相似三角形典型例題精選

相像三角形的判斷與性質(zhì)綜合運用經(jīng)典題型考點一：相像三角形的判斷與性質(zhì)：例仁如圖，ZkPCD是等邊三角形，A、C、D、B在同一直線上，且ZAPB=120°求證：(DAPAC^ABPD：(2)CD2=AC?BD.例2、如圖，在等腰ZiABC中，ZBAC二90°AB=AC=1,點D是BC邊上的一個動點(不與B、C重合)，在AC上取一點E,使ZADE=45°求證：△ABDsGCE;(2)設(shè)BD二x,AE=y,求y對于x函數(shù)關(guān)系式及自變童x值范圍，并求出當(dāng)x為何值時AE取得最小值？在AC上是否存在點E,使得AADE為等腰三角形若存在，求AE的長；若不存在，請說明原因例3、如下圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE丄BC,垂足為E,連結(jié)DE,F為線段DE上一點，且ZAFE=ZB:求證：△ADFs^DEC：2)若AB=4,=求AF的長。D考點二：射影定理：例4、如圖，在RtAABC中，ZACB二90°CD,丄AB于D,CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的長。例“如圖，已知正方形ABCD,E是AB的中點，F(xiàn)是AD上的一點，且AF￡AD,EG丄CF于點G,(1)求證：△AEFSABCE;

(2)試說明：EG2=CG-FG.例“已知：如下圖的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次，使點A與點C重合,再展開，折痕EF交AD邊于E,交BC邊于F,分別連結(jié)AF和CE.(1)求證：四邊形AFCE是菱形；若AEhOcm,AABF的面積為24cm2,求ZkABF的周長；(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=AC?AP若存在，請說明點卩的地點，并予以證明；若不存在，請說明原因.E考點三：相像之共線線段的比率問題:例7、已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點，過P的直線與AD、BC.CD的延伸線.AB的延伸線分別相交于點E、F、G、H.求證:PEPH例8、如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連結(jié)CP并延伸，交AD于點E,交BA的延伸線于點F.求證：PC2=PE?PF：若菱形邊長為8,PE二2,EF=6,求FB的長.例9.如圖，CD是RtAABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延伸線于F.求證：BD?CF二CD?DF?例10.如圖：已知在等邊三角形ABC中，點D.E分別是AB、BC延伸線上的點，且BD二CE,直線CD與AE相交于點F.求證：DC=AE;求證：AD=DC?DF?AB.例1仁如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點.EF丄AE,EF分別交AC,CD于點M,F,BG丄AC,垂足為G,BG交AE于點H.找出與AABH相像的三角形，并證明；若E是BC中點，BC二2AB,AB二2,求EM的長.例12.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形.連結(jié)AE、CG,AE與CG相交于點M.CG與AD相交于點N.例13、如圖，在RtAABC中，CD是斜邊AB上的離，點M在CD上，DH丄BM且與AC的延伸線交于點E.求證：(1)△AEDs^CBM;(2)AE?CM二AC?CD?例14、如圖，ZkABC是直角三角形，ZACB二9(T,CD丄AB于D,E是AC的中點.ED的延伸線與CB的延伸線交于點F.求證：FD2=FB?FC：若G是BC的中點，連結(jié)GD,GD與EF垂直嗎并說明原因.例15-如圖，四邊形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.ZIACF與ZJACG相像嗎說說你的原因.求Z1+Z2的度數(shù).考點四：相像三角形的實際應(yīng)用：例16、如圖，AABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm,件，使一邊在BC上，其余兩個極點分別在邊AB.AC上.

高

AD

二

80mm,

要把它加工成矩形零若這個矩形是正方形，那么邊長是多少若這個矩形的長PQ是寬PN的2倍，則邊長是多少例17、已知左，右并排的兩樑大樹的爲(wèi)分別是AB二8m和CD=12m，兩樹的根部的距離BD二5嘰一個身高的人沿著正對著兩棵樹的一條水平直路從左向右前進，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看見右邊較商的樹的頂端點CBD例18、兩顆樹的高度分別為AB二6gCD=8m,兩樹的根部間的距離AC=4m,小強沿著正對這兩棵樹的方向從左向右前進，如果小強的眼睛與地面的距離為，當(dāng)小強與樹AB的距離小于多少時，就不能看到樹CD

的樹頂

D0A例19.小亮想利用太陽光下的影子測董校園內(nèi)一棵大樹的離，小亮發(fā)現(xiàn)因大樹湊近學(xué)校國影子不全落在地面上，如下圖，經(jīng)測量，墻上影鬲CD二，地面影長BC=10m?若此時桿的影長恰巧為2m?請你求出這棵大樹AB的離度.

墻，大樹的1米鬲的標(biāo)例20.如圖，九年級的數(shù)學(xué)活動課上，小明發(fā)現(xiàn)電線桿AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD二8米，BC二20米，CD與地面成角，且此時測得1米桿的影長為2米,求電線桿的爲(wèi)度.30°例2仁如圖，有一路燈桿AB（底部B不能直接抵達），在燈光下，小明在點D處測得自己的影長DF=3m,沿BD方向抵達點F處再測得自己得影長FG=4m,如果小明的身離為，求路燈桿AB的鬲皮?ADG考點五：相像三角形中的動點問題：例22.在矩形ABCD中,點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/秒的速度移動，點AB=12cm,AD=6cm,Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/秒的速皮移動，如果P、Q同吋出發(fā)，用t（秒）表示運動時間（0WtW6）,那么當(dāng)t為何值時.AAPQ與AABD相像說明原因.例23、如圖，在AABC中，ZB二90°AB,二6米，BC=8米，動點P以2米/秒的速度從A點出發(fā)，沿AC向點C移動.同時.動點Q以1米/秒的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動.當(dāng)其中有一點抵達終點時，它們都停止移動.設(shè)移動的時間為t秒.1）①當(dāng)t二秒時，求ACPO的面積：②求ACPO的面積S（平方米）對于時間t（秒）的函數(shù)解析式；2）在P,Q移動的過程中，當(dāng)ACPO為等腰三角形時，寫出t的值。例24.如下圖，在AABC中，BA=BC=20cm,AC二30cm，點P從A點出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動：同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設(shè)運動時間為X.1）當(dāng)x為何值時，PQ/ZBC：2）當(dāng)S/kBCO：SAABC=1:3,求SABPQ：SAABC值；3）ZkAPQ可否與ACOB相像若能，求出AP的長：若不能，請說明原因.例25.如圖.平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標(biāo)為(6,0),(6,8).動點M、N分別從0、B同時出發(fā)，都以每秒1個單位的速度運動，其中，點M沿0A向終點A運動，點N沿BC運動，過點N作NP丄BC,交AC于點P,連結(jié)MP,已知動點運動Tx秒.

向終點

C用含X的代數(shù)式表示P的坐標(biāo)(直接寫出答案)：設(shè)y=S四邊形0MPC,求y的最小值，并求此時x的值：是否存在x的值，使以P、A、M為極點的三角形與AAOC相像若存在，懇求出x的值:例26、如圖，正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF丄AE于F.求證：△PFAs^ABE：當(dāng)點P在射線AD上運動時，設(shè)PA二x,是否存在實數(shù)x,使以P、F、E為極點的三角形也與AABE相像若存在，懇求出x的值：若不存在，請說明原因.例27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知RtAAOB的兩條直角邊OA、0B分別在y軸和x軸上，并且OA、0B的長分別是方程X2-7X+12=0的兩根(OA<OB),動點P從點A開始在線段A0上以毎秒1個單位長度