§2直紋面與可展曲面

作者：王幼寧作者：王幼寧--#-第三章曲面的第一基本形式§2直紋面與可展曲面從解析幾何中已經知道，直紋面是一類特殊的曲面，它可以由一族直線“織成”，即：過曲面上每一點都存在過該點的直線落在該曲面上．將直紋面參數(shù)化，可以較為方便和深入地討論其幾何屬性；同時，作為其特殊類別，可展曲面的一些特征將得到揭示．一．直紋面及其上的參數(shù)變換如果直紋面S能夠被局部正則參數(shù)化，那么，在其上取一條直紋以及垂直于該直紋的一條正則曲線CuS，則經過曲線C的直紋全體構成了直紋面S的一部分．因此，當討論局部性質時，直紋面S通常被視為由一個單參數(shù)直線族而構成，族中直線稱為直紋面的直紋或(直)母線；該族直紋總經過一條參數(shù)曲線——準線(該曲線不一定要求正則)．直紋的位置和直紋上的點的相對位置，將給出直紋面S的下列自然參數(shù)化S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)，其中準線為連續(xù)可微參數(shù)曲線C:r*=a(u)，過準線上點a(u)處的直紋方向確定為向量l(u)，且l(u)連續(xù)可微．此時，ru=a'(u)+vl(u)，rv=l(u)，ruxrv=[a'(u)+vP(u)]xl(u)=a，(u)xl(u)+vP(u)xl(u).由此可確定正則條件．其中較為簡單的情況是，當準線正則并且不與直紋相切時，直紋面局部為正則參數(shù)化；對照熟知的圓柱面、圓錐面等等，可以直觀考慮正則性條件．下面一組例子介紹了一些所關心的直紋面．

例1設(2.1)式給出直紋面S的一種參數(shù)化，則可按準線與直紋方向的關系歸為不同的子類．①柱面：各直紋平行.不妨設已經規(guī)范為l(u)三10w0，則正則性條件化為ruxrv=a'(u)x1(u)w0，此即準線不與直紋相切.此時可知，單位法向沿著直紋是常向量，即切平面沿著直紋重合.②錐面：各直紋相交于錐頂點.形象地看，準線可以“收縮”為一點一一錐頂.不妨設已經規(guī)范為a(u)三a0，則正則性條件化為ruxrv=v1'(u)x1(u)w0.故錐頂是奇點；并且，當直紋單位方向向量在單位球面上為正則曲線時，也只有錐頂是奇點.其切平面沿著直紋也重合.③切線面：直母線族是某條準線的切線族，即直母線族有包絡線可作為準線.不妨設已經規(guī)范為a'(u)=1(u)w0，且此時不妨設準線以u為弧長參數(shù)，則正則性條件化為ruxrv=vT(u)xT(u)w0.此時的準線稱為切線面的脊線，其上點點為奇點．當脊線無逗留點時，切線面上除脊線外的各點都是正則點.其切平面沿著直紋也重合.主法線面：直母線族是某條準線的主法線族，其中準線無逗留點．可類似討論．從法線面：直母線族是某條準線的從法線族，其中準線無逗留點.也可類似討論. 口

y圖3-9例2垂直相交于旋轉軸并勻速轉動的直線，同時沿著旋轉軸方向勻速直線運動，所構成的直紋面稱為正螺旋面或正螺面；其準線可取為旋轉軸.取常數(shù)b豐0,正螺面y圖3-9r(u,v)=(0,0,bu)+v(cosu,sinu,0)=(vcosu,vsinu,bu),直接計算可得ru*rv=(-bsinu，bcosu，-V"0?故此，此正螺面為正則曲面.z軸上的點對應于參數(shù)值v=0，相應單位法向垂直于z軸；既得，旋轉軸上各點處的切平面公交于旋轉軸. 口例3Mobius帶是一種曲面的模型，可以用矩形紙條擰180。后粘合一組對邊而構成．它可以如下參數(shù)化為直紋面：準線取為單位圓周，直母線沿準線移動時垂直于準線轉動，并且轉動角速率是準線動點移動角速率的一半．