(gè)方向向量.

思考4：設(shè)/是平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，且傾斜角為45。，你能寫出該直

線的方向向量嗎？

［提示］(1,1).

(4)一般地，如果已知a=(〃，°)是直線/的一個(gè)方向向量，則：

①當(dāng)〃=0時(shí)，顯然直線的斜率不存在，傾斜角為90。.

②當(dāng)“W0時(shí)，直線/的斜率存在，且(1,幻與0=(”，。)都是直線/的方向向量，

由直線的任意兩個(gè)方向向量共線可知lXo=AX“，從而攵=>tan6=>

4.直線的法向量

一般地，如果表示非零向量”的有向線段所在的直線與直線/垂直，則稱向量。

為/的一個(gè)法向量，記作

思考5：如果”=(—1,2)是直線/的一個(gè)方向向量，你能寫出/的一個(gè)法向量嗎？

［提示］(2,1).

重點(diǎn)題型一直線的傾斜角

【例1】設(shè)直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為a,如果將/繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)45。，得到直線人那么/i的傾斜角為()

A.a+45°

B.a-135°

C.135°-a

D.當(dāng)(rWa<135。時(shí)，傾斜角為a+45。；當(dāng)135?；?(<180。時(shí)，傾斜角為a—135。

D［根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示：

因?yàn)?。W。<18()。，顯然A,B,C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖

(如圖所示)可知：

當(dāng)0°<a<135°,/1的傾斜角為a+45°;

當(dāng)135°Wa<180°時(shí)，/i的傾斜角為45°+a—180°=a—135°.故選D.］

1........規(guī)律c方法............................

求直線的傾斜角的方法及兩點(diǎn)注意

(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.

(2)兩點(diǎn)注意：①當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，傾斜角為0。，當(dāng)直線與x軸垂直

時(shí)，傾斜角為90。.②注意直線傾斜角的取值范圍是0?；?/<：180。.

重點(diǎn)題型二直線的斜率

【例2】如圖所示，直線4，/2,/3都經(jīng)過點(diǎn)尸(3,2),又伍/2,/3分別經(jīng)過點(diǎn)

0(—2,-1),Q(4,-2),03(-3,2).

(1)試計(jì)算直線八，/2,/3的斜率；

(2)若還存點(diǎn)。4(&3),試求直線PQ4的斜率.

［思路探究］根據(jù)題意，分清直線過哪兩個(gè)點(diǎn)，然后用斜率公式求解，要注意斜

率不存在的情況.

［解］(1)由已知得，直線/2,/3的斜率都存在.

設(shè)它們的斜率分別為左，依，依.

則由斜率公式得：

二1^=3匕=-2=_4

k\=-2-35'%4-3'

2-2

攵3==0.

-3-3

(2)當(dāng)a=3時(shí)，直線P04與x軸垂直，此時(shí)其斜率不存在.

3-2|

當(dāng)時(shí)，其斜率k=~~-

a—3a—3

1.......■規(guī)法..........................

1.求斜率時(shí)要注意斜率公式的適用范圍，若給出直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，首先要

觀察橫坐標(biāo)是否相同，若相同，則斜率不存在；若不相同，則可使用斜率公式.若給

出兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù)，則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類的依據(jù)便是“兩個(gè)橫

坐標(biāo)是否相等”.

2.由例題中圖可以看出：(1)當(dāng)直線的斜率為正時(shí)(①，直線從左下方向右上方傾

斜；(2)當(dāng)直線的斜率為負(fù)時(shí)(⑨，直線從左上方向右下方傾斜；(3)當(dāng)直線的斜率為0

時(shí)S),直線與九軸平行或重合.

重點(diǎn)題型三斜率公式的應(yīng)用

［探究問題］

1.斜率公式女=坐二也中，分子與分母的順序是否可以互換？yi與"，為與X2的

XI-X\

順序呢？

［提示］斜率公式中分子與分母的順序不可互換，但y\與yi和xi與及可以同時(shí)

互換順序，即斜率公式也可寫為％=力二坐.

X\~X2

2.你能證明&-3,-5),3(1,3),C(5,11)三點(diǎn)在同一條直線上嗎？

［提示］能.因?yàn)?-3,-5),5(1,3),C(5,ll),

3-(—5)11—3

所以zr=2,kBc~-2i-=2,

所以乂B=ABC,且直線AB,有公共點(diǎn)8,

所以A,B,C這三點(diǎn)在同一條直線上.

【例3】已知直線/過點(diǎn)加-1),N(2m,1).

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線/的斜率是1?

(2)當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，直線/的傾斜角為90。？

［思路探究］求直線的斜率=直線的斜率公式.

m-1—13

［解］(1)ZMN=〃,+］_2〃?=1，解得機(jī)=1?

(2)/的傾斜角為90°,即/平行于y軸，所以加+1=2而，得m=1.

［母題探究］

1.本例條件不變，試求直線/的傾斜角為銳角時(shí)實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

［解］由題意知

m—1—1

加+1—2〃？，解得］<m<2.

m—1#1,

2.若將本例中的“N(2陽』)”改為“N(3m,2m)”，其他條件不變，結(jié)果如何？

/72—1—2/71

［解I⑴由題意知機(jī)+L3,〃=1,解得〃?=2.

(2)由題意知〃z+1=3〃z,得〃［=；.

1......規(guī)律c方法......................

直線斜率的計(jì)算方法

(1)判斷兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在.

(2)若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相等，則可以用斜率公式左=￡王(其中的Wx2)進(jìn)行計(jì)算.

重點(diǎn)題型四求直線的方向向量或法向量

【例4】已知直線/通過點(diǎn)4L2)，3(4,5),求直線/的一個(gè)方向向量和法向量,

并確定直線/的斜率與傾斜角.

［解］贏=(4一1,5—2)=(3,3)是直線/的一個(gè)方向向量.由法向量與方向向量垂

直，法向量可以為(-1,1).因此直線的斜率左=1,直線的傾斜角。滿足tan。=1,

從而可知8=45°.

1......規(guī)律(方法.......................

求方向向量和法向量的方法

(1)若A(xi,yi),8(X2,竺)是直線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，則直線/的方向向量為贏=

(X2—xi,直線的法向量和方向向量垂直.

(2)直線的方向向量和法向量不唯一.

2.2.2直線的方程

1.直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程

在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知Po(xo,yo)是直線/上一點(diǎn)及/的斜率信息，就可

以寫出直線/的方程.

(1)如果直線/的斜率不存在，則直線/的方程為x=xo.

(2)直線的點(diǎn)斜式方程：

若直線/的斜率存在且為A,P(x,y)為直線/上不同于Po的點(diǎn)，則直線/的方程

為y-yo=4x—次).由直線上一點(diǎn)和直線斜率確定，通常稱為直線的點(diǎn)斜式方程.

思考1：直線的點(diǎn)斜式方程應(yīng)用范圍是什么？

［提示］直線/的斜率人存在.

(3)直線的斜截式方程

當(dāng)直線/既不是x軸也不是y軸時(shí)，若直線/與x軸的交點(diǎn)為(a,0),則稱/在x

軸上的截距為m與y軸的交點(diǎn)為(0,b),則稱/在y軸上的截距為從如果已知直線

的斜率為鼠截距為4則直線I的方程為y=』+b.由直線的斜率和截距確定，通

常稱為直線斜截式方程.

思考2：直線的斜截式方程應(yīng)用范圍是什么？

［提示］直線既不與無軸重合也不與y軸重合.

2.直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程

y—y?x—X|

(1)直線/上兩點(diǎn)A(xi,yi),8(x2,>2),當(dāng)EWXI,"Wyi時(shí)，則H1三:稱

為直線的兩點(diǎn)式方程.

(2)若直線/在x軸，y軸上的截距分別為a,b,且必W0,則方程彳+方=1稱為

直線的截距式方程.

思考3：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程的應(yīng)用范圍分別是什么？

［提示］兩點(diǎn)式表示的直線/不與坐標(biāo)軸平行或重合，截距式表示的直線/不與

坐標(biāo)軸平行或重合，且不過原點(diǎn).