光滑的參數(shù)方程可寫為u u ur(u,v)=(cosu,sinu,0)+v(sincosu,sin工sinu,cos了)=((1+vsin號)cosu,(1+vsinu)sinu,vcos它是參數(shù)u的4汽周期函數(shù)，但曲面關于參數(shù)u以2汽為封閉周期.直接計算可得, , v2?ru*rvI2=(1+vsin+了〉0?由此可知曲面正則．若限制參數(shù)?v?<4,則曲面實體是“簡單”的(定義詳見第八章)；此時，曲面只有一個“面”和一條“邊”．易知單位法向n關于參 圖3-10數(shù)u以4汽為周期，并且對應于曲面實體的同一個點有n(2汽+u,v)=-n(u,v).這說明Mobius帶實體無所謂“正”的定向. 口

注意，直紋面按照準線和直母線族的自然參數(shù)化，只是其參數(shù)化的特定形式(參見習題4)．這種參數(shù)化具有明顯的幾何直觀，在分析其幾何性質的過程中具有直觀優(yōu)勢，因而得到特別注意．為了使相關分析和運算更為簡便，往往需要根據具體情況選取特定的準線和直紋方向向量．準線的轉換以及直紋方向向量長度的轉換，在自然參數(shù)化下，就等價于適當?shù)膮?shù)變換；當然這是一種具有幾何意義的參數(shù)變換．下面將一般性地考察直紋面的這種參數(shù)變換．設直紋面S的自然參數(shù)化由(2.1)-(2.2)式給出．作直母線方向向量的“伸縮”變換和準線變換分別為l*(u)=Mu)l(u),Mu)w0，a*(u)=a(u)+Mu)l(u),其中變換系數(shù)函數(shù)Mu)和Mu)都是連續(xù)可微的．則有r=r(u,v)=a(u)+vl(u)=a*(u)+[v一^(u)]l(u)v-u(u .=a*(u)+l器 I*(u).令u*=u{*_[v-Mu)],v= M(u)則由以下計算結果得到參數(shù)變換的容許性：(2.13)a(u*,(2.13)a(u*,v*)

d(u,v)_1-^―=西M(u)在新參數(shù)下，直紋面仍然有自然參數(shù)化方程，與原有方程的對應關系為r=r(u,v)=a(u)+vl(u)=r*(u*,v*)=a*(u*)+v*l*(u*)．由此可以進一步考察準線和直母線是否允許有特殊關系，比如垂直相交等等．下列引理(其證明留作習題)說明，這類考察是有效的．引理1已知直紋面的自然參數(shù)化由(2.1)-(2.2)式給出，則存在新的參數(shù)化，使其準線與直母線處處正交，并且直紋方向向量為單位向量．

二．可展曲面及其局部形狀分類從例1已經知道，柱面、錐面、切線面的切平面分別沿著直紋重合；而從例2正螺面的圖形觀察到，沿著所給定的直紋移動時，切平面將發(fā)生扭轉.按直紋面切平面的特殊行為，可以進一步考察直紋面的子類.定義1若直紋面的切平面沿著每一條直紋都分別重合，則稱該直紋面為可展曲面，或稱該直紋面可展．例4柱面、錐面、切線面都可展.單葉雙曲面和雙曲拋物面都不可展一一這從圖形上可以觀察到；也可以在任何直紋上展開計算，而由定義得到驗證(略)．定理1(直紋面可展的解析條件)設直紋面S:r=r(u,v)=?(u)+vl(u)正則.S可展的充要條件為a',l,r共面，即(a',l,l')三0.證明由(2.1)-(2.5)式給出了直紋面S的基本情況．必要性：S可展，即單位法向n沿直母線v線平行，即n與v無關而只是u的函數(shù)，表示為r.(u,v)xr(u,v) a'(u)xl(u)+vl(u)xl(u)nu)—|r((u,v)xrv(u,v)|一|a'(u)xl(u)+vl(u)xl(u)|將上式分母記為函數(shù)Mu,v),變形為圖3-12a'(u)xl(u)+vl'(u)xl(u)—M(u,v)n(u).圖3-12當v變動而u保持不變時，直紋面上的點沿著直紋運動，上式右端保持平行而使左端也保持平行．