3.直線的一般式方程

直線的一般式方程為Ac+By+C=0(A2+BM0).

重點(diǎn)題型一求直線的點(diǎn)斜式方程

［例I］寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程.

(1)經(jīng)過點(diǎn)Q,5),傾斜角為45。；

(2)直線y=x+l繞著其上一點(diǎn)尸(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得直線I,求直線I的點(diǎn)斜

式方程；

(3)經(jīng)過點(diǎn)。(一1,-1),且與x軸平行；

(4)經(jīng)過點(diǎn)。(1,1),且與x軸垂直.

［解］(1)因?yàn)閮A斜角為45。，

所以斜率々=tan45°=1,

所以直線的方程為y—5=x—2.

(2)直線y=x+l的斜率％=1,所以傾斜角為45。.

由題意知，直線/的傾斜角為135。，

所以直線/的斜率/=tan135°=—1.

所以直線的方程為y—4=—(x—3).

(3)由題意知,直線的斜率A=tan0。=0,

所以直線的點(diǎn)斜式方程為y—(—1)=0,即y=-1.

(4)由題意可知直線的斜率不存在，所以直線的方程為x=\,該直線沒有點(diǎn)斜式

方程.

廠......規(guī)律(方法........................

1.求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟：定點(diǎn)(xo,yo)f定斜率左一寫出方程y—yo=4x

-xo).

2.點(diǎn)斜式方程y—yo=Z(x—xo)可表示過點(diǎn)P(xo,yo)的所有直線，但x=xo除外.

重點(diǎn)題型二求直線的斜截式方程

［例2］根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程.

(1)斜率是3,在y軸上的截距是一3.

(2)傾斜角是60。，在y軸上的截距是5.

(3)過點(diǎn)A(—1,-2),8(—2,3).

［思路探究］先求直線的斜率，結(jié)合y軸上的截距可用斜截式方程求解.

［解］(1)由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為y=3x—3.

(2)..?傾斜角是60。，...斜率々=tan6(r=小，由斜截式可得方程)=小%+5.

3+2

(3)斜率為攵==25由點(diǎn)斜式得y—3=-5(x+2),化為斜截式,y=-5x

-7.

廠........規(guī)律(方法...........................

1.用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，要特別注意截距和

距離的區(qū)別.

2.直線的斜截式方程>=履+〃不僅形式簡(jiǎn)單，而且特點(diǎn)明顯，Z是直線的斜率,

。是直線在y軸上的截距，只要確定了人和6的值，直線的圖象就一目了然.因此，

在解決直線的圖象問題時(shí)，常通過把直線方程化為斜截式方程，利用k,b的幾何意

義進(jìn)行判斷.

重點(diǎn)題型三直線的兩點(diǎn)式方程

【例3】在AABC中,A(—3,2),8(5,-4),C(0,一2),

(1)求所在直線的方程；

⑵求8C邊上的中線所在直線的方程.

［思路探究］(1)由兩點(diǎn)式直接求BC所在直線的方程；

(2)先求出的中點(diǎn)，再由兩點(diǎn)式求直線方程.

［解］(l)TBC邊過兩點(diǎn)8(5,-4),C(0,-2),

,由兩點(diǎn)式得」2)1(?4)=泊'

即2x+5y+10=0.

故BC所在直線的方程為2x+5y+10=0.

(2)設(shè)的中點(diǎn)為M(xo,yo),

+

5O-5

]xo-2-牙

3

-2

又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)A(—3,2).

由兩點(diǎn)式得呈x一(-3)

|-(-3)

即10x+lly+8=0.

故邊上的中線所在直線的方程為10x+ll)，+8=0.

廠......規(guī)律為法.............................

1.由兩點(diǎn)式求直線方程的步驟

(1)設(shè)出直線所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)根據(jù)題中的條件，找到有關(guān)方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)由直線的兩點(diǎn)式方程寫出直線的方程.

2.求直線的兩點(diǎn)式方程的策略以及注意點(diǎn)

當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的

適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.

重點(diǎn)題型四直線的一般式方程

［探究問題］

1.平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于尤，y的二元一次方程表示

嗎？為什么？

［提示］都可以，原因如下：

7T

(1)直線和y軸相交于點(diǎn)(0,與時(shí)：此時(shí)傾斜角aW］,直線的斜率攵存在.直線可

表示成可轉(zhuǎn)化為丘+(—l)y+/?=0,這是關(guān)于x,y的二元一次方程.

(2)直線和y軸平行(包含重合)時(shí)：此時(shí)傾斜角。=全直線的斜率左不存在，不能

用表示，而只能表示成x—。=0,它可以認(rèn)為是關(guān)于x,y的二元一次方程，

此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.

2.每一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+3y+C=0(A,8不同時(shí)為零)都能表示

一條直線嗎？為什么？

［提示］能表示一條直線，原因如下：當(dāng)870時(shí)，方程—+8)，+C=0可變形為

y=一%一星它表示過點(diǎn)(0,一斜率為一今的直線.

當(dāng)5=0時(shí)，方程Ax+8)，+C=0變成Ar+C=0.

即％=一亨，它表示與y軸平行或重合的一條直線.

【例4】設(shè)直線/的方程為(a—l)x+y—2—a=0(aWR).若直線/不過第三象

限，則a的取值范圍為.

［思路探究］含有參數(shù)的一般式直線方程問題n化為直線方程的相應(yīng)形式，根據(jù)

實(shí)際情況求解.

［1,+8)［把直線/化成斜截式，得y=(l—a)x+a+2,因?yàn)橹本€/不過第三象

1—aWO,

限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零.即,、

.a十230,

解得所以a的取值范圍為［1,4-0°).］

［母題探究］

1.本例中若將方程改為"x+(a-"Dy—"2—"antXaGR)”,其他條件不變，又如

何求解？

［解］⑴當(dāng)1=0,即a=l時(shí)，直線為x=3,該直線不過第三象限，符合.

(2)當(dāng)〃一170,即時(shí)，直線化為斜截式方程為~~X——因?yàn)橹本€

,1一。1—a

/不過第三象限，故該直線的斜率小于等于零，且直線在y軸上的截距大于等于零.

1

1—a<0,

即彳解得a＞l.由⑴⑵可知a2L

2+a

川,

1~a

2.若本例中的方程不變，當(dāng)。取何值時(shí)，直線不過第二象限？

［解］把直線/化成斜截式，得y=(l—a)x+a+2,因?yàn)橹本€/不過第二象限，故

1—a20,

該直線的斜率大于等于零，且直線在)，軸上的截距小于等于零.即,一解得

.a+2W0,

aW—2.所以a的取值范圍為(一8,-2］.

’.......規(guī)律＜方法..........................

當(dāng)題目給出直線的一般式方程而考查直線經(jīng)過的象限問題時(shí)，可將一般式方程轉(zhuǎn)

化為斜截式方程(但它的參數(shù)要有限制，注意分類討論)，直接研究丁=丘+匕：①上＞0,

/7＞0,經(jīng)過第一、二、三象限；②心＞0,b＜0,經(jīng)過第一、三、四象限；③M0,力＞0,

經(jīng)過第一、二、四象限；④女＜0,b＜Q,經(jīng)過第二、三、四象限.

2.2.3兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線相交、平行與重合的條件

(1)幾何方法判斷

若兩直線的斜率均存在，我們可以利用斜率和在y軸上的截距判斷兩直線的位置

關(guān)系，其方法如下：

設(shè)八：y=k\x-\-b\,h：y=%2%+02,

①/l與/2相交絳；

②ll//，2臺(tái)21=42且b#b2；

③/1與/2重合臺(tái)匕=匕且歷=岳.

(2)向量方法判斷

設(shè)直線/i：Aix+Biy+Ci=0,I2：A2_x+&y+C2=0,

因?yàn)槌?(Al,囪)是直線/1的一個(gè)法向量，V2=(A2,&)是直線〃的一個(gè)法向量.