注意，如圖3-12所示，兩個不平行向量的線性組合不能保持平行，故可判斷成立[a'(u)xl(u)]〃[l(u)xl(u)].事實上，取v產v2分別代入上式，得a'(u)xl(u)+v11'(u)xl(u)—M(u,v1)n(u),a'(u)xl(u)+v2l'(u)xl(u)—M(u,v2)n(u)；此兩式作外積或相減，易得a'(u)xl(u)〃l(u)xl(u).此時，幾何上看，三個向量a，(u),l(u),l(u)都垂直于n(u),因而共面.解析推導可分兩種情況討論如下：當l'(u)xl(u)―0時，顯然(ar(u),l(u),r(u))—af(u)?[l(u)xl(u)]—0;當l'(u)xl(u)w0時，存在日使a'(u)xl(u)—Rl(u)xl(u),故

(a,(u),l(u),l(u))=[a'(u)xl(u)]?l'(u)=巾l'(u)xl(u)]?l'(u)=0.充分性： 已知(a,i,i)三o，則分兩種情況討論.當l'(u)xl(u)=0時，顯然ruxrv=a'(u)xl(u)與v無關，從而單位法向n與v無關，即n沿直母線v線平行；當l(u)xl(u)w0時，存在九和N使a'(u)=入l(u)+Nl(u)，從而a'(u)xl(u)=入P(u)xl(u)，ru(u,v)xrv(u,v)=(入+v)l'(u)xl(u)，_l'(u)xl(u)n_l'(u)xl(u)n(u)=11,(u)xl(u)1sgn(入+v)，沿直母線v線平行．由兩種情形的結果以及可展定義，結論得證. 口對指定直紋族的直紋.面而言，該解析條件不依賴于準線以及直紋方向向量長度的選取；因而，當直紋面的準線以及直紋方向向量容易求出時，應用該解析條件將是方便的．當然，有時直紋面的準線以及直紋方向向量并不容易求出，這就要考慮可展曲面的其它特征；除了本節(jié)將繼續(xù)討論的以外，可展曲面的“內在特征”將在后續(xù)章節(jié)中出現(xiàn)．注記直紋面的直紋族并不一定是唯一的，比如單葉雙曲面、雙曲拋物面都有兩族直紋，而平面的直紋族更加隨意指定．以后可以證明，兩族坐標曲線都是直線的正則曲面若可展，則只能是平面(或其局部)．此結論得到確認后，應用解析條件判定是否可展時，將更加靈活．在“較好”的準線a(u)和直紋方向向量l(u)之下，解析條件可以進一步化簡.特別當直紋方向向量規(guī)范為單位向量場時，即11(u)|2三1時，有l(wèi)'(u)?l(u)三0；進而分兩種情形：當l(u)xl(u)=0時，自然總有等價條件(a'(u),l(u),l'(u))=0ol'(u)=0；當l'(u)xl(u)w0時，P(u)w0，便有等價條件(a,(u),l(u),l'(u))=0=3X(u),N(u)使a'='l'+Nl；從此出發(fā)，利用準線變換，對可展曲面的局部形狀可構造性地進行分類．參數(shù)變換的目標是確定如例1所給出的規(guī)范參數(shù)方程．在下面定理的證明中，可注意體會幾何直觀對證法的啟發(fā)，以及如何明確地加以表述．定理2(可展曲面局部形狀分類)可展曲面必是柱面、錐面和切線面之一或由它們沿直母線所適當拼接而成．證明由引理1和定理1,設可展曲面S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)滿足11(U)|2三1；則由簡化的解析條件，可完全分類為以下三種情形：①l三0，則1(u)=const,豐0；此時S為柱面.②r豐0,或,N使a=入r+N1；此時要證S為錐面或切線面.(注意：錐面存在新準線C*：：a*(u)使a*=const.，而切線面存在新準線C*：da*a*(u)使關于弧長的導數(shù)詈一=1，它們的共同特征是a*\u)〃1.)