①與/2相交(即只有一個(gè)交點(diǎn))的充要條件是V!與02不共線，即4&WA2與.

②與/2平行或重合的充要條件是初與。2共線，即4②=431;

/1與/2重合的充要條件是，存在實(shí)數(shù)％使得｛8=犯2,

ICI=AC2.

思考：直線Ax+By+Ci=0與直線A九+分+。2=0,平行的充要條件是什么？重

合呢？

［提示］平行的充要條件是C1WC2,重合的充要條件為。=C2.

2.兩條直線垂直

1\與h的斜率都存在，分別/1與/2中的一條斜率不存在，另

對(duì)應(yīng)關(guān)系為M,kl,則/l_L/2㈡h42三一條斜率為零，則/1與11的位置

-1關(guān)系是/1-L/2

y\12

------------c-----/1

圖不

~~0------

重點(diǎn)題型一兩條直線相交、平行、重合的判定

【例1】已知兩直線/|：x+沖+6=0；/2：(m—2)x+3y+2m=o,當(dāng)m為何值

時(shí)，直線自與加(1)相交；(2)平行；(3)重合.

［思路探究］可嘗試根據(jù)兩直線相交、平行、重合的等價(jià)條件，列出方程求參數(shù)

的值.

［解］,直線/i:x+〃zy+6=0,

直線/2:(/?—2)x++2m=0,

=B\=m,C\—6,Ai—m—2,a=3,Ci—lm.

(1)若/i與6相交，則452-4281W0,即1X3一機(jī)(〃z-2)W0,

即〃於一2加一3W0,即(機(jī)-3)(加+l)W0,即"?W3,且mW—1.

故當(dāng)機(jī)W3,且機(jī)W—1時(shí)，直線/i與人相交.

A\Bi-AiB\=0,

(2)若/1〃/2,則有，

?B1C2—B2clW0,

3—777（m—2）=0,m2—2m-3=0

即1o即I,

[2m2-18^0,〃2/9,

，〃=3或機(jī)=—1,

即＜

[加#3且/〃#—3,

'.m——1.

故當(dāng)m——1時(shí)，直線/i與平行.

A\B2—A2B\=O,

(3)若小與心重合,則有＜

B\CI—B2CI=0,

3—m(/n—2)=0,

即4,

12m2-18=0,

根=3或旭=—1,

,,/.m=3.

.m=3或機(jī)=—3,

故當(dāng)〃z=3時(shí)，直線/i與，2重合.

廠......規(guī)律o方法.............................A

根據(jù)兩直線的位置關(guān)系確定參數(shù)取值時(shí)，因?yàn)樾甭适欠翊嬖诓磺宄?，若使用斜?/p>

判定，兩直線位置關(guān)系需分類討論，但使用直線方程一般式的系數(shù)來判定兩直線的位

置關(guān)系不必討論.因此使用直線方程一般式系數(shù)來判定兩直線位置關(guān)系更簡(jiǎn)便易行.

重點(diǎn)題型二兩條直線垂直的判定

【例2】(1)/1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2),5(3,-1),/2經(jīng)過點(diǎn)N(2,l),判斷4與

上是否垂直；

(2)已知直線/1經(jīng)過點(diǎn)A(3,。)，8(。-2,3),直線/2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3),0(—1,。-2),

若求a的值.

［思路探究］(1)若斜率存在，求出斜率，利用垂直的條件判斷；若一條直線的斜

率不存在，再看另一條的斜率是否為0,若為0,則垂直；

(2)當(dāng)兩直線的斜率都存在時(shí)，由斜率之積等于一1求解；若一條直線的斜率不存

在，由另一條直線的斜率為0求解.

［解］(1)直線的斜率不存在，直線/2的斜率為0,所以

(2)由題意，知/2的斜率攵2一定存在，的斜率可能不存在.

當(dāng)人的斜率不存在時(shí)，3=a—2,即a=5,此時(shí)左2=0,

則/山2,滿足題意.