作待定的新準線C*：a*(u)=a(u)+b(u)1(u)使a*'(u)x1(u)三0,其中待定函數(shù)b(u)連續(xù)可微,則a*'=a'+bb1+b1'=(k+b)1'+⑴+b')1；故取b=-k即可滿足要求.此時，a*=(日-k')1.由此，當a*'三0即k'三日時，a*=const.,則S為錐面；當a*'中0即k'中a*' da*四時,1=常)="一’則S為切線面?③其他；由以上兩種情形的討論過程可知，1，以及3-k')的例外零點對應于曲面上相應的直母線．綜合各種情形，得證. 口三．單參數(shù)曲面族的包絡類似于考慮曲線族與其它曲線的關系,這里將討論較為簡單的曲面族與其它曲面的關系．觀察下例．例5單位球面|r(u,v)-r0|2三1當球心r0沿著指定的正則曲線C:a(k)平行移動時,形成單位球面族：Sk:r*(u,v;k)=a(k)+r(u,v)．形象地看，這族球面都落在一條“管子”——管狀面內，管子的“半徑”就是球面的半徑(可參閱第八章§3以及圖8-3)．直觀感覺上看(可以得到驗證),對管狀面上的任何一條正截圓周,在單位球面族中有且只有一張球面與管狀面公切于這條單位圓周．當球面族的參數(shù)k連續(xù)變動時,公切圓周同時在管狀面上連續(xù)可微變動,并且對于相近的公切點而言,所在的兩張球面上對應于本身參數(shù)(u,V)的取值(u入,V入)也很相近；管狀面上可以取參數(shù)九作為正則參數(shù)之一，同時可以取公切圓周的參數(shù)作為正則參數(shù)之一，此時公切圓周在單位球面上可以對應于連續(xù)可微參數(shù)曲線u=u收),V=Vx(t).定義2對于給定的單參數(shù)入正則曲面族S入:r(u,v;入)和對應的正則曲面S*:r*(兒t),對應關系為r*(兒t)=r(u(兒t),V(兒t);入)；設曲面族和對應關系關于參數(shù)(X,t)都是連續(xù)可微的，即二元函數(shù)組u(k,t),v(k,t)和三元向量函數(shù)r(u,v;k)都是連續(xù)可微的.若對S*上的任意點r*(k,t)，在曲面族中都存在對應曲面Sk與S*公切于該點，而且曲面族中的每張曲面都與S*公切于某點，則稱曲面S*為單參數(shù)曲面族Sk的一張包絡面，簡稱包絡．例6可展曲面是其本身切平面族的包絡，切平面族的單參數(shù)就取為某條正則準線的參數(shù).事實上，設可展曲面S:r=r(u,v)=a(u)+vl(u)滿足11(u)|2三1;則n與v無關而只是u的函數(shù)，表示為n(u)，從而切平面族為Tu：n(u)?[p-r(u,v0)]=0，其中p表示切平面上的點的位置向量，v0是取定的參數(shù)值，r(u,V0)是取定的準線，而函數(shù)n(u)?r(u,v0)由參數(shù)u確定.作為特例，當n，(u)三0時，S為平面，其切平面族重合于該平面；當n'(u)豐0時，S不是平面，其切平面族為單參數(shù)u切平面族Tu．平面Tu與曲面S公切于直母線lu：r(u,v)-r(u,v0)=(v-v0)1(u).類似于曲線的情況，在求解包絡時，定義中的連續(xù)可微性條件有時當成先驗假定，此時需要根據求解情況反驗其合理性．從已知的單參數(shù)曲面族出發(fā)，可以確定如何求解其包絡．按定義中的記號，在對應點r*(k0,10)=r(u(k0,10),v(k0,10);k0)，曲面S*具有自然切向r*k(k0,10)=(看r(u(k,t),v(k,t);k)J。八 /k=k,t=tTOC\o"1-5"\h\z0, 0=(rk(u, V；k) +ru(u, V；k)整+ rv(u, V；k)Ik)u-u(k, t), V=V(k, t); f, t=10，r*(k10)= r(u(兒t),v(兒t);k)Jt 。