當(dāng)/i的斜率心存在時(shí)，aW5,

由斜率公式，得

3—a3—aa-2—3丁一5

ki=a-2-3='^5,fo=-1-2

由/i±/2,知k\k2=~l,

,3~a/a-5、_

即--X--=-1,解得a=0.

a—51—3)

綜上所述，a的值為0或5.

廠.......規(guī)律c方法.........................

利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法

(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在；

再看另一條直線的兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進(jìn)行第二

步.

(2)二代：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式.

(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷.尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率

公式要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

提醒：若已知點(diǎn)的坐標(biāo)含有參數(shù)，利用兩直線的垂直關(guān)系求參數(shù)值時(shí)，要注意討

論斜率不存在的情況.

重點(diǎn)題型三直線平行與垂直的綜合應(yīng)用

［探究問題］

1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)4(5,-1),C(2,3),你能判斷△ABC的

形狀嗎？

［提示］如圖，A3邊所在的直線的斜率3，8c邊所在直線的斜率加c=

2.由MBMBC=-1,得ABLBC,即NABC=90°.

△ABC是以點(diǎn)3為直角頂點(diǎn)的直角三痢形.

/I

2.若已知直角三角形A8C的頂點(diǎn)A(5,-1),C(2,m),你能求出現(xiàn)的

值嗎？

[提示]若NA為直角，則ACJ_AB,

/??+11+1_

所以liACkAB=-1,即.[$=-1,1(寸"2=-7；

若為直角，則AB_LBC,所以kAB-kf)c=-l,

1+1/72-1

即■；~~付〃?=

1—57-72-—71=—1,3;

若NC為直角，則ACLBC,所以MCMBC=-1,

_m+1m-12

印^7=-],付m=i2.

2—52—1

綜上可知，加=—7或機(jī)=3或機(jī)=±2.

【例3】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OPQA的頂點(diǎn)坐標(biāo)按逆時(shí)針

順序依次為。(0,0),P(l,t),Q(l-2t,2+t),R(~2t,2),其中>0.試判斷四

邊形OPQR的形狀.

［思路探究］利用直線方程的系數(shù)關(guān)系，或兩直線間的斜率關(guān)系，判斷兩直線的

位置關(guān)系.

t—0

［解］由斜率公式得kop=1_0=/,

2-(2+Q-t2-0j_

kQK=-2r-(l-2r)=^I=tjkoK=

2It_{2?

-

kpQ=_2/._j7-所以kop=kQR,koR=kpQ,從而。尸〃QR,OR//PQ.

所以四邊形OPQR為平行四邊形.

又kop-koR=—1,所以O(shè)P_LOR,

故四邊形OPQR為矩形.

［母題探究］

1.將本例中的四個(gè)點(diǎn)，改為“(-4,3),8(2,5),C(6,3),0(-3,0),順次連

接A,B,C,。四點(diǎn)，試判斷四邊形ABC。的形狀."

［解］由題意A,B,C,。四點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖，

b皿*人*、-r或/5-310~310~3

由科率■公式可行ZAB一。八一2,kcD—J-AKAD一々八一一3,KBC

2—(z—4)3—Q5—b3-3—(z-4)

3-5j_

=6^2=-2-

所以kAB=kcD,由圖可知A3與CO不重合，所以AB〃CD,由ZAOWABC,所以

A。與不平行.

又因?yàn)閗AB-kAD=^X(―3)=—1,

所以ABLAO,故四邊形ABC。為直角梯形.

2.將本例改為“已知矩形。P0R中按逆時(shí)針順序依次為。(0,0),P(l,t),2(1

-2r,2+r),試求頂點(diǎn)R的坐標(biāo).”

［解］因?yàn)镺PQ/?為矩形，所以O(shè)Q的中點(diǎn)也是PR的中點(diǎn)，設(shè)砥龍，y),

‘0+1—2/1+x

2=2'

則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知〈,,

0+2+ft+y

、-2-=三，

x=-2t,

解得：'所以R點(diǎn)的坐標(biāo)是(一27,2).

lj=2.

1........規(guī)律(方法..........................

1.利用兩條直線平行或垂直判定幾何圖形的形狀的步驟

2.判定幾何圖形形狀的注意點(diǎn)

(1)在頂點(diǎn)確定的前提下，判定幾何圖形的形狀時(shí)，要先畫圖，猜測(cè)其形狀，以

明確證明的目標(biāo).

(2)證明兩直線平行時(shí)，僅僅有kl=k2是不夠的,還要注意排除兩直線重合的情

況.

(3)判斷四邊形形狀，要依據(jù)四邊形的特點(diǎn)，并且不會(huì)產(chǎn)生其他的情況.

2.2.4點(diǎn)到直線的距離

1.點(diǎn)到直線的距離

(1)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離，等于過這個(gè)點(diǎn)作直線的垂線所得垂線段的長(zhǎng)度.

⑵點(diǎn)P(xo,yo)到直線/：Ax+By+C=0的距離

思考：點(diǎn)P(xo,沖)到直線/|：%=尤1的距離是多少？點(diǎn)P(xo,yo)到直線/2：y=yi

的距離為多少？

［提示］bo—xi|:伙)—yi|.

2.兩條平行直線之間的距離

(1)兩條平行線之間的距離，等于其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.

(2)兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

(3)兩條平行直線/i：Ax+By+C\=0與b：Ar+fiy+C2=0之間的距離d=

\/A2+B2'

重點(diǎn)題型一點(diǎn)到直線的距離

【例1】求過點(diǎn)M-2,1)且與A(—1,2),8(3,0)兩點(diǎn)距離相等的直線的方程.

［解］當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為尤=-2,它到A、8的距離不相等，故可

設(shè)直線方程為y—l=A(x+2),即依一y+2A+l=0.

|T—2+2Z+l|"+23+1］

+ig-+i，

解得Z=0或k=—^.

所求直線方程為)=1或x+2y=0.

廠......規(guī)律(方法.......................

點(diǎn)到直線的距離的求解方法

(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點(diǎn)到直線

的距離公式求解即可.

(2)對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x=a或>=乩求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，既可

以用點(diǎn)到直線的距離公式，也可以直接寫成4=|xo-a|或d=\yo~b\.

(3)若已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解

參數(shù)即可.

重點(diǎn)題型二兩條平行線間的距離

【例2】已知直線/i：2x-7>—8=0,/2：6%—2叮-21=0,人與，2是否平行？

若平行，求人與，2間的距離.

［解］/1的斜率為左=1,/2的斜率％2=5=/

因?yàn)椋?依，且/I與/2不重合，所以h〃b,

/2的方程可化為2x-7y-7=0,

|-8+7|_1V53

所以1\與/2間的距離為d=

留+72—小553,

廠.......規(guī)律(方法..........................

求兩平行線間距離一般有兩種方法

(1)轉(zhuǎn)化法：將兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線

的距離.由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān)，因此，選點(diǎn)時(shí)，常選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如直線

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，以便于運(yùn)算.

IC1-C2I

(2)公式法：直接用公式d=但要注意兩直線方程中x,y的系數(shù)必須分

-\/A2+B2

別相同.

重點(diǎn)題型三距離公式的綜合應(yīng)用

［探究問題］

1.兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和8(—3,-1),并且各自繞著A,B旋

轉(zhuǎn)，如果兩條平行直線間的距離為4.你能求出d的取值范圍嗎？

［提示］如圖,

顯然有

而|AB|=

.(6+3)2+(2+1)2

=3A/10.

故所求的d的變化范圍為(0,3，而］.

2.上述問題中，當(dāng)d取最大值時(shí)，請(qǐng)求出兩條直線的方程.

［提示］由上圖可知，當(dāng)d取最大值時(shí)，兩直線與垂直.

而瘀=6—(一3)=?

所求直線的斜率為-3.

故所求的直線方程分別為

y—2=-3(x-6)和y+l=-3(x+3),

即3x+y—20=0和3x+y+10=0.

【例3】在直線/：3x—y—l=O上求一點(diǎn)P,使得「到