t Xk=k,t=t\o"CurrentDocument"0, 0二(r(u,V；k):+rv(u,V；k)^ir)u=u(k,t),『(k,t);沙10，而相應的曲面S在對應參數(shù)值(u(k0,t0),v(k0,t0))的同一點具有自然切向0"u"L=u(k0,10),V=V(k0,10)=ru(u(k0,t0),V(k0,t0)；k0)，⑵19) ’\；L=%10),仁v%10)=q(u(%,to),v(%,t0);勃?由于對應點是公切點，切向(2.16)和(2.17)與曲面S九在對應點的法向(r*?)U=?J,fh0) 0垂直，即等價化為0混0合積00&u，?，r以二皿),1?,t)；f、,仁t：0.這就是具有包絡的單參數(shù)曲面族所必0須0滿足的條件．反之，注意(2.20)式能夠保證對應點為公切點，故已導出單參數(shù)曲面族包絡的如下判別條件．定理3給定連續(xù)可微單參數(shù)入正則曲面族S入:r(u,v;入).如果判別式⑵21)(小.，r入)=0能夠決定連續(xù)可微的兩個函數(shù)u0t)和vQ,t)，那么，該曲面族的包絡若存在則只能確定為判別曲面r(uQ,t),v(X,t);入)；而若判別式無解函數(shù)u(X,t)和v(X,t),則該單參數(shù)曲面族沒有包絡.注記：①判別式所確定的函數(shù)同時明確了對應點的位置.當然允許兩個函數(shù)u(X,t)和v(X,t)在形式上合為一個函數(shù)u=u(v,t)或v=v(u,t).判別式如果是平凡的，則判別曲面r(u(X,t),v(X,t);X)有可能蛻化為非正則的；此時需要 是否符合包絡條件.如果判別曲面r(u(X,t),v(X,t);X)是正則的，則其為包絡面，并且切向(2.16)和(2.17)的外積非零；此時在某些具體條件下，兩個函數(shù)u(X,t)和v(X,t)允許存在反函數(shù)，此即為包絡面上的特殊參數(shù)變換.對包絡面r(u(X,t),v(X,t)；X)，當選定參數(shù)X=X0時，其上曲線r(u(X0,t),v(X0,t);X0)是與族中曲面Sx的公切點木^成的曲線，稱之為包絡面的特征線. ％例7已知具有包絡S*的連續(xù)可微單參數(shù)X曲面族SX：r(u,v;X)=(%(u,v;X),y(u,v;X),z(u,v;X))是由隱式方程F(x,y,z;X)=0給出的，其中梯度向量VF=(F%,Fy,Fz)豐0．試證S*的隱式方程為222 {F(%,y,z;X)=0，(2.22) FX(%,y,z;X)=0．證明：由隱式方程F(%,y,z;X)=0求微分得dF(%,y,z;X)=[VF?dr](%,y,z;X)+FX(%,y,z;X)dX三0；而對于SX之上的點總有dF(%,y,z;X)=[VF?dr](%,y,z;X)=0

即其總以梯度向量VF(x,y,Z；入)為非零法向量；故在特征線SQS*之上總有F/x,y,z;入)d九三0.又特征線SQS*滿足隱式方程F(x,y,z；入)=0，故結論得證. 口單參數(shù)曲面族由隱式方程給出時，其包絡的判別曲面由特征線族方程(2.22)式給出.有時，隱式方程對于表示曲面整體非常有效，比如球面、雙葉雙曲面等等；此時，由(2.22)式討論包絡是較為方便的．例8求單參數(shù)入球面族x2+y2+(z-入)2=1的包絡.解：記F=x2+y2+(z一九)2-1,則F卜=-2(z一九).令F入=0，得入=Z.代入球面族方程消去參數(shù)入，由(2.22)式即知，所求包絡為x2+y2=1，此為單位圓柱面．口定理4給定連續(xù)可微單參數(shù)t平面族T：:n(t)?r-p(t)=0,|n\三1,n'(t)w0.如果｛T｝｝的包絡面S存在，則S可展.證明包絡面S的隱式方程由(2.22)式給為特征直線族方程｛n(t)?r-p(t)=0,n'(t)?r-p